Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 1: Số tự nhiên - Chủ đề 2: Phương pháp giải các bài toán đếm (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 1: Số tự nhiên - Chủ đề 2: Phương pháp giải các bài toán đếm (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 1: TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT *) Nhận xét: Đối với “Bài toán đếm số” thì không có phương pháp chung nào cho mọi bài toán ở dạng này. Mà khi gặp mỗi bài toán có liên quan tới việc đếm số, đếm chữ số đòi hỏi sự tư duy, tố chất thông minh kết hợp với những kiến thức đã học về tập hợp số tự nhiên để giải bài toán. Qua mỗi bài toán cụ thể, học sinh sẽ tích lũy được những phương pháp giải, giúp hỗ trợ cho việc giải các bài toán khác ở dạng này được tốt hơn. *) Đếm số tự nhiên lập được từ m số cho trước lấy ra từ tập hợp số 0;1;2 ;9 ta làm như sau: + Chọn một trong m số làm chữ số hàng cao nhất, rồi lập sơ đồ hình cây, sau đó đếm số lập được + Ví dụ: Từ các số 3, 6, 9 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau? Bước 1: Chọn chữ số 3 làm hàng trăm, ta có 2 số 369 và 396. Bước 2: Từ sơ đồ, ta thấy từ 3 chữ số đã cho ta lập được 2 số có 3 chữ số khác nhau mà chữ số hàng trăm bằng 3. Tương tự, ta lập được 2 số có 3 chữ số khác nhau mà chữ số hàng trăm bằng 6, lập được 2 số có 3 chữ số khác nhau mà có chữ số hàng trăm bằng 9. Bước 3: Vậy từ 3 chữ số đã cho ta lập được 3.2 6 (số). *) Để tìm số tự nhiên chưa biết, ta vận dụng hai phương pháp cơ bản sau: - Phân tích cấu tạo số của một số tự nhiên. Ta có: ab 10a b abc 100a 10b c 10ab c 100a bc abcd 1000a 100b 10c d 10abc d 100ab cd 1000a 10bc d - Từ đặc điểm của số cần tìm và dữ kiện của bài toán ta lập luận, nhận xét để lựa chọn chữ số (thường sẽ nhận xét để chỉ ra chữ số của hàng đơn vị và chữ số hàng cao nhất). PHẦN II. BÀI TẬP: I.Phương pháp giải - Liệt kê: Các phần tử thỏa mãn điều kiện cho trước ⇒ dùng phương pháp đếm (ít phần tử) - Dựa vào quy luật hình thành các phần tử để đếm (chia hết cho 2, 3, hoặc thỏa mãn điều kiện nào đó). II.Bài toán Dạng 1: Đếm số các chữ số của dãy số Bài 1: Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 999 ta được một số tự nhiên A . a) Số A có bao nhiêu chữ số?
2. So với dãy 1 thì ở dãy 2 ta viết thêm các chữ số 0: - Vào hàng trăm 100 lần (chữ số hàng trăm của các số từ 000 đến 099); -Vào hàng chục 10 lần (chữ số hàng chục của các số từ 000 đến 009); -Vào hàng đơn vị 1 lần (chữ số hàng đơn vị của 000). Vậy chữ số 0 ở dãy 1 được viết là: 300- 111= 189 (lần). Bài 2: Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 999 ta được một số tự nhiên A. a) Số A có bao nhiêu chữ số? b) Tính tổng các chữ số của số A? c) Chữ số 1 được viết bao nhiêu lần? d) Chữ số 0 được viết bao nhiêu lần? Phân tích: a) Cần đếm số chữ số của các dãy số sau: Dãy các số tự nhiên có 1 chữ số, dãy các số tự nhiên có 2 chữ số, dãy các số tự nhiên có 3 chữ số. Sau đó cộng các kết quả lại với nhau b) Viết số B là các số tự nhiên từ 000 đến 999 (mỗi số đều viết bởi 3 chữ số), thì tổng các chữ số của B cũng bằng tổng các chữ số của A. Số B có: 3.1000 = 3000 chữ số mà mỗi chữ số từ 0 đến 9 đều có mặt 300 lần Lời giải: a) Số A có bao nhiêu chữ số? Từ 1 đến 9 có 9 số gồm: 9 (chữ số) Từ 10 đến 99 số có 90 số gồm: 90.2 = 180 (chữ số) Từ 100 đến 999 có 900 số gồm: 900.3 = 2700 (chữ số) Số A có: 9+ 180+ 2700 = 2889 (chữ số). b) Tính tổng các chữ số của số A? Giả sử ta viết số B là các số tự nhiên từ 000 đến 999 (mỗi số đều viết bởi 3 chữ số), thế thì tổng các chữ số của B cũng bằng tổng các chữ số của A.Số B có: 3.1000 = 3000 chữ số, mỗi chữ số từ 0 đến 9 đều có mặt: 3000 :100 = 300 (lần) Tổng các chữ số của B (cũng là của A): (0 + 1+ 2 + + 9).300 = 45.300 = 13500 (chữ số) c) Chữ số 1 được viết bao nhiêu lần? Cần đếm số chữ số 1 trong 11 dãy: 1, 2,3, ,999 1
3. Þ Có: 1809 :3 = 603 số có 3 chữ số. Þ Cuốn sách đó có: 603+ 99 = 702 (vì trang 1® 99 có 99 trang). Cuốn sách có 702 trang. b) Vì 1010 > 180+ 9 nên chữ số thứ 1010 nằm trong các số có 3 chữ số Ta có: 1010- (180+ 9)= 821 (chữ số) đánh dấu các trang có 3 chữ số tính từ trang 100 (số thứ nhất có 3 chữ số) nên có 821:3 được 273 và dư 2Þ Chữ số thứ 1010 sẽ nằm ở số thứ 274 có 3 chữ số. Số thứ 274 có 3 chữ số là 374Þ Chữ số thứ 1010 là chữ số 7 của 374. Bài 4: Bạn Tâm đánh số trang của một cuốn vở có 110 trang bằng cách viết dãy số tự nhiên1 , 2,3, ,110. Bạn Tâm phải viết tất cả bao nhiêu chữ số? Lời giải: Ta có: Từ trang 1 đến trang 9 có 9 trang, phải dùng 9 chữ số. Từ trang 10 đến trang 99 có 99 10 1 90 (trang), phải dùng 180 (chữ số). Từ trang 100 đến trang 110 có 110 100 1 11(trang), phải dùng 11.3 = 33 (chữ số). Vậy bạn Tâm phải viết tất cả: 9 + 180 + 33 = 222 (chữ số). Bài 5: Một cô nhân viên đánh máy liên tục dãy số chẵn bắt đầu từ 2: 2, 4, 6,8,10,12, Cô phải đánh tất cả 2000 chữ số. Tìm chữ số cuối cùng mà cô đã đánh. Lời giải: Đánh từ số 2 đến số 8 cần 8 2 : 2 1 4 số chẵn có 1 chữ số, phải đánh 4 (chữ số). Đánh từ số 10 đến số 98 cần (98- 10) : 2 + 1 = 45 số chẵn có 2 chữ số, phải đánh 45.2 90 (chữ số). Đánh từ số 100 đến số 998 cần (998- 100) : 2 + 1 = 450 số chẵn có 3 chữ số, phải đánh 450.3 1350 (chữ số). Vì còn các số chẵn phải đánh gồm các số chẵn có 4 chữ số Þ Còn lại: 2000 (1350 90 4) 556 chữ số là đánh các số chẵn có 4 chữ số Có: 556 : 4 được 139Þ chữ số thứ 2000 sẽ nằm ở số chẵn thứ 139 có 4 chữ số Số chẵn thứ 139 có 4 chữ số là: (139 - 1).2 + 1000 = 1276 . Þ Chữ số thứ 2000 là chữ số 6 của số 1276. Bài 6: Bạn Mai viết dãy số lẻ 1;3;5; ;245. a) Bạn Mai phải viết tất cả bao nhiêu chữ số?
4. Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5? Phân tích: Số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5, ta cần hiểu chữ số 5 có thể là chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng chục, chữ số hàng trăm nên ta cần chia ra ba loại số có 3 chữ số thỏa mãn là: 5ab;a5b;ab5 . Ở mỗi loại số ta thực hiện đếm số cách chọn mỗi chữ số từ tập hợp{0 ,1,2,3,4,6,7,8,9} giống như bài 2. Lời giải: Ta chia ra 3 loại số: Số đếm có dạng 5ab (0 a,b 9,a 5,b 5) : chữ số a có 9 cách chọn, chữ số b có 9 cách chọn các số thuộc loại này có: 9.9 = 81 (số). Số đếm có dạng a5b (0 a,b 9,a 5,b 5,a 0) : chữ số a có 8 cách chọn, chữ số b có 9 cách chọn, các số thuộc loại này có: 8.9 = 72 (số). Số đếm có dạng ab5 (0 a,b 9,a 5,b 5,a 0) : các số thuộc loại này có: 8.9 = 72 (số). Vậy số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5 là 81+ 72+ 72 = 225 (số). Bài 3: Trong các số tự nhiên có ba chữ số, có bao nhiêu số: a) Chứa đúng một chữ số 4? b) Chứa đúng hai chữ số 4? c) Chia hết cho 5, có chứa chữ số 5? d) Chia hết cho 3, không chứa chữ số 3? Lời giải: a) Chứa đúng một chữ số 4? Các số phải đếm có 3 dạng: - Dạng 4bc (0 c,b 9,c 4,b 4) có 9.9 = 81 (số). - Dạng a4c (0 a,c 9,a 4,c 4,a 0) có 8.9 = 72 (số). - Dạng ab4 (0 a,b 9,a 4,b 4,a 0) có 8.9 = 72 (số). Tất cả có: 81+ 72+ 72 = 225 (số). b) Chứa đúng hai chữ số 4? Các số phải đếm gồm 3 dạng: - Dạng 44c (0 c 9,c 4) có 9 (số). - Dạng a44 (0 a 9,a 4,a 0) có 8 (số).
5. 100 2 1 50 (số) 2 Các số chia hết cho 2 và 3: 6;12;18; 24; ;96 Số các số chia hết cho cả 2 và 3 là: 96 6 1 16 (số) 6 Vậy từ 1 đến 100 có 50 16 34 số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 3. b) Chia hết cho ít nhất một trong hai số 2 và 3? Các số chia hết cho 3 là: 3;6;9;12;15; ;99 Số các số chia hết cho 3 là: 99 3 1 33 (số) 3 Vậy các số chia cho ít nhất một trong hai số 2 và 3 là: 50 33 16 67 (số) c) Không chia hết cho 2 và không chia hết cho 3? Số các số không chia hết cho 2 và cho 3 là: 100 67 33 (số). Bài 6: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 1000, có bao nhiêu số: a) Chia hết cho ít nhất một trong các số 2, 3, 5? b) Không chia hết cho tất cả các số tự nhiên từ 2 đến 5? Lời giải: a) Chia hết cho ít nhất một trong các số 2, 3, 5? Gọi A, B,C, D, E,G, H là tập hợp các số từ 1 đến 1000 mà theo thứ tự chia hết cho 2, chia hết cho 3, chia hết cho 5, chia hết cho 2 và 3, chia hết cho 2 và 5, chia hết cho 3 và 5, chia hết cho cả 3 số. Số phần tử của các tập hợp đó theo thứ tự bằng S1, S2 , S3 , S4 , S5 , S6 , S7 Ta có: S1 1000: 2 500;S2 1000:3 333;S3 1000:5 200;S4 1000:6 166 S5 1000:10 100;S6 1000:15 66;S7 1000:30 33 Số các số phải tìm gồm: S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 734 (số) b) Không chia hết cho tất cả các số tự nhiên từ 2 đến 5? Còn lại 1000 734 266 (số).
6. Trước hết, ta đếm các số không chứa chữ số 1 của dãy này: đó là các số có dạng abc (0 a,b,c 9,a 1,b 1,c 1) trong đó mỗi chữ số a, b, c đều có 9 cách chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác 1), tất cả có: 9.9.9 = 729 (số). Vậy số lượng các số từ 1 đến 999 không chứa chữ số 1 có: 729 1 728 (số). Số lượng các số từ 1 đến 999 có chứa chữ số 1 là: 999 728 271 (số). Bài 10: Tìm số lượng các số tự nhiên có bốn chữ số mà: a) Số tạo bởi hai chữ số đầu (theo thứ tự ấy) cộng với số tạo bởi hai chữ số cuối (theo thứ tự ấy) nhỏ hơn 100. b) Số tạo bởi hai chữ số đầu (theo thứ tự ấy) lớn hơn số tạo bởi hai chữ số cuối (theo thứ tự ấy)? Lời giải: a) Các số cần tìm có dạng: abcd (0 a,b,c,d 9,a 0) trong đó: ab cd 100. Ta có các số sau thỏa mãn đề bài: +) 1000; 1001; 1002; ; 1089 ⇒ Gồm: 1090 1000 1 90 (số). +) 1100; 1101; 1102; ; 1188 ⇒ Gồm: 1188 1100 1 89 (số). . +) 9700; 9701; 9702 ⇒ gồm: 3 (số). +) 9800; 9801⇒ gồm: 2 (số). +) 9900 ⇒gồm: 1 (số). Vậy có tất cả: 90 89 3 2 1 90 1 .90 : 2 4095 (số). b) Các số cần tìm có dạng: abcd (0 a,b,c,d 9,a 0) trong đó: ab cd . Ta có các số sau thỏa đề bài: +) 1000; 1001; 1002 ; 1009 ⇒ gồm: 1009 1000 1 10 (số). +) 1100; 1101; 1102; ; 1110 ⇒ gồm: 1110 1100 1 11(số). . +) 9700; 9701; ; 9796 ⇒ gồm: 9796 9700 1 97 (số). +) 9800; 9801; ; 9897 ⇒ gồm: 9897 9800 1 98 (số). +) 9900; 9901; ; 9998 ⇒ gồm 9998 9900 1 99 (số). Số các số thỏa đề bài là: 10 11 97 98 99
7. Chữ số a có 4 cách chọn (2,4,6,8). Với mỗi cách chọn a, chữ số b có 5 cách chọn (0,2,4,6,8). Với mỗi cách chọn a, b chữ số c có 5 cách chọn (0,2,4,6,8). Với mỗi cách chọn a,b, c chữ số d có 5 cách chọn (0,2,4,6,8). Tất cả có: 4.5.5.5 = 500 (số). b) Các số phải đếm có dạng abcd (0 a,b,c,d 9,a 0) , trong đó: Chữ số a có 9 cách chọn (1,2,3,4,5,6,7,8,9). Với mỗi cách chọn a, chữ số b có 10 cách chọn (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Với mỗi cách chọn a, b chữ số c có 10 cách chọn (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Với mỗi cách chọn a,b, c chữ số d có 5 cách chọn: + Nếu a b c lẻ thì d 1,3,5, 7,9 . + Nếu a b c chẵn thì d 0, 2, 4, 6,8 . Tất cả có: 9.10.10.5 = 4500 (số). Bài 14: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng cộng nó với số gồm ba chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 5? Lời giải: Các số phải đếm có dạng abc (0 a,b, c 9, a 0) . Theo đề bài, ta có : abc cba 5 . Với mỗi cách chọn ab (từ 10 đến 99) thì c có 2 cách chọn phụ thuộc vào a : Nếu a = 5k thì c bằng 0 hoặc 5 Nếu a = 5k + 1 thì c bằng 4 hoặc 9 Nếu a = 5k + 2 thì c bằng 3 hoặc 8 Nếu a = 5k + 3 thì c bằng 2 hoặc 7 Nếu a = 5k + 4 thì c bằng 1 hoặc 6 Vậy có: 90.2 180 (số). Bài 15: Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số, các chữ số khác nhau? Lời giải: Các số phải đếm có dạng abc (0 a,b, c 9, a 0) . Nếu c 0 thì a có 9 cách chọn (từ 1 đến 9), b có 8 cách chọn (từ 1 đến 9, khác a).
8. b) Số chứa chữ số 1 hay số không chứa chữ số 1 có nhiều hơn? Lời giải: a) Ta đếm các số tự nhiên từ 1 đến 10000 rồi bớt đi các số không chứa chữ số 0. Các số tự nhiên từ 1 đến 10000 có 10000 số. Ta đếm các số không chứa chữ số 0: + Từ 1 đến 9 có 9 (số). + Từ 10 đến 99 có 9.9 = 81 (số). + Từ 100 đến 999 có 9.9.9 = 729 (số). + Từ 1000 đến 9999 có 9.9.9.9 = 6561 (số). Vậy số lượng số phải đếm là: 10000 (9 81 729 6561) 2620 (số) có chứa chữ số 0. b) Các số tự nhiên từ 1 đến 10000 có 10000 số. Ta đếm các số không chứa chữ số 1: + Từ 1 đến 9 có 8 số. + Từ 10 đến 99 có 8.9 = 72 số. + Từ 100 đến 999 có 8.9.9 = 648 số. + Từ 1000 đến 9999 có 8.9.9.9 = 5832 số. ⇒Có tất cả: 8+72+648+5832 = 6560 (số) không chứa chữ số 1. Còn lại: 10000 6560 3440 (số) có chứa chữ số 1. Vậy số không chứa chữ số 1 có nhiều hơn số chứa c số 1. Bài 20: Có bao nhiêu số tự nhiên từ 10 đến 24 chia hết cho ít nhất một trong hai số 2 và 3? Lời giải: Trong các số tự nhiên từ 10 đến 24: Các số tự nhiên chia hết cho 2 là: 10,12,14, , 24 , gồm: 24 10 : 2 1 8 (số). Các số chia hết cho 3 là: 12,15,18, 21, 24 , gồm 5 số. Có những số có mặt ở hai dãy trên, đó là các bội của 6 : 12,18, 24 , gồm 3 số. Vậy có: 8 5 3 10 (số) chia hết cho ít nhất một trong hai số 2 và 3. Bài 21: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5, có bốn chữ số, có đúng một chữ số 5? Lời giải: Các số phải đếm có 4 dạng:
9. Lời giải: Dãy số lẻ chia hết cho 3 và có hai chữ số là: 15, 21, 27, ,99 gồm 99 15 : 6 1 15 (số). Vậy Tuấn phải gõ cửa nhiều nhất 15 số nhà. Bài 24: Có bao nhiêu biển số xe máy khác nhau, mỗi số xe lập bởi hai chữ cái đứng đầu và ba chữ số đứng sau? (bảng chữ cái có 25 chữ, không có biển số 000). Lời giải: Vì bảng chữ cái có 25 chữ số nên có 25.25 625 cách lập kí hiệu đứng đầu gồm 2 chữ cái. Ta có: 999 cách lập số từ 001 đến 999 ⇒ có tất cả: 25.25.999 624375 (biển số xe). Dạng 3: Dạng khác Bài 1: Trong số 100 học sinh có 75 học sinh thích học Toán, 60 học sinh thích Văn. a) Nếu có 5 học sinh không thích cả Toán lẫn Văn thì có bao nhiêu học sinh thích cả hai môn Văn và Toán? b) Có nhiều nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn Văn và Toán? c) Có ít nhất bao nhiêu học sinh không thích cả hai môn Văn và Toán? Lời giải: Gọi số học sinh thích cả hai môn Văn và Toán là x 0 x 75, x N , số học sinh thích Toán mà k thích Văn là 75 x . a) Nếu có 5 học sinh không thích cả Toán lẫn Văn thì có bao nhiêu học sinh thích cả hai môn Văn và Toán? Ta có: 75 x 60 5 100 x 40 Vậy có 40 học sinh thích cả hai môn. a) Vì trong 100 học sinh có 75 học sinh thích toán và 60 học sinh thích văn nên số học sinh nhiều nhất thích cả toán và văn không thể vượt 60 học sinh. Vậy số học sinh thích cả 2 môn nhiều nhất là 60 học sinh. b) Ta có: 75 x 60 100 x 35. Có ít nhất 35 học sinh thích cả hai môn Văn và Toán. Bài 2: Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy: có 20 học sinh thích bóng đá, 17 học sinh thích bơi, 36 học sinh thích bóng chuyển,14 học sinh thích bóng đá và bơi,13 học sinh thích bơi và bóng chuyền, 15 học sinh thích bóng đá và bóng chuyền,10 học sinh thích cả ba môn,12 học sinh không thích một môn nào. Tính xem lớp học đó có bao nhiêu học sinh?
10. Lời giải: Gọi số học sinh thích cả hai môn Văn và Toán là x 0 x 150, x N , số học sinh thích Toán mà không thích Văn là150 x . a) Ta có: 150 x 120 5 200 x 75 Vậy có 75 học sinh thích cả hai môn. b) Có nhiều nhất 120 học sinh ( nếu tất cả số thích văn đều thích toán) c) Ta có:150 x 120 200 x 70 Có ít nhất 70 học sinh thích cả hai môn Văn và Toán.