Bài tập Hình học Lớp 7 - Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 7 - Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng (Có lời giải)

1. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG HèNH HỌC LỚP 7 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Dựa vào định nghĩa gúc bẹt để chứng minh ba điểm thẳng hàng A B C ãABC = 1800 Ba điểm A, B, C thẳng hàng 2. Vận dụng tiờn đề Ơclớt chứng minh hai đường thẳng cựng đi qua một điểm và cựng song song với một đường thẳng cho trước A B C AB // a AC // a => A, B, C thẳng hàng a 3. Chứng minh hai đường thẳng cựng đi qua một điểm và cựng vuụng gúc với một đường thẳng cho trước: A AB  a => A, B, C thẳng hàng B BC  a C a 4. Chứng minh ba điểm cựng thuộc tia phõn giỏc của 1 gúc Tia OA là tia phõn giỏc của xã Oy A, O, B thẳng hàng Tia OB là tia phõn giỏc của xã Oy 5. Chứng minh ba điểm cựng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng A A thuộc đường trung trực của MN B thuộc đường trung trực của MN => A, B, C thẳng hàng B C thuộc đường trung trực của MN C M N 6. Áp dụng đường trung tuyến của một tam giỏc thỡ phải đi qua trọng tõm. A G là trọng tõm tam giỏc ABC AM là trung tuyến tam giỏc ABC G => A, G, M thẳng hàng B M C 7. Chứng minh đường phõn giỏc của tam giỏc thỡ đi qua giao điểm chung của chỳng: A I là giao điểm 2 đường phõn giỏc Bà ,Cà I AD là phõn giỏc của àA A  D thẳng hàng. B D C 8. Chứng minh đường cao của tam giỏc thỡ đi qua trực tõm của tam giỏc đú: A H là trực tõm ABC AD là đường cao ABC H => A, H, D thẳng hàng B D C
2. Vớ dụ 3: Cho ABC vuụng ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuụng gúc CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trờn tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng. = = B / / = D M / / C A M C = B A D Giải Xột AMB và CMD cú: AB = DC (gt). Bã AM Dã CM 900 MA = MC (M là trung điểm AC) Do đú: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra: ãAMB Dã MC Mà ãAMB Bã MC 1800 (kề bự) nờn Bã MC Cã MD 1800 . Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng. Vớ dụ 4: (Bài tập 55 trang 80 SGK Hỡnh học 7 tập 2). Cho hỡnh vẽ. Chứng minh ba điểm B, D, C thẳng hàng Giải KD là đường trung trực của AC DA = DC B ADC cõn tại D Mà DK là đường trung trực => DK là đường phõn giỏc 4 D I 3 à ả D1 = D2 (1) 2 1 DI là đường trung trực của AB DA = DB ABD cõn tại D A K C Mà DI là đường trung trực => DI là đường phõn giỏc ả ả => D3 = D4 (2) à ả ả ả Từ (1) và (2) suy ra D1 + D4 = D2 + D3 Ta cú: DK // AI (cựng vuụng gúc với AC)  0 ã 0 ả ả 0 Mà I 90 suy ra IDK 90 => D2 + D3 = 90 à ả ả ả 0 => D1 + D4 = D2 + D3 = 90 ã à ả ả ả 0 BDC = D1 + D2 + D3 + D4 180 Vậy ba điểm B, D, C điểm thẳng hàng. 2. Vận dụng tiờn đề Ơclớt chứng minh hai đường thẳng cựng đi qua một điểm
3. OD = OB (vỡ O là trung điểm BD) Vậy AOD = COB (c.g.c) A Suy ra: Dã AO Oã CB . x = * Do đú: AD // BC. X ã ã O Nờn DAB CBM (ở vị trớ đồng vị) B / / D Xột DAB và CBM cú : = AD = BC ( do AOD = COB), * X Dã AB Cã BM (hai gúc đồng vị) AB = BM ( B là trung điểm AM) M C N Vậy DAB = CBM (c.g.c). Suy ra ãABD Bã MC . Do đú BD // CM. (1) Lập luận tương tự ta được BD // CN. (2) Từ (1) và (2) , theo tiờn đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng. Vớ dụ 3: Cho ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AC, AB. Trờn cỏc đường thẳng BM và CN lần lượt lấy cỏc điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng. E A = D = = / / / N M E = D / N B C M C B A Giải Xột BMC và DMA cú: MC = MA (do M là trung điểm AC) Bã MC Dã MA (hai gúc đối đỉnh) MB = MD (do M là trung điểm BD) Vậy: BMC = DMA (c.g.c) Suy ra: ãACB Dã AC Mà ãACB,Dã AC là hai gúc này ở vị trớ so le trong nờn BC // AD (1) Chứng minh tương tự : BC // AE (2) Điểm A ở ngoài BC cú một và chỉ một đường thẳng song song BC nờn từ (1) và (2) và theo Tiờn đề Ơ-Clit Suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng. 3. Chứng minh hai đường thẳng cựng đi qua một điểm và cựng vuụng gúc với một đường thẳng cho trước: A  a B AB => A, B, C thẳng hàng BC  a a C
4. mà Pã MB Pã MC 1800 nờn Pã MB Pã MC = 900 => PM  BC. Lập luận tương tự QM  BC Từ điểm M trờn BC cú AM  BC, PM  BC, QM  BC Nờn ba điểm A, P, Q thẳng hàng (đpcm) Vớ dụ 4: Cho ABC cú AB = 5, AC = 12, BC = 13. Vẽ ACD sao cho AD = 16, CD = 20. Chứng minh ba điểm B, A, D thẳng hàng Giải D Ta cú AB2 + AC2 = 52 + 122 = 169 BC2 = 132 = 169 Nờn AB2 + AC2 = BC2 => ABC vuụng tại A (định lớ Py-ta-go đảo) => AB  AC 20 Tương tự: ACD cú AC2 + AD2 = CD2 = 400 16 => ACD vuụng tại A (định lớ Py-ta-go đảo) => AD  AC A Ta cú AB  AC và AD  AC 5 12 => Hai đường thẳng AB, AD trựng nhau Vậy ba điểm B, A, D thẳng hàng B 13 C 4. Chứng minh ba điểm cựng thuộc tia phõn giỏc của một gúc: Tia OA là tia phõn giỏc của xã Oy Tia OB là tia phõn giỏc của xã Oy A, O, B thẳng hàng Vớ dụ 1: Cho ABC cú AB = AC. Gọi M là một điểm nằm trong tam giỏc sao cho MB = MC. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng. Giải A ABM ACM (vỡ AM chung, AB = AC, MB = MC ) Bã AM =Cã AM M AM là tia phõn giỏc Bã AC (1) Tương tự ABN ACN (c.c.c) B N C Bã AN =Cã AN AN là tia phõn giỏc Bã AC (2) Từ (1), (2) suy ra ba A, M, N điểm thẳng hàng. Vớ dụ 2: Cho xã Oy . Trờn hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao cho OB = OC. Vẽ đường trũn tõm B và tõm C cú cựng bỏn kớnh sao cho chỳng cắt nhau tại hai điểm A và D nằm trong gúc xOy. Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng. Giải Xột ΔBOD và ΔCOD cú: OB = OC (gt) x B / = = A O D / = = C y Hỡnh 10
5. G là trọng tõm tam giỏc ABC AM là trung tuyến tam giỏc ABC => A, G, M thẳng hàng Vớ dụ 1: Cho ABC vuụng tại A, cú BC = 10cm, AC = 8cm. Lấy điểm M trờn AB sao cho BM = 4cm. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm DC, gọi N là trung điểm BD. Chứng minh ba điểm C, M, N thẳng hàng Giải Áp dụng định lý Pythagore B Tớnh được AB = 6cm 4 DBC cú BA là trung tuyến N MB 4 2 2 và = = BM = BA M BA 6 3 3 D A C Vậy M là trọng tõm của DBC N là trung điểm BD suy ra CN là trung tuyến BDC Trung tuyến CN phải đi qua trọng tõm M Vậy ba điểm C, M, N thẳng hàng Vớ dụ 2: Cho ABC, kẻ trung tuyến AM. Trờn AM lấy hai điểm P, Q sao cho AQ = PQ = PM. Gọi E là trung điểm của AC. Chứng minh ba điểm B, P, E thẳng hàng. Giải A ABC cú AM là trung tuyến mà AQ = QP = PM (gt) Q 2 E AP = AM 3 P M P là trọng tõm ABC B C Vỡ E là trung điểm của AC nờn BE là trung tuyến của V ABC BE đi qua trọng tõm P hay ba điểm B, P, E thẳng hàng. 7. Chứng minh đường phõn giỏc của tam giỏc thỡ đi qua giao điểm chung của chỳng: A I là giao điểm 2 đường phõn giỏc Bà ,Cà I AD là phõn giỏc của àA A  D thẳng hàng. B D C Vớ dụ 1: Cho ABC cõn tại A. Vẽ phõn giỏc BD và CE cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng Giải Ta cú ABC cú phõn giỏc của B và C cắt nhau tại I suy ra I là giao điểm của 3 đường phõn giỏc trong tam giỏc ABC cõn tại A cú AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đỏy nờn AM cũng là phõn giỏc. Đường phõn giỏc AM phải đi qua giao điểm I Vậy ba điểm A, I, M thẳng hàng Vớ dụ 2: Cho ABC, cỏc tia phõn giỏc cỏc gúc A và C cắt nhau tại I. Cỏc đường phõn giỏc cỏc gúc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh ba điểm B, I,
6. => FD  BC Ta cú DE  BC, FD  BC => Hai đường thẳng DE, DF trựng nhau Vậy ba điểm D, E, F thẳng hàng. 9. Chứng minh đường trung trực của một cạnh thỡ đi qua giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh cũn lại: A O là giao điểm 2 đường trung trực của 2 cạnh AC và BC E F EF là đường trung trực của cạnh AB O => E, F,O thẳng hàng B C Vớ dụ 1: Cho ABC cõn tại A, M là trung điểm của BC. Đường trung trực của AB, AC cắt nhau ở D. Chứng minh ba điểm A, D, M thẳng hàng. Giải ABC cõn tại A cú MB = MC A nờn: AM là đường trung tuyến ABC => AM cũng là đường trung trực của ABC Mà D là giao điểm hai đường trung trực cạnh AB, AC Nờn AM đi qua D D B => Ba điểm A, D, M thẳng hàng. M C Vớ dụ 2: Cho ABC vuụng tại A (AB Bã AC = Bã DE B C Nờn Bã DE 900 D Gọi F là giao điểm của ED và AC Ta cú AB  BD, DF  BD => AB // DF M Xột ABD và DFA cú: Bã DA= Fã AD AD là cạnh chung E Bã AD = Fã DA Do đú ABD = DFA (g-c-g) => BD = FA và AB = DF Mà AB = BD (gt) Do đú AB = BD = AF = DF BC Chứng minh được BM = FM = 2 Ta cú AB = AF, BD = DF, BM = FM
7. K K' = = Kẻ ME // AC (E BC) ãACB Mã EB (hai gúc đồng vị) Mà ãACB ãABC nờn Mã BE Mã EB Vậy ΔMBE cõn ở M. Do đú: MB = ME Mà MB = NC ta được ME = CN. Gọi K’ là giao điểm của BC và MN. Xột ΔMEK’ và ΔNCK’ cú: Kã 'ME Kã ' NC (so le trong của ME //AC) ME = CN (chứng minh trờn) Mã EK ' Nã CK ' (so le trong của ME //AC) Do đú : ΔMEK’ = ΔNCK’ (g.c.g) MK’ = NK’. Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nờn K  K’ Do đú ba điểm B, K, C thẳng hàng.