Bài tập Toán Lớp 11 - Dạng bài: Giới hạn dãy số (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập Toán Lớp 11 - Dạng bài: Giới hạn dãy số (Có lời giải)

1. CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ LỚP 11  Dạng ➀ Chứng minh dãy số có giới hạn là 0  Phương pháp: Cách 1: Áp dụng định nghĩa. Cách 2: Sử dụng các định lí sau: 1 Nếu k là số thực dương thì lim 0. nk Với hai dãy số un và vn , nếu un vn với mọi n và limvn 0 thì limun 0 . Nếu q 1 thì lim qn 0 . . Ví dụ minh họa: Ví dụ ➊ Chứng minh các dãy số un sau đây có giới hạn là 0. n 1 cos 4n 1 cos n3 a). u b). u c). u d). n 4n 5 n n 3 n 2n 3 n 1 1 u n 2n 1 3n 1 . Lời giải n 1 1 1 1 1 a). Với mỗi số dương  tùy ý, cho trước, ta có un  4n 5 n 5 . 4n 5 4n 5  4  1 1 Suy ra với mỗi số dương cho trước, thì với mọi số tự nhiên n 5 ta đều có un  . Vậy limun 0 4  . cos 4n 1 1 1 b). Ta có n ¥ *thì cos 4n 1 u .Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực n n 3 n 3 n n 1 1 dương cho trước thì lim 0” ta được lim 0 . Từ đó suy ra limu 0 . nk n n 1 cos n3 2 2 1 c). Ta có n ¥ *thì cos n3 1 u .Áp dụng định lí “Nếu k là một số n 2n 3 2n 3 2n n 1 1 thực dương cho trước thì lim 0” ta được lim 0 . Từ đó suy ra limu 0 . nk n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d). Ta có un n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n ,n ¥ . Vì lim n lim 0 . Từ đó suy ra 2 3 2 3 2 2 2 2 2 limun 0 . Dùng định nghĩa chứng minh dãy số u có giới hạn L.  Dạng ➁ n
2. P n DẠNG 3: u là một phân thức hữu tỉ dạng u ( trong đó P n ,Q n là các biểu n n Q n thức chứa hàm mũ an ,bn ,cn , . Chia cả tử và mẫu cho an với a là cơ số lớn nhất ). DẠNG 4 : Nhân lượng liên hợp: PHƯƠNG PHÁP : Sử dụng các công thức nhân lượng liên hợp sau: a2 b2 a b 2 2 a b a b a b a b a2 b2 a b a b a3 b3 a3 b3 a b a b . a2 ab b2 a2 ab b2 2 3 3 3 2 a b a a.b b 3 3 a b a b 2 2 . 3 a 3 a.b b2 3 a 3 a.b b2 2 3 3 3 2 a b a a.b b 3 3 a b a b 2 2 3 a 3 a.b b2 3 a 3 a.b b2 2 3 2 3 3 a b a a. b b 3 3 a b a b 2 2 a2 a.3 b 3 b a2 a.3 b 3 b 2 3 2 3 3 a b a a. b b 3 3 a b a b 2 2 a2 a.3 b 3 b a2 a.3 b 3 b 2 2 3 a 3 b 3 a 3 a.3 b 3 b 3 3 a b a b 2 2 2 2 . 3 a 3 a.3 b 3 b 3 a 3 a.3 b 3 b 2 2 3 a 3 b 3 a 3 a.3 b 3 b 3 3 a b a b 2 2 2 2 3 a 3 a.3 b 3 b 3 a 3 a.3 b 3 b DẠNG 5 : TÍNH GIỚI HẠN DỰA VÀO ĐỊNH LÍ KẸP: PHƯƠNG PHÁP: Dựa vào định lí: Cho ba dãy số un , vn và wn . Nếu un vn wn , n và limun lim wn a, a ¡ thì limvn a . DẠNG 6: un được xác định bởi một công thức truy hồi. Phương pháp: Tìm công thức tổng quát của un theo n, sau đó tìm limun . Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn (có nghĩa chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên hoặc dãy số giảm và bị chặn dưới) sau đó dựa vào hệ thức truy hồi để tìm giới hạn. DẠNG 7: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC: . Ví dụ minh họa: Ví dụ ➊ Tìm giới hạn của dãy un biết: 2n2 3n 1 2n3 3n2 4 2n4 3n2 n a). u b). u c). u n 5n2 3 n n4 4n3 n n 2n 1 1 3n 2n2 1
3. 2 2 2 1 3 3 1 3 n 2 n 3 4 2 3 4 n n n n 1 3 2 Từ đó un 3 2 3 2 , mà lim 0, lim 3 0 , lim 0 . Do đó 3 2 2 2 2 2 n n n n 4 n 1 4 1 n n n n 2 2 0 0 4 1 limun . 4 0 3 0 2 2 16 2 1 2n n 1 2n n 1 2 n2 2 1 2 3 f). u n n . Mà lim 0, lim 0 , lim 0, lim 0 . n n2 2 n 3 n2 2 n 3 2 3 n n2 n n n2 1 2 n2 n n n Ví dụ ➋ Tìm giới hạn của dãy un biết: 4n2 n 1 n 2n 1 n 3 a). un b). un 9n2 3n 4n 5 4n2 1 3 8n3 2n2 3 n3 n 3 n3 3n c). un d). un 16n2 4n 4 n4 1 4 16n4 1 . Lời giải 2 2 4n n 1 1 1 1 1 n 2 n n 4 n 4 1 4n2 n 1 n n n n2 n n2 1 a). un . Vì có lim 0, 9n2 3n 2 3 3 n 2 9n 3n n 9 9 n 2 n n n 1 3 4 0 0 1 1 lim 0, và lim 0 . Nên limu . n2 n n 9 0 3 2n 1 n 3 1 3 1 3 n n n. 2 n. 1 2 1 2n 1 n 3 n n n n n n b). un . Vì có 4n 5 4n 5 5 5 n n. 4 4 n n n 1 3 5 lim 0, lim 0 và lim 0 . n n n 2 0 1 0 2 1 Từ đó có limu . n 4 0 2
4. 4n.42 6n.6 4n.42 6n.6 n 2 n 1 n 2 n 4 6 4 .4 6 .6 n n n c). Ta có u 6 6 6 n 5n 1 2.6n 3 5n.5 1 2.6n.63 5n.5 1 2.6n.63 5n.5 1 2.6n.63 6n 6n 6n n 2 4 4 6 n n 6 4 5 n . Ta có lim 0 và lim 0 . 1 5 3 6 6 5 2.6 6 42.0 6 1 Do đó limu . n 5 1.0 2.63 72 n n 2.2 2 1 2 2 1 n n n 2. n n n 2 1 3 2 1 2 2 1 2.2 2 1 2 2 2 2 2 d). Ta có u 3 3 . Vì 1 lim 0, n n n n n 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 1 n n 32 32 1 2 2.0 0 lim 0 và lim 0 . Do đó limu 0 . n n n 1 0 32 32 n n 3 20.5n ( 3)n 5n 3 n n 1 n n 20. 20 3 4.5 3 20.5 n n n 5 e). Ta có : u 5 5 5 , mà n 2.4n 3.5n 2.4n 3.5n 2.4n 3.5n 4n 5n n 2. 3. 4 n n n 2. 3 5 5 5 5 n n 3 4 0 20 20 lim 0 và lim 0 . Do đó limun . 5 5 2.0 3 3 2n 3n 100.5n 2n 3n 4.5n 2 2n 3n 100.5n n f). Ta có u 5 n 2n 1 3n 2 5n 1 2.2n 9.3n 5.5n 2.2n 9.3n 5.5n 5n n n 2n 3n 5n 2 3 100. 100 n n 5n 5n 5n 5 5 2 3 n n n n n . Vì lim 0 và lim 0 nên 2 3 5 5 5 2. 9. 5. 2 3 n n n 2. 9. 5 5 5 5 5 5 0 0 100 limu 20 . n 2.0 9.0 5 Ví dụ  Tìm giới hạn của dãy un biết: 2 2 a). un n 3n 5 n b). un 9n 3n 4 3n 2 3 3 2 3 3 2 c). un n 3n n d). un 8n 4n 2 2n 3 e). .u 4n2 3n 7 3 8n3 5n2 1 f). lim n4 n2 1 3 n6 1 n . . Lời giải
5. 3 2 3 3 2 3 8n 4n 2 4 2 3 3 Ta có 8n 4n 2 n 3 n 8 3 . Do đó n n n 2 2 2 n 4 2 4 n n2 2 un 2 2 . Vì lim 2 0, 4 2 4 2 4 2 4 2 n 2 3 2 3 2 3 3 n 8 3 2n . 8 3 4n 8 3 2. 8 3 4 n n n n n n n n 4 2 1 lim 0 và lim 0 . Nên limu . n n3 n 3 e). u 4n2 3n 7 3 8n3 5n2 1 4n2 3n 7 2n 2n 3 8n3 5n2 1 n 7 3 3n 7 3 Tính lim 4n2 3n 7 2n lim lim n 2 3 7 4 4n 3n 7 2n 4 2 n n2 Tính lim 2n 3 8n3 5n2 1 2 2n 3 8n3 5n2 1 4n2 2n.3 8n3 5n2 1 3 8n3 5n2 1 lim 2 4n2 2n.3 8n3 5n2 1 3 8n3 5n2 1 5n2 1 lim 2 (1) 4n2 2n.3 8n3 5n2 1 3 8n3 5n2 1 3 2 3 3 2 3 8n 5n 1 5 1 3 3 Có 8n 5n 1 n 3 n. 8 3 n n n 2 1 n 5 2 n Nên 1 lim 2 5 1 5 1 2 2 3 2 3 4n 2n . 8 3 n . 8 3 n n n n 1 5 n2 5 lim 2 . 5 1 5 1 12 3 3 4 2. 8 3 8 3 n n n n 3 5 1 Từ đó suy ra limu . n 4 12 3 f). lim n4 n2 1 3 n6 1 lim n4 n2 1 n2 3 n6 1 n2 1 2 1 2 4 2 2 n 1 n 1 Tính lim n n 1 n lim lim . 4 2 2 n n 1 n 1 1 2 1 2 4 1 n n
6. 2 4 4 1 3 1 3 1 n n 3 Do đó limun lim . 1 16 4 2 4 n c). u 2n 9n2 n n2 2n 3n 9n2 n n2 2n n . n 3n 9n2 n 3n 9n2 n Tính lim 3n 9n2 n lim 3n 9n2 n n n lim lim 2 2 3n 9n n 2 9n n 3n n 2 n n n 1 1 lim lim lim 1 1 1 6 3n n 9 n 3 9 3 9 n n n 2 2 n 2n n n 2n n 2n Và lim n2 2n n lim lim n2 2n n n2 2n n 2n 2n 2n 2 lim lim lim lim 1. 2 2 2 2 2 n 2n n 1 n n 1 1 1 1 n 2 n n n n n 1 5 Do đó limu 1 . n 6 6 d). u n2 2n 2 3 n2 8n3 3 n2 n n2 2n n 2 3 n2 8n3 4n n 3 n2 n 3n n2 2n n 2 3 n2 8n3 2n 3 n2 n n 2 2 n 2n n n 2n n 2n Tính lim n2 2n n lim lim n2 2n n n2 2n n 2n 2n 2n 2 lim lim lim lim 1. 2 2 2 2 2 n 2n n 1 n n 1 1 1 1 n 2 n n n n n Tính lim 3 n2 8n3 2n 2 3 n2 8n3 2n 3 n2 8n3 2n.3 n2 8n3 4n2 lim 2 3 n2 8n3 2n.3 n2 8n3 4n2
7. 1 k 2 1 (k 1)(k 1) 1 1 1 c). k 2 ta có 1 2 2 2 . Do đó un 1 2 1 2 1 2 k k k 2 3 n 1.3 2.4 3.5 4.6 (n 3)(n 1) (n 2)n (n 1)(n 1) 1 n 1        . 22 32 42 52 (n 2)2 (n 1)2 n2 2 n 1 1 n 1 1 Nên limu lim lim n . n 2n 2 2 1 3 5  (2n 1) d). u . n 3n2 4 Ta có dãy số 1 3 5  (2n 1) là một cấp số cộng với u1 1 công sai d 3 1 2 và số hạng tổng quát um 2n 1 u1 m 1 d 2n 1 1 m 1 .2 2n 1 m n 1, nên tổng của dãy số trên là 2 1 2 1 m n 1 2 n 1 n 1 4 S u u 1 2n 1 n 1 . Từ đó u có lim 0 và lim 0 từ đó 1 m n 2 4 2 2 2 3n 4 3 n n n2 1 suy ra limu . n 3 12 22 32  n2 n n 1 2n 1 e). u . Ta có tổng 12 22 32  n2 (được chứng minh bằng n n(n 1)(n 2) 6 1 2 2n 1 1 2 2 1 phương pháp quy nạp). Nên u n vì lim lim 0 do đó limu . n 6(n 2) 2 n n n 6 3 6 1 n 1 1 1 1 1 1 f). Ta có  (Chứng minh dựa vào nguyên lý quy 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) 2 2 (n 1)(n 2) 1 1 1 1 1 1 1 nạp). Do đó L lim lim lim 0 . 2 2 (n 1)(n 2) 4 2(n 1)(n 2) 4 4 n2 n 1 2 g). Ta có 13 23  n3 ( chứng minh bằng phương pháp quy nạp). Do đó 4 2 2 2 n 1 4 1 2 2 n n n 1 n n 1 n n L lim lim lim 4 3 4 3 4 4 1 4 n 4n 1 4 n 4n 1 4n 1 4n 4 4 n n n 2 1 1 n 1 4 1 1 lim . Vì lim lim lim 0 nên L . 4 1 n n n4 4 4 1 4 n n n n 1 n 2 n 3 h). Ta có 2.12 3.22  (n 1)n2 n(n 1)2 . 4
8. 2 12.32.52.72 2n 1 1 . 1.3.3.5.5.7 (2n 1)(2n 1) 2n 1 2 1 1 2 Do đó ta có n ¥ * thì 0 u . Mà lim0 0 và lim 0 nên lim u 0 . Từ đó suy ra n 2n 1 2n 1 n limun 0 . 3 3 d). Dễ dàng chứng minh k k 1 k 1 k k k 1 .Áp dụng với k 1,2,3, ,n được : 2 2 n 2 2 1 2 3  n  k 1 k 1 k k n 1 k 1 1 (1) và 3 k 0 3 n 2 2 1 2 3  n  k k k 1 k 1 n n (2). 3 k 1 3 2 2 n 1 n 1 1 2 2 Từ (1) và (2) suy ra 1 2 3  n . Mà lim và 3 3 n n 3 3 2 n 1 n 1 1 2 2 lim do đó lim 1 2 3  n . 3 n n 3 3 Ví dụ  u1 2022 Cho dãy số un xác định như sau: 1 n 1 n un 1 un n (n 1) 2022 Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số un ? . Lời giải 1 1 Ta có u 0,n N * và un 1 un un 1 un n n 1 n 2022n n 1 n 2022n 1 1 Do đó: u2 u1 u3 u2 2 1 20221 3 2 20222 1 un un 1 n n 1 2022n 1 n 1 1 1 1 1 1 2022 Suy ra: un u1 n 1 20221 20222 2022n 1 2021 n 1 1 1 n 2022 Vậy u 2022 n 2021 n 1 1 n  1 n 2022 1 1 1 2023 2022 1 u 2013 n 2023 1 (Cô si) n 2021 n n 2022 Mặt khác lim 1 1. Vậy limun 1 n
9. 4 1 4 1 n2 1 2 n 1 2 n2 n4 n2 n4 4 1 3 2 . Ta có lim 0, lim 0, lim 0 và lim 0 do 3 2 3 2 n2 n4 n2 n 1 n n 1 2 2 n n n n 4 1 1 2 2 4 1 0 0 2 đó lim n n 1 (1). Ngoài ra có lim n (2). 3 2 1 0 0 1 n2 n Từ (1) và (2) suy ra limun .