Bài tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Hệ thức Vi-et

Nội dung text: Bài tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Hệ thức Vi-et

1. CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC VI-ET 1) Định lí Vi ét: 2 Cho phương trình ax + bx + c = 0 (a≠0). Nếu phương trình có hai nghiệm x1; x2 thì: b x x 1 2 a c x .x 1 2 a Lưu ý: Khi đó ta cũng có: x x 1 2 a 2) áp dụng hệ thức Vi et để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai: c - Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x 1; x 1 2 a c - Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x 1; x 1 2 a 3) Tìm hai số khi biết tổng và tích: Hai số x; y có: x + y = S; x.y = P thì hai số x; y là nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0 Điều kiện S2 4P. Bài tập Dạng thứ nhất: Lập phương trình khi biết hai nghiệm: Bài 1: a) x1=2; x2=5 b) x1=-5; x2=7 c) x1=-4; x2=-9 1 3 d) x1=0,1; x2=0,2 e) x 3; x f) x 5; x 1 2 4 1 2 2 1 3 1 1 1 g) x ; x h) x 2 ; x 3 i) x 1 ; x 0,9 1 4 2 2 1 4 2 3 1 3 2 1 j) x 1 2; x 1 2 k) x 3 2; x 1 2 1 2 3 2 l) x1 5 2 6; x2 5 2 6 m) x1 3 2 2; x2 3 2 2
2. Bài 5: Tương tự: a) x2 4x 2 0 b) x2 5x 3 0 c) 2x2 6x 7 0 Bài 6: 2 a) Chứng minh rằng nếu a1; a2 là hai nghiệm của phương trình: x px 1 0, b1; b2 là hai nghiệm của phương trình: x2 qx 1 0 thì: 2 2 a1 b1 a2 b2 a1 b1 a2 b2 q p b) Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của pt: x2 ax 1 0 với mộ nghiệm nào đó của pt x2 bx 1 0 là nghiệm pt thì: 4 1 1 2 a2b2 a2 b2 c) Cho pt x2 px q 0 Chứng minh rằng nếu 2 p2 9q 0 thì pt có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Dạng thứ hai: Tìm tổng và tích các nghiệm: 2 Bài 1: Cho phương trình: x 5x 3 0. Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình không giải phương trình hãy tính: 2 2 3 3 2 2 a) x1 x2 b) x1 x2 c) x1 x2 d) x1 x2 3 3 1 1 1 1 x1 3 x2 3 e) x1 x2 f) g) 2 2 h) x1 x2 x1 x2 x1 x2 1 1 x1 5 x2 5 1 1 1 x1 1 x2 i) j) k) x1 x2 l) x1 2 x2 2 x2 x1 x1 x2 2x1 2x2 2 2 x1 x2 m) x1 x2 x1x2 n) x2 x1 Bài 2: Tương tự: 2x2 5x 1 0; 3x2 4x 3 0 ; 3x2 2x 5 0 Bài 3: Cho phương trình: x2 4x 1 0 . Không giải phương trình hãy tính: a) Tổng bình phương các nghiệm b) Tổng nghịch đảo các nghiệm c) Tổng lập phương các nghiệm d) Bình phương tổng các nghiệm
3. 2 Bài 3: Cho pt x (m 3)x 2(m 2) 0 . Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x1 2x2 . Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của pt? Bài 4: 2 2 2 a) Tìm k để pt: x (k 2)x k 5 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả x1 x2 10 2 2 2 b) Tìm m để pt: x 2(m 2)x 5 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả x1 x2 18 2 c) Tìm k để pt: (k 1)x 2(k 2)x k 3 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả (4x1 1)(4x2 1) 18 2 d) Tìm m để pt: 5x mx 28 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả5x1 2x2 1 2 Bài 5 Gọi x1; x2 là hai nghiệm khác 0 của pt: mx (m 1)x 3(m 1) 0. Chứng minh: 1 1 1 x1 x2 3 Dạng thứ năm: Các bài toán tổng hợp. Bài 1: Cho pt: x2 (2m 3)x m2 3m 2 0 a) Giải pt trên khi m = 1 b) Định m để pt có một nghiệm là 2. Khi đó pt còn một nghiệm nữa, tìm nghiệm đó? c) CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 2 2 d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. Tìm m để x1 x2 1 e) Định m để pt có nghiệm này bằng ba nghiệm kia? Bài 2: Cho pt x2 2(m 1)x m 0 a) CMR pt luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m. 1 1 b) Với m ≠ 0. Hãy lập pt ẩn y có 2 nghiệm là: y1 x1 và y2 x2 x2 x1 c) Định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x1 2x2 3 Bài 3: Cho pt x2 2(k 3)x 2k 1 0 1 a) Giải pt khi k 2 b) Tìm k để pt có một nghiệm là 3, khi đó pt còn một nghiệm nữa, tìm nghiệm ấy? c) Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi k.
4. 3 a) Giải pt trên khi m 2 b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? c) Tìm m để pt có hai nghiệm đều âm? 2 d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. Tìm m để x1(1 2x2 ) x2 (1 2x1) m Bài 9: Cho pt x2 2(m 1)x m2 4m 9 0 (x là ẩn) a) Giải và biện luận pt. b) Tìm m để pt nhận 2 là nghiệm. Với giá trị của m vừa tìm được hãy tìm nghiệm còn lại của pt. c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu. Bài 10: Cho pt (m 4)x2 2mx m 2 0 a) Tìm m để pt có nghiệm x 2 . Tìm nghiệm kia b) Tìm m để pt có nghiệm 2 2 c) Tính x1 x2 theo m. 3 3 d) Tính x1 x2 theo m. e) Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm, tổng bỉnh phương nghịch đảo các nghiệm. Bài 11: 2 a) Pt x 2 px 5 0 có nghiệm x1 2. Tìm p và tính nghiệm kia. b) Pt x2 5x q 0 có một nghiệm bằng 5. Tìm q và tính nghiệm kia. c) Biết hiệu hai nghiệm của pt x2 7x q 0 bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của d) Tìm q và hai nghiệm của pt x2 qx 50 0 , biết pt có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. 2 2 e) Tìm giá trị của m để pt x 2(m 2)x 2m 7 0 có nghiệm x1 = 5. khi đó hãy tìm nghiệm còn lại. f) Định giá trị của k để pt x2 k(k 1)x 5k 20 0 có nghiệm x = -5. Tìm nghiệm kia. 2 g) Cho pt: 5x mx 28 0. Định m để pt có hai nghiệm thoả 5x1 2x2 1 2 h) Tìm tất cả các giá trị của a để pt x ax a 7 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 2 2 x1 x2 10 Bài 12: Cho pt (m 1)x2 2(m 1)x m 2 0 a) Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt.
5. 2 2 b) Đặt A x1 x2 6x1x2 +) Chứng minh A m2 8m 8 +) Tính giá trị của m để A = 8 +) Tìm min của A Bài 20: Cho pt (m 1)x2 2(m 1)x m 0 a) Định m để pt có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. b) Định m để pt có hai nghiệm đều âm? đều dương? trái dấu? Bài 21: Cho pt x2 (2m 3)x m2 3m 0 a) CMR pt luôn có hai nghiệm với mọi m. b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn một trong các điều: 2 2 2 2 +) x1 x2 9 +) x1 x2 x1x2 4 Bài 22: Cho pt kx2 18x 3 0 a) Với giá trị nào của k thì pt có một nghiệm? Tìm nghiệm đó? b) Với giá trị nào của k thì pt có hai nghiệm phân biệt 2 2 c) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x1 x2 x1x2 6 Bài 23: Cho pt x2 10x m 20 0 a) Giải pt khi m = 4? b) Xác định giá trị của m để pt có hai nghiệm phân biệt. c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu. d) Tìm m để pt có hai nghiệm đều dương. Bài 24: Cho pt x2 2(m 2)x m 1 0 a) Tìm các giá trị của m để pt có nghiệm. 2 b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. tìm m để: x1(1 2x2 ) x2 (1 2x1) m Bài 25: Cho pt 2x2 6x m 0 a) Với giá trị nào của m thì pt có nghiệm. b) Với giá trị nào của m thì pt có nghiệm đều dương x1 x2 c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. tìm m để 3 x2 x1 Bài 26: Cho pt x2 2(a 1)x 2(a 5) 0
6. 1 1 7 2 2 142 +) +) x1 x2 x1 x2 4 25 d) Định m để pt có hai nghiệm thoả: 5x1 2x2 1 Bài 33: Cho pt 2x2 (2m 1)x m 1 0 a) CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để pt có hai nghiệm thoả 3x1 4x2 11 c) Tìm m để pt có hai nghiệm đều dương d) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.