Bài tập Toán Lớp 11 - Dạng bài: Hàm số liên tục (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập Toán Lớp 11 - Dạng bài: Hàm số liên tục (Có lời giải)

1. CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC LỚP 11 Dạng ➊ Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm  Phương pháp giải: Để xét sự liên tục của hàm số y f x tại điểm tại x ta0 thực hiện các bước : • Bước 1 : Tính f x0 • Bước 2 : Tính lim f x (trong nhiều trường hợp để tính lim f x ta cần tính lim f x x x0 x x0 x x0 và lim f x x x0 • Bước 3 : So sánh lim f x và f x0 rồi rút ra kết luận. x x0  Chú ý: hàm số không liên tục tại x0 thì được gọi là gián đoạn tại x0  Ví dụ minh họa Ví dụ ➊ Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra : x 3 2 x 3 khi x 1 khi x 1 x 1 a)f x x 1 (tại x 1 ) b) f x (tại x 1 ) 1 1 khi x 1 khi x 1 4 . Lời giải 1 3 a) Ta có: f 1 1 1 1 x 3 lim f x lim 1 f 1 hàm số liên tục tại x 1 x 1 x 1 x 1 1 b) Ta có : f 1 . 4 x 3 2 x 3 2 x 3 2 1 lim f x lim lim lim f 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 3 2 x 1 x 3 2  Vậy hàm số liên tục tại x 1.
2. Dạng ➋ Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng, đoạn  Phương pháp • Để chứng minh hàm số y f x liên tục trên một khoảng, đoạn ta dùng các định nghĩa về hàm số liên tục trên khoảng, đoạn và các nhận xét để suy ra kết luận. • Khi nói xét tính liên tục của hàm số (mà không nói rõ gì hơn) thì ta hiểu phải xét tính liên tục trên tập xác định của nó. • Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không liên tục tại các điểm nào  Ví dụ minh họa Ví dụ ➊ Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng : 3 x x 2 2 khi x 1 x 3x 4 khi x 2 x3 1 a)f x b) f x 5 khi x 2 4 khi x 1 2x 1 khi x 2 3 . Lời giải x3 x 2 x3 1 x 1 1 4 a) lim f x lim 3 lim 3 lim 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 3  Do đó, hàm số này liên tục tại x 1 b)b lim x2 3x 4 =2; lim 2x 1 5 x 2 x 2 • Mà f x 5 khi x 2 nên lim f x lim f x lim f x x 2 x 2 x 2  Do đó, hàm số đã cho liên tục khi x 2 Ví dụ ➋ Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng : 2 x2 4 x 2 khi x 2 khi x 2 a)f x x 2 b) f x x 2 4 khi x 2 2 2 khi x 2 . Lời giải a) Hàm số f x liên tục với x 2 1 x2 4 x 2 x 2 • lim f x lim lim lim x 2 2 2 4. x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 • f 2 4 lim f x f 2 f x liên tục tại x 2 2 x 2
3.  Ví dụ minh họa Ví dụ ➊ Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a)x3 3x 1 0 b) 2x 6 3 1 x 3 . Lời giải a) Dễ thấy hàm f x x3 3x 1 liên tục trên R . Ta có: f 2 1 • f 2 . f 1 0 tồn tại một số a1 2; 1 : f a1 0 1 . f 1 3 f 0 1 • f 0 . f 1 0 tồn tại một số a2 0;1 : f a2 0 2 . f 1 1 f 1 1 • f 1 . f 2 0 tồn tại một số a3 1;2 : f a3 0 3 . f 2 3  Do ba khoảng 2; 1 , 0;1 và 1;2 đôi một không giao nhau nên phương trình x3 3x 1 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.  Mà phương trình bậc 3 thì chỉ có tối đa là 3 nghiệm nên x3 3x 1 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. b) Đặt 3 1 x t x 1 t3 2t3 6t 1 0 .  Xét hàm số f t 2t3 6t 1 liên tục trên R . f 2 . f 1 3.5 0  Ta có: f 0 . f 1 1. 3 0 tồn tại 3 số t1, t2 và t3 lần lượt thuộc 3 khoảng đôi một f 1 . f 2 3.5 0 không giao nhau là 2; 1 , 0;1 và 1;2 sao cho f t1 f t2 f t3 0 và do đây là phương trình bậc 3 nên f t 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. 3  Ứng với mỗi giá trị t1, t2 và t3 ta tìm được duy nhất một giá trị x thỏa mãn x 1 t và hiển nhiên 3 giá trị này khác nhau nên PT ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt. Ví dụ ➋ Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: a) x5 3x 3 0 b) x4 x3 3x2 x 1 0 . Lời giải