Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 1: Số tự nhiên - Chủ đề 1: Phương pháp giải các bài toán liên quan đến số và chữ số (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 1: Số tự nhiên - Chủ đề 1: Phương pháp giải các bài toán liên quan đến số và chữ số (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 1-SỐ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 1:PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ VÀ CHỮ SỐ PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN Tập hợp số tự nhiên: ¥ Tập hợp số tự nhiên khác 0 (nguyên dương), ký hiệu là: ¥ * Có 10 chữ số: 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 . Số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0;2;4;6;8 là các số chẵn. Số tự nhiên có chữ số tận cùng là 1;3;5;7;9 là các số lẻ. Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị. Hai số hơn (kém) nhau 1 đơn vị là hai số tự nhiên liên tiếp. Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hai số chẵn hơn (kém) nhau 2 đơn vị là hai số chẵn liên tiếp. Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hai số lẻ hơn (kém) nhau 2 đơn vị là hai số lẻ liên tiếp. 2.CẤU TẠO CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN Phân tích một số tự nhiên theo các chữ số: ab 10a b abc 100a 10b c 10ab c 100a bc abcd 1000a 100b 10c d 10abc d 100ab cd 1000a 10bc d Với điều kiện 0 a 9;0 b,c,d 9 3.SO SÁNH HAI SỐ TỰ NHIÊN Trong hai số tự nhiên, số nào có chữ số nhiều hơn thì lớn hơn. Nếu hai số có cùng chữ số thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ trái sang phải lớn hơn thì số đó lớn hơn. Nếu hai số có tất cả các cặp chữ số ở từng hàng đều bằng nhau thì hai số đó bằng nhau. PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1:Viết số tự nhiên từ giả thiết cho trước I.Phương pháp giải - Khi viết một số tự nhiên ta sử dụng 10 chữ số 0,1,2,3,4;5;6;7;8;9 . Chữ số đầu tiên kể từ bên trái của một số tự nhiên phải khác 0. - Thông qua việc phân tích và xét hết khả năng có thể xảy ra, đối chiếu với giả thiết đề bài để lập số. II.Bài toán Bài 1: Cho bốn chữ số 0;3;8;9 .
2. Số bé là: 5- 3 = 2 (phần) Vậy tích sẽ bằng 12 lần số bé. Ta có: Tích Số lớn Số bé Tích 12 Số bé Số lớn là 12 . Số bé là: 12 :3.2 = 8 Vậy hái số tự nhiên cần tìm là 12;8 . Bài 4: Tìm thương của một phép chia, biết rằng nếu thêm 15 vào số bị chia và thêm 5 vào số chia thì thương và số dư không đổi. Phân tích: Thực hiện biểu diễn số bị chia theo số chia, số thương và số dư, từ đó thiết lập được hai đẳng thức liên quan giữa số thương, số chia, và số dư. Cuối cùng tìm được thương. Lời giải Gọi số bị chia, số chia, thương và số dư lần lượt là a,b,c,d a,b,c,d ¥ ,b 0;d b . Ta có: a :b = c (dư d )Þ a = c.b + d Theo đề ta có: (a + 15) : (b + 5) = c (dư d )Þ a + 15 = c.(b + 5) + d Hay a + 15 = c.b + c.5+ d Mà a = c.b + d nên a + 15 = c.b + c.5+ d = c.b + d + 15 = c.b + c.5+ d Suy ra 15 = c.5 . Vậy c = 3. Bài 5: Hiệu của hai số là 4. Nếu tăng một số gấp ba lần, giữ nguyên số kia thì hiệu của chúng bằng 60. Tìm hai số đó. Lời giải Gọi 2 số đó là a,b a b;a,b ¥ Theo bài ra ta có: a b 4 b a 4 1 Nếu tăng một số gấp ba lần, giữ nguyên số kia thì hiệu của chúng bằng 60 3a b 60 2 Thay (1) vào (2) ta có 3a a 4 60 3a a 4 60 2a 56 a 28 b 24 Vậy số cần tìm là 24;28 . Bài 6: Tìm hai số biết rằng tổng của chúng gấp 5 lần hiệu của chúng và tích của chúng gấp 4008 lần hiệu của chúng. Lời giải Coi hiệu của hai số là 1 phần thì tổng của chúng là 5 phần. Do đó số lớn là 5 1 : 2 3 (phần). Số bé là: 5 3 2 (phần).
3. Tăng số bị trừ lên 3 lần và giữ nguyên số chia vì hiệu của chúng bằng 60 nên :3a b 60 2 Từ 1 ta có b a 4 thay vào 2 ta được : 2a 56 suy ra a 28 suy ra b 24 . Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 24;28 . Bài 10: Tìm hai số, biết rằng tổng của chúng gấp 7 lần hiệu của chúng, tích của chúng gấp 192 lần hiệu của chúng. Lời giải Coi hiệu của hai số là 1 phần thì tổng của chúng là 7 phần. Do đó số lớn là 7 1 : 2 4 (phần). Số bé là: 7 4 3 (phần). Tích của hai số là: 3.4 12 (phần) Mà tích hai số là 192 nên giá trị một phần là: 192 :12 16 . Số bé là: 16.3 48 Số lớn là: 16.4 64 . Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 64;48. Bài 11: Viết liên tiếp 15 số lẻ đầu tiên để được một số tự nhiên. Hãy xoá đi 15 chữ số của số tự nhiên vừa nhận được mà vẫn giữ nguyên thứ tự các chữ số còn lại để được: a, Số lớn nhất. b, Số nhỏ nhất. Lời giải Viết 15 số lẻ đầu tiên liên tiếp ta được số tự nhiên: 1357911131517192123252729 Để sau khi xoá 15 chữ số ta nhận được số lớn nhất thì chữ số giữ lại đầu tiên kể từ bên trái phải là chữ số 9. Vậy trước hết ta xoá 4 chữ số đầu tiên của dãy1,3,5,7 . Số còn lại là: 911131517192123252729 Ta phải xoá tiếp 15 – 4 11 chữ số còn lại để được số lớn nhất. Để sau khi xoá nhận được số lớn nhất thì chữ số thứ hai kể từ bên trái phải là chữ số 9. Vậy tiếp theo ta phải xoá tiếp những chữ số viết giữa hai chữ số 9 trong dãy, đó là111315171. Số còn lại là: 992123252729 . Ta phải xoá tiếp 11– 9 2 chữ số từ số còn lại để được số lớn nhất. Chữ số thứ ba còn lại kể từ bên trái phải là 2, vậy để được số lớn nhất sau khi xoá 2 chữ số ta phải xoá số 12 hoặc 21. Vậy số lớn nhất phải là 9923252729 . b, Lập luận tương tự câu a. số phải tìm là 1111111122.
4. Lời giải: Gọi số phải tìm là: ab (a 0;a,b ¥ ;a,b 10) Theo bài ra ta có: ab (a b).18 4 10a b 18a 18b 4 19b 8a 4 Vì 8a 4 là số chẵn b chẵn b 0;2;4;6;8 Với b 0 8a 4 0 (vô lý) Tương tự với các trường hợp b còn lại : ta có b 4;a 9 thỏa mãn bài toán Vậy số cần tìm là 94. Bài 3: Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó. Lời giải: Gọi số phải tìm là: abc (0 a 9;0 b,c 9;a,b,c ¥ ) abc 5.a.b.c a,b,c 0 Nếu c 0 thì abc 0 không thỏa mãn bài toán. Nếu c 5 thì ab5 25ab 1 b 2 Số có ba chữ số chia hết cho 25 khi b525 b 7 Ta có: Vế trái (1) là một số tự nhiên lẻ nên vế phải cũng là một số tự nhiên lẻ b 2 (loại) do đó b 7 a75 25.a.7 175a a 1 Vậy số tự nhiên cần tìm là 175 . Bài 4: Tìm các chữ số a, b , c thỏa mãn: a) ab bc ca abc b) abcd abc ab a 4321 Lời giải: Điều kiện: 0 a 9;0 b,c 9;a,b,c ¥ a) Ta có abc 11(a b c) 100a 10b c 11a 11b 11c b 10c 89a 99 a 1 b 9;c 8 (do :b 10c 99) b) Ta có: abcd abc ab a 1111.a 111.b 11.c d Vậy 1111.a 111.b 11.c d 4321 Nếu a 3 thì 111.b 11.c d 2098 (vô lý vì b,c,d 10) Nếu a 3 thì vế trái 4321 (không thỏa mãn) Vậy a 3. Suy ra 111.b 11.c d 988 Nếu b 8 thì 11.c d 210 (vô lý vì c,d 10 )
5. Gọi ba chữ số cần tìm là a,b,c (0 < a < b < c < 9;a,b,c Î ¥ ) . Theo bài ra ta có: abc + acb = 1444 Û 100a + 10b + c + 100a + 10c + b = 1444 Û 200a + 11b + 11c = 1444 Û 200a + 11(b + c) = 1400+ 11.4 Þ a = 7;b = 3;c = 1. Vậy 3 số cần tìm là:1;3;7. Bài 8: Cho ba chữ số a,b,c đôi một khác nhau và khác 0. Tổng của tất cả các số có hai chữ số được lập từ ba chữ số a,b,c bằng 627. Tính tổng a b c . Lời giải: Ta có các số có hai chữ số được lập thành từ ba chữ số a,b,c là: ab ac ba bc cb ca aa bb cc Theo đầu bài ta có: ab ac ba bc cb ca aa bb cc 627 33(a b c) 627 a b c 19 Vậy a b c 19 . Bài 9: Tích của hai số là 6210 . Nếu giảm một thừa số đi 7 đơn vị thì tích mới là 5265 . Tìm các thừa số của tích. Phân tích: Từ mối liên hệ bài cho ta thiết lập được hai đẳng thức liên quan tới hai số, từ đó tìm được hai số. Lời giải Gọi thừa số được giảm là a , thừa số còn lại là b . Theo đề bài ta có: a.b = 6210 ;(a- 7).b = 5265 Þ a.b- 7.b = 5265 Þ 6210- 7.b = 5265 Þ 7.b = 6210- 5265 Þ 7.b = 945 Þ b = 945:7 = 135 Þ a = 6210 :135 = 46 Vậy hai thừa số cần tìm là 46;135. Bài 10: Một số có 3 chữ số, tận cùng bằng chữ số 7. Nếu chuyển chữ số 7 đó lên đầu thì ta được một số mới mà khi chia cho số cũ thì được thương là 2 dư 21. Tìm số đó. Phân tích: Gọi ab7 số tự nhiên có chữ số 7 là hàng đơn vị 7ab số tự nhiên có chữ số 7 là hàng trăm Bằng việc phân tích cấu tạo số ta có thể giải bài toán theo hai cách: Phân tích cấu tạo số theo ab Lời giải Gọi ab7 số tự nhiên có chữ số 7 là hàng đơn vị. 0 a 9;0 b 9;a,b ¥
6. Phân tích: Gọi số cần tìm là ab . Khi viết thêm chữ số 0 vào giữa ta được a0b . Vì hai chữ số a, b không có cạnh nhau, nên ta cần phân tích cấu tạo số a0b theo các chữ số a,b từ đó theo mối liên hệ bài cho tìm được các chữ số a, b từ đó suy ra số ab Lời giải Số tự nhiên có hai chữ số có dạng: ab 0 a 9;0 b 9;a,b ¥ Thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số: a0b Theo đề bài: a0b = 7.ab Hay 100a + b = 7.(10a + b) Þ 30a = 6b Þ 5a = b Khi a = 1, ta được: b = 5 (nhận) ab là 15 Khi a= 2, ta được: b = 10 (loại) Vậy số tự nhiên cần tìm là15 . Bài 14: Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số của chính số đó, ta được một số mới có bốn chữ số và bằng 99 lần số đầu tiên. Tìm số đó Phân tích: Gọi số cần tìm là ab . Xen vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số của chính số đó ta được aabb , đến đây nhiều ý tưởng sẽ phân tích cấu tạo số aabb theo ab , tuy nhiên vì hai chữ số b, a ở hàng đơn vị và hàng nghìn không cạnh nhau, nên việc phân tích cấu tạo số theo ab là không ra mà ta cần phân tích cấu tạo số theo các chữ số a, b, từ đó theo mối liên hệ bài cho tìm được các chữ số a, b từ đó suy ra số ab . Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm là ab 0 a 9;0 b 9;a,b ¥ Theo bài ra, ta có: aabb = 99.ab Û 1100a + 11b = 990a + 99b Û 110a- 88b = 0 Û 5a- 4b = 0 a 4 Û 5a = 4b Û = b 5 Mà a;b là các số có 1 chữ sốÞ a = 4,b = 5 . Vậy số tự nhiên cần tìm là 45 . Bài 15: Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số một số có hai chữ số kém số đó 1 đơn vị thì sẽ được một số có bốn chữ số lớn gấp 91 lần so với số đầu tiên. Hãy tìm số đó. Lời giải: Gọi số cần tìm là ab 0 a 9;0 b 9;a,b ¥ Ta có: ab b 1 b ab.91 a.1000 a.100 b.10 10 b a.910 b.91 Bài 16: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số mới viết theo thứ tự ngược lại nhân với số phải tìm thì được 3154; số nhỏ trong hai số thì lớn hơn tổng các chữ số của nó là 27
7. Lời giải: Gọi 2 số cần tìm là: abcd và xy a,b,c,d, x, y ¥ ;a, x 0;a,b,c,d, x, y 10 Theo đề ta có: abcd xy 2750 1 dcba yx 8888 2 Cả 2 phép cộng đều không nhớ sang hàng nghìn nên từ 1 ta có a 2 và từ 2 ta có d 8. Cũng từ 1 ta có d y có tận cùng bằng 0, mà d 8 nên y 2. Từ 2 ta có a x có tận cùng bằng 8, mà a 2 nên x 6. Từ 1 ta có c x 1 (vì có nhớ 1) có tận cùng bằng 5, mà x 6 nên c 8. Từ 2 ta có b y có tận cùng bằng 8, mà y 2 nên b 6. Vậy hai số đó là: 2688 và 62 . Bài 19: Tìm số có bốn chữ số khác nhau, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 0 vào giữa hàng nghìn và hàng trăm thì được số mới gấp 9 lần số phải tìm. Lời giải: Gọi số cần tìm là abcd a,b,c,d ¥ ;a 0;a,b,c,d 10 Số mới là a0bcd Ta có a0bcd = abcd.9 Hay a0bcd = abcd.10- abcd Hay a0bcd + abcd = abcd0 Vì d + d có tận cùng bằng 0 suy ra d = 0 hoặc 5 Nếu d = 5 ta có c + c + 1= 0 có tận cùng là 5 nên c = 2 hoặc c 7 . Nếu c = 2 thì b + b = 2 nên b = 1, do đó 0+ a có tận cùng bằng 1 nên a = 1 (loại vì a khác b ) Nếu c = 7 thì b + b + 1 có tận cùng là 7 nên b = 3 hoặc b 8 . Nếu b = 3 thì 0+ a = 3 nên a = 3 (loại). Nếu b = 8 thì 0+ a + 1= 8 nên a = 7 (loại vì a khác c). Nếu d = 0 suy ra c khác 0 mà c + c có tận cùng là 0 nên c= 5. Khi đó b + b + 1 có tận cùng là 5 nên b = 2 hoặc b 7 Nếu b = 2 thì 0+ a có tận cùng bằng 2 nên a = 2 (loại) Nếu b = 7 thì 0 + a + 1 có tận cùng là 7 nên a = 6 Vậy số cần tìm là 6750.
8. Bài 22: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng nếu xoá chữ số hàng trăm thì số ấy giảm 9 lần. Lời giải: Gọi số cần tìm là abc a,b,c ¥ ;a 0;a,b,c 10 Khi xóa chữ số hàng trăm ta có số bc Ta có: abc 9bc 100a bc 9bc 8bc 100a8 a 4 hoặc a 8 Vì bc có hai chữ số a 4;bc 50 Vậy số cần tìm là 450. Bài 23: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng nếu xoá chữ số hàng nghìn thì số ấy giảm 9 lần. Lời giải: Gọi số cần tìm là abcd a,b,c,d ¥ ;a 0;a,b,c,d 10 Xóa chữ số hàng trăm ta có số bcd Ta có: abcd 9bcd 1000a bcd 9bcd 8bcd 1000a8 a 4 hoặc a 8 Vì bcd có 3 chữ số Þ a = 4 và bcd = 500 Vậy số cần tìm là 4500. Bài 24: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm bằng 0 và nếu xoá chữ số 0 đó thì số ấy giảm 9 lần. Lời giải: Gọi số cần tìm là a0cd a,c,d ¥ ;a 0;a,c,d 10 Xóa chữ số hàng trăm ta có số acd Ta có: a0cd 9acd 1000a cd 9 100a cd 100a 8cd8 a 4 hoặc a 8 Vì cd có 2 chữ số a 4 và cd = 50 Vậy số cần tìm là 4050 . Bài 25: Một số tự nhiên có hai chữ số tăng gấp 9 lần nếu viết thêm một chữ số 0 vào giữa các chữ số hàng chục và hàng đơn vị của nó . Tìm số ấy. Lời giải Số cần tìm là ab a,b ¥ ;a 0;ab 10 . Viết thêm một chữ số 0 vào giữa các chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta có số a0b Ta có: a0b = 9ab Þ 100a + b = 9(10a + b)Þ 10a = 8bM8 Þ a = 4 hoặc a 8 Vì 0 < b £ 9 Þ a = 4;b = 5
9. Ta có: abc.10 abc 4106 2 abc. 10 1 4106 9abc 4104 abc 456 Thử lại: 4562 – 456 4106 (đúng) Vậy số tự nhiên cần tìm là 456. Bài 29: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số. Biết rằng nếu ta xóa đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó giảm đi 4455 đơn vị. Lời giải Gọi số cần tìm là abcd a,b,c,d ¥ ;a 0;a,b,c,d 10 Xóa đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đó, ta được ab Theo đề bài ta có: abcd ab 4455 ab.100 cd 5 4455 (phân tích abcd theo cấu tạo số) cd ab.100 ab 4455 cd ab.(100 1) 4455 cd ab.99 45.99(4455 45.99) cd 99.(45 ab) Ta nhận thấy tích của 99 và 1 là một số tự nhiên bé hơn 100 nên 45 ab phải bằng 0 hoặc 1. Nếu 45 ab 0 thì 45 ab và cd 00 Nếu 45 ab 1 ab 44;cd 99 Thử lại: 4500 45 4455 ; 4499 44 4455 Vậy số cần tìm là 4500 hoặc 4499. Bài 30: Chia một số tự nhiên có ba chữ số như nhau cho một số tự nhiên có ba chữ số như nhau ta được thương là 2 và có dư. Nếu xóa bớt một số ở số bị chia và xóa bớt một số ở số chia thì thương vẫn bằng 2 và số dư giảm đi 100. Tìm số bị chia và số chia lúc đầu. Lời giải Gọi số cần tìm là aaa a ¥ ;a 0;a 10 aaa 2.bbb r (r 0) r 100(1) 111a 222b r Ta có: r111(3) aa 2.bb r 100 r 100 bb 99(2) 11a 22b r 100(*) Từ (1) ,(2) ,(3) suy ra r 111, thay vào (*) ta được a 2b 1 - b 1 a 3 hai số là 333 và 111 (loại vì 333:111 3 không thỏa mãn) - b 2 a 5 hai số là 555 và 222 (nhận vì 555: 222 2 dư 111 thỏa mãn) - b 3 a 7 hai số là 777 và 333 (nhận vì 777 :333 2 dư 111 thỏa mãn) - b 4 a 9 hai số là 999 và 444 (nhận vì 999 : 444 2 dư 111 thỏa mãn) Vậy số bị chia và số chia lúc đầu là: 555 và 222; 777 và 333; 999 và 444. Bài 31: Tìm các số tự nhiên a,b,c biết a3 b3 c3 3abc và a2 2 b c Lời giải
10.  HẾT 