Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 1: Số tự nhiên - Chủ đề 3: Phương pháp tính tổng của dãy số tự nhiên (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 1: Số tự nhiên - Chủ đề 3: Phương pháp tính tổng của dãy số tự nhiên (Có lời giải chi tiết)

1. a2n 1 a Áp dụng công thức a a3 a5 a2n 1 với n 8; a 10 ta được: a2 1 1017 10 1017 10 10 103 105 1015 102 1 99 1017 10 1017 802 Vậy S 8 . 3 99 99 Dạng 5: Tổng có dạng: S 1.2 2.3 3.4 n n 1 . I. Phương pháp giải n n 1 n 2 Bài toán tổng quát: S 1.2 2.3 3.4 n n 1 3 n Bài toán tổng quát: S 1. 1 k 1 k 1 2k n n k  n n k , n,k ¥ * . n 1 (khoảng cách giữa các thừa số của mỗi số hạng là k ) n * Nhân S với ba lần khoảng cách ta được: 3kS 3kn n k . n 1 * Phân tích từng số hạng của tổng mới để xuất hiện các số hạng đối nhau: 3kn n k n n k n 2k n k n n k Từ đó tính được tổng S . II. Bài toán Bài 1:Tính tổng: A 1.2 2.3 3.4 98.99 . Phân tích: Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 1. Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của A với 3 (ba lần khoảng cách giữa hai thừa số). Thừa số 3 này được viết dưới dạng 3 0 ở số hạng thứ nhất, 4 1 ở số hạng thứ hai, 5 2 ở số hạng thứ ba, , 100 97 ở số hạng cuối cùng. Lời giải: Ta có: 3A 1.2.3 2.3.3 3.4.3 98.99.3 3A 1.2. 3 0 2.3. 4 1 3.4. 5 2 98.99. 100 97 3A 1.2. 3 0 2.3. 4 1 3.4. 5 2 98.99. 100 97
2. 3S 1.2.3 2.3.3 3.4.3 4.5.3 99.100.3 100.101.3 1.2.3 2.3. 4 1 3.4. 5 2 99.100. 101 98 100.101. 102 99 1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 98.99.100 99.100.101 100.101.99 100.101.102 100.101.102 S 100.101.102 :3 34.100.101 343400 Vậy S100 Dạng 6: Tổng có dạng: 12 22 32 n2 I. Phương pháp giải n. n 1 2n 1 Bài toán tổng quát: Chứng minh rằng : 12 22 32  n2 6 Lời giải: S = 12 22 32 42 n2 S 1.1 2.2 3.3 4.4 n.n 1 2 1 2. 3 1 3. 4 1 n n 1 1 1.2 2.3 3.4 n n 1 1 2 3 4 5 n n n 1 n 2 Mà 1.2 2.3 3.4 4.5 n n 1 (Theo dạng bài trước) 3 n n 1 n 2 n n 1 n 1 1 2n 4 3 S n n 1 n n 1 3 2 3 2 6 n n 1 2n 1 Vậy S 6 n. n 1 2n 1 Do đó, ta có công thức tính dãy số: S 12 22 32  n2 6 II. Bài toán Bài 1: Tính tổng sau: S 12 22 32 502 Lời giải: Ta có S 1.2 2.3 3.4 49.50 50.51 1 1 1 2 2 1 3 3 1 49 49 1 50 50 1 12 22 32 502 1 2 3 50 P 1 2 3 50 P S 1 2 3 50
3. M 1394204 Q 12 22 32 1012 348551. 22 4 Bài 5: Tính các tổng sau: N 1 22 32 42 52  992 A 1 4 9 16 25 36 10000 Lời giải: Tính N n. n 1 2n 1 Áp dụng bài toán tổng quát S 12 22 32  n2 6 n n 1 2n 1 99. 99 1 2.99 1 Ta thấy n 99 nên N 328350 6 6 Tính A Ta biến đổi A về dạng tương tự như biểu thức N ta có: A 1 4 9 16 25 36 10000= 12 22 32 42 52 62 1002 100. 100 1 2.100 1 = 338350 (với n 100 ) 6 Bài 6: Tính tổng sau: B 12 22 – 32 42  192 202. Lời giải: Ta biến đổi B về dạng quen thuộc như biểu thức N bằng cách thêm bớt tổng 22 42 1002 . B 12 22 – 32 42  192 202 B 12 22 32 202 2 22 42 62 202 20. 20 1 2.20 1 B 2.22 12 22 32 102 6 10. 10 1 2.10 1 B 2870 8. 6 B 2870 3080 210 2 Dạng 7: Tính tổng có dạng S 12 32 52 2k 1 với k ¥ . I. Phương pháp giải 2 Cách 1: Ta sẽ tính tổng S 12 32 52 2k 1 dựa vào tổng dạng 1.2 2.3 3.4 n 1 n .
4. 6. S k 2k 2 .2k. 2k 2 2k 2 .2k. 2k 2 S k 6 2k 2 .2k. 2k 2 2k 2 .2k. 2k 2 6k 2k 2k 2 2k 2 3 S k 6 6 6 6 2k 2k 2k 2 2 2k 2 3 2k 4k 2 4k 4k 4 3 S 6 6 2k 4k 2 1 2k 4k 2 2k 2k 1 2k 4k 2 2k 2k 1 2k 2k 2k 1 2k 1 S 6 6 6 6 2k 1 .2k. 2k 1 S . 6 2 Cách 3: Ta sẽ tính tổng S 12 32 52 2k 1 dựa vào tổng dạng 1.3 3.5 2k 1 . 2k 1 và tổng dạng 1 3 5 2k 1 . 2 Ta có S 12 32 52 2k 1 S 1. 3 2 3. 5 2 5. 7 2 2k 1 . 2k 1 2 S 1.3 3.5 5.7 2k 1 . 2k 1 1.2 3.2 5.2 2k 1 .2 S 1.3 3.5 5.7 2k 1 . 2k 1 2. 1 3 5 2k 1 . Đặt S1 1.3 3.5 5.7 2k 1 . 2k 1 và S2 1 3 5 2k 1 . Ta có: S1 1.3 3.5 5.7 2k 1 . 2k 1 6S1 1.3.6 3.5.6 5.7.6 2k 1 . 2k 1 .6 6S1 1.3.6 3.5. 7 1 5.7. 9 3 2k 1 . 2k 1 . 2k 3 2k 3 6S1 1.3.6 3.5.7 1.3.5 5.7.9 3.5.7 2k 1 . 2k 1 . 2k 3 2k 3 . 2k 1 . 2k 1 6S1 1.3.6 2k 1 . 2k 1 . 2k 3 1.3.5 2k 1 . 2k 1 . 2k 3 3 S . 1 6 Ta có: S2 1 3 5 2k 1 .
5. n. n 1 Ta có C là tổng của n số nguyên dương đầu tiên nên C . n n 2 n. n 1 . n 2 n. n 1 n. n 1 . 2n 4 3n. n 1 n. n 1 . 2n 4 3 Suy ra A B C n n n 3 2 6 6 n. n 1 . 2n 1 Vậy A . n 6 2 2 2 2 Xét Ak 1 2 3 k 2 2 2 2 4Ak 2 4 6 2k 2 2 2 2 2 2 S 4Ak 1 2 3 4 2k 1 2k A2k 2k. 2k 1 . 4k 1 k. k 1 . 2k 1 S A 4A 4. 2k k 6 6 2k 1 . 2k. 4k 1 4.k k 1 2k 1 . 8k 2 2k 4k 2 4k S 6 6 2k 1 . 4k 2 2k 2k 1 .2k. 2k 1 S 6 6 2k 1 .2k. 2k 1 Vậy S . 6 II. Bài toán Bài 1. Tính tổng S 12 32 52 492 . Phân tích: Đây là bài toán cụ thể của dạng này với k 25 . Lời giải: S 12 32 52 492 . Ta chứng minh công thức sau: n2 1 n2 n n 1 n n 1 n 1 n 1 n 1 . Ta có: S 25 12 1 32 1 52 1 492 1 . S 25 2.4 4.6 48.50 . 6. S 25 2.4.6 4.6.6 48.50.6 6. S 25 2.4. 6 0 4.6. 8 2 48.50. 52 46
6. Bài 5: Tính tổng P 52 72 92 1012 Lời giải: Áp dụng tổng A 1.2 2.3 3.4 4.5 100.101 101.102 Tổng này có 101 số hạng nên ta thêm số hạng 0.1 ta được tổng có 102 số hạng, và ghép được đủ 51 cặp Ta có A 1.2 2.3 3.4 100.101 101.102 0.1 1.2 2.3 3.4 100.101 101.102 1 0 2 3 2 4 5 4 6 101. 100 102 1.2 3.6 5.10 101.202 1.1.2 .3.3.2 5.5.2 101.101.2 A 2. 12 32 52 1012 2.P ' P ' , theo dạng 5 ta có: 2 101.102.103 101.102.103 A P ' 176851 3 6 P P ' 12 32 176851 10 176841 Vậy P 52 72 92 1012 176841 Bài 6: Tính tổng S 112 132 152 20092 Lời giải: Áp dụng tổng A 1.2 2.3 3.4 2008.2009 2009.2010 Tổng này có 2009 số hạng, nên khi thêm số hạng 0.1 ta được tổng có 2010 số hạng, và ghép được đủ 1005 cặp số A 0.1 1.2 2.3 3.4 2008.2009 2009.2010 1 0 2 3 2 4 5 4 6 2009 2008 2010 A 1.2 3.3.2 5.5.2 2009.2009.2 2. 12 32 52 20092 2P P 2 2009.2010.2011 2009.2010.2011 Ta có A P 2009.335.2011 3 6 S P 12 32 52 92 2009.335.2011 165 Bài 6: Tính tổng N 62 82 102 1022 Lời giải: Áp dụng tổng A 1.2 2.3 3.4 101.102 102103 2 1 3 4 3 5 102 101 103 2.4 4.8 102.204 2.2.2 4.4.2 102.102.2 2 22 42 1022
7. =2.S A k 1 k. k 1 Suy ra: S mà A 2 3 k 1 .k. k 1 Vậy S 6 Áp dụng tính: P 12 22 32 n2 2 Xét: S 22 42 62 2n S S Suy ra: 12 22 32 n2 . 22 4 S n. n 1 . 2n 1 Nên: P . 4 6 II. Bài toán Bài 1: Tính tổng B 22 42 62 1002 2 k 1 .k. k 1 Phân tích: Tổng B có dạng S 22 42 62 k 1 với k 101 6 Lời giải: 2 k 1 .k. k 1 Áp dụng công thức: S 22 42 62 k 1 với k 101. 6 100.101.102 Ta được: B 22 42 62 1002 171700 . 6 Bài 2: Tính tổng C 12 22 32 1002 . n. n 1 . 2n 1 Phân tích: Tổng C có dạng P 12 22 32 n2 với n 100 . 6 Lời giải: n. n 1 . 2n 1 Áp dụng công thức: P 12 22 32 n2 với n 100 . 6 100.101.201 Ta được:C 12 22 32 1002 338350 . 6 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài 3: Biết 1 2 3 10 385 Tính tổng 2 4 6 20 . Lời giải:
8. Đặt A 12 32 52 972 992 2 k 1 k k 1 Tổng B có dạng A 12 32 52 k 1 6 99.100.101 Với k 100 A 166650 6 S 166650 2. 1 99 .50 : 2 171650 Cách 2: 6S 1.3.6 3.5.6 5.7.3  99.101.6 1.3.(5 1) 3.5. 7 – 1 5.7. 9 – 3 99.101.(103 97) 1 .3.1 + 1.3.5 3.5.7 1.3.5 5.7.9 3.5.7 + 99.101.103 97.99.101 3 99.101.103 3 99.101.103 S 171650 6 Vậy S 171650. Bài 2: Tính tổng S 1.4 4.7 7. 10  2017.2020 Phân tích:Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 3. Nhân vào hai vế của đẳng thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 9) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau. Lời giải: Ta có: 9S 1.4.9 4.7.9 7.10.9  2017.2020.9 1.4.(7 2) 4.7. 10 – 1 7.10. 13 – 4 2017.2020.(2023 2014) 1 .4.7 + 1.4.2 4.7.10 1.4.7 7.10.13 4.7.10. + 2017.2020.2023 - 2014.2017.2020 8 2017.2020.2023 8 2017.2020.2023 S 915821092 9 Vậy S 915821092. Bài 3: Tính tổng N 2.4 4.6 6.8 100.102 Phân tích:Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 2. Nhân vào hai vế của đẳng thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 6) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau. Lời giải:
9. 4kS an 2an 1anan 1 4k.a2a3 a2a3a4 a a a a 4k.a a a a a S n 2 n 1 n n 1 2 3 2 3 4 (*) . 4k II. Bài toán Bài 1: Tính tổng S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 Phân tích: Vì khoảng cách giữa các số trong một số hạng là 1nên ta nhân 4 vào hai vế để tính S. Lời giải: S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 4S 1.2.3.4 2.3.4.(5 1) 3.4.5.(6 2) 98.99.100.(101 97) 4S 1.2.3.4 2.3.4.5 1.2.3.4 3.4.5.6 2.3.4.5 98.99.100.101 97.98.99.100 4S 98.99.100.101 4S 97990200 S 24497550 Bài 2: Tính tổng S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 17.18.19 . Lời giải: Ta có: 4S 1.2.3 4 0 2.3.4 5 1 3.4.5 6 2 17.18.19 20 16 1.2.3.4 2.3.4.5 1.2.3.4 3.4.5.6 2.3.4.5 17.18.19.20 16.17.18.19 17.18.19.20 116280. 116280 Do vậy S 29070 . 4 Bài 3:Tính tổng S 1.3.5 3.5.7 5.7.9 95.97.99 . Lời giải: Ta có: 8S 1.3.5 7 1 3.5.7 9 1 5.7.9 11 3 95.97.99 101 93 1.3.5.7 1.3.5 3.5.7.9 1.3.5.7 5.7.9.11 3.5.7.9 95.97.99.101 93.95.97.99 1.3.5 95.97.99.101 92140800 . 92140800 Do vậy S 11517600 . 8 Bài 4: Tính tổng S 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 19.20.21.22 .
10. 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 n 2 . n 1 n n 1 n 1 n n 1 n 2 n 1 n n 1 n 2 C 4 n n 1 n 1 n n 1 n 2 n2 n 1 2 A B C . 2 4 4 n2 n 1 2 Tổng quát: A 1 23 33 n3 với n ¥ * . 4 II. Bài toán Bài 1: Tính tổng A 1 23 33 103 Phân tích: Ta áp dụng dạng toán trên với n 10 Lời giải: 3 3 2 2 n n n n n n 1 n n n n n 1 n n n n 1 n 1 n n 1 n n 1 n Do đó A 1 23 33 103 1 1.2.3 2 2.3.4 3 3.4.5 4 9.10.11 10 1 2 3 10 1.2.3 2.3.4 3.4.5 9.10.11 10.11 Đặt B 1 2 3 10 5.11 55 2 C 1.2.3 2.3.4 4.5.6 9.10.11 Khi đó, 4C 1.2.3.4 2.3.4.(5 1) 3.4.5.(6 2) 9.10.11.(12 8) 4C 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 9.10.11.12 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 8.9.10.11 9.10.11.12 9.10.11.12 C 2970 4 A B C 55 2970 3025 . Bài 2:Tính tổng A 1 23 33 1003 Phân tích: Ta áp dụng dạng toán trên với n 100 Lời giải: 3 3 2 2 n n n n n n 1 n n n n n 1 n n n n 1 n 1 n n 1 n n 1 n Do đó
11. 11.12 B 1 2 3 11 66 2 C 1.2.3 2.3.4 4.5.6 10.11.12 C 1.2.3 2.3.4 3.4.5 10.11.12 4C 1.2.3.4 2.3.4.(5 1) 3.4.5.(6 2) 10.11.12.(13 9) 4C 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 10.11.12.13 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 9.10.11.12 10.11.12.13 10.11.12.13 C 4290 4 A B C 66 4290 4356 Phân tích A ra thừa số nguyên tố ta có: A 22.32.112 nên A 662 2 Theo bài toán ta có: 2x 2 662 2x 2 66 hoặc 2x 2 66 x 34 hoặc x 32 Vậy x 34; x 32 Bài 5: Không tính ra kết quả hãy so sánh A 13 23 33 993 và B 1.2.3 2.3.4 98.99.100 Phân tích: Biến đổi biểu thức A theo biểu thức B dựa vào cách làm trong hướng dẫn các ví dụ 1,2,3. Lời giải: 3 3 2 2 n n n n n n 1 n n n n n 1 n n n n 1 n 1 n n 1 n n 1 n Do đó A 1 23 33 993 1 1.2.3 2 2.3.4 3 3.4.5 3 98.99.100 99 1 2 3 99 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 A B PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG Bài 1: Tính tổng S 1 2 3 4 2000 . Lời giải: Số số hạng của dãy là 2000 1 :1 1 2000 . Tổng S 1 2000 .2000 : 2 2001000 . Bài 2: Tính tổng S 2 4 6 2020 2022 . Lời giải:
12. 6340 1 Bài 7: So sánh: 1 82 84 890 với . 63 Lời giải: Đặt D 1 82 84 890 82.D 82 84 892 82.D D 82 84 892 1 82 84 890 892 1 6446 1 6340 1 63.D 892 1 D 63 63 63 6340 1 Vậy 1 82 84 890 . 63 Bài 8: Chứng minh rằng: 1 62 64 6200 chia hết cho 37. Lời giải: Ta có: 1 62 64 6200 1 62 64 66 6198 6200 1 62 64. 1 62 6198. 1 62 37 64.37 6198.37 Vậy 1 62 64 6200 chia hết cho 37 Bài 9: Cho A 5 53 55 527 a) Tính giá trị của A b) Chứng minh A chia hết cho 26 . Lời giải: a2n 1 a a) Áp dụng công thức a a3 a5 a2n 1 với n 14; a 5 ta được : a2 1 529 5 529 5 A 5 53 55 527 52 1 24 b) Ta có: A 5 53 55 527 5 53 55 57 525 527 5 1 52 55 1 52 525 1 52 A 1 52 5 55 59 525 26 5 55 59 525 Vậy A chia hết cho 26 . Bài 10: Tính giá trị củabiểu thứcC 1 111 11111 111. 1 27 so 1
13. 79128 Suy ra: D 8792 . 9 Bài tập tương tự: Tính tổng: T 1.5 5.9 9.13 201.205 . Hướng dẫn: Nhân T với 12. Đáp số: T 717655. Bài 14: Tính tổng: E 2.4 4.6 6.8 98.100 Phân tích: Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2. Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của E với 6 (ba lần khoảng cách giữa hai thừa số). Lời giải: Ta có: 6E 2.4. 6 0 4.6. 8 2 6.8. 10 4 98.100. 102 96 2.4.6 4.6.8 6.8.10 98.100.102 0.2.4 2.4.6 4.6.8 96.98.100 98.100.102 . 98.100.102 Suy ra: E 166600 . 6 Bài 15: Tính tổng: F 1.99 2.98 3.97 98.2 99.1 Lời giải: Ta có: F 1.99 2. 99 1 3. 99 2 98. 99 97 99. 99 98 1.99 2.99 3.99 98.99 99.99 1.2 2.3 97.98 98.99 98.99.100 99(1 2 3 99) 3 99.100 98.99.100 99. 2 3 99 98 99.100. 2 3 99.100.101 . 6 Bình luận: Trong bài tập 3, thừa số trong số hạng đứng trước không được lặp lại trong số hàng đứng sau,
14. Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết tổng các bình phương các số tự nhiên từ 1 đến n là 506. Lời giải: Vì tổng tổng các bình phương các số tự nhiên từ 1 đến n là 506 nên 12 22 n2 506 n n 1 2n 1 506 6 n n 1 2n 1 22.23.6 n n 1 2n 1 11.2.23.6 n n 1 2n 1 11.12.23 n n 1 2n 1 11 11 1 2.11 1 n 11 Bài 19: Tính tổng A 1 2 22 23 24 299 2100 Lời giải: A 1 2 22 23 24 299 2100 2A 2 22 23 24 25 2100 2101 2101 1 2A A 2101 1 A 3 Bài 20: Tìm n nhỏ nhất sao cho tổng của n số chính phương lẻ đầu tiên chia hết cho 3 Lời giải: n(2n 1)(2n 1) Ta có A 12 32 52  (2n 1)2 3 Mà (2n 1,2n 1) 2;(n,2n 1) 1;(n,2n 1) 1 nên trong 3 số n,2n 1,2n 1 chỉ có 1 số chia hết cho 3, mà muốn A chia hết cho 3 thì 1 trong 3 số trên phải chia hết cho 9. Để n nhỏ nhất thì 2n 1 9 . Suy ra n 4 . Vậy n 4 là số cần tìm. Bài 21: Tính tổng A 1.3 3.7 5.11 99.199 Lời giải: Ta có (2n 1)(4n 1) 2(2n 1)2 2n 1 A 2(12 32 52 992 ) (1 3 5 99)
15. 2 k 1 .k. k 1 Áp dụng công thức: S 22 42 62 k 1 . 6 10.11.12 Đặt E 22 42 62 102 . 1 6 2010.2011.2012 Đặt E 22 42 62 20102 . 2 6 2010.2011.2012 10.11.12 Khi đó: E E E 1355454000 . 2 1 6 6 Bài 25: Tính tổng: F 12 22 32 1012 . n. n 1 . 2n 1 Phân tích: Tổng F có dạng P 12 22 32 n2 với n 101. 6 Lời giải: n. n 1 . 2n 1 Áp dụng công thức: P 12 22 32 n2 với n 101. 6 101.102.203 Ta được: F 12 22 32 1012 348551. 6 Bài 26: Tính tổng: G 1 4 9 16 25 10000 . Phân tích: Tổng G 1 22 32 42 52 1002 . n. n 1 . 2n 1 Áp dụng dạng P 12 22 32 n2 với n 100 . 6 Lời giải: n. n 1 . 2n 1 Áp dụng công thức: P 12 22 32 n2 với n 100 , ta được: 6 100.101.201 1 22 32 42 52 1002 338350 . 6 Suy ra: 1 4 9 16 25 10000 338350 . Vậy G 338350 . Bài 27: Tính tổng K 12 22 32 42 52 192 202 . 2 2 2 2 Phân tích: Tính K1 1 3 5 19 . 2 2 2 2 Tính K2 2 4 6 20 . Tính K K1 K2 .
16. 1 .2(n 1).n.(n 1).3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 (n 2).(n 1).n (n 1).n.(n 1) (n 1).n.(n 1) n – 1 .n. n 1 S 3 (n 1)n(n 1) Vậy: S 1.2 2.3 3.4  (n 1).n . 3 Bài 30: Tính tổng S 2.6 6.10 10. 14  46.50 Phân tích:Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 4. Nhân vào hai vế của đẳng thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 12) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau. Lời giải: Ta có: 12S 2.6.12 6.10.12 10.14.12  46.50.12 2.6.(10 2) 6.10. 14 – 2 10.14. 18 – 6 46.50.(54 42) 2.6.10 + 2.6.2 6.10.14 2.6.10 10.14.18 – 6.10.14 + +46.50.54 42.46.50 24 46.50.54 24 46.50.54 S 10352 12 Vậy S 10352. Bài 31: Tính tổng S 4.9 9.14 44.49 Phân tích: Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 5. Nhân vào hai vế của đẳng thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 15) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau. Lời giải: Ta có: 15S 4.9.15 9.14.15 44.49.15 4.9.(14 1) 9.14.(19 4) 44.49.(54 39) 4.9.14 4.9.1 9.14.19 4.9. 14 44.49.54 39.44.49 36 44.49.54 36 44.49.54 S 7764 15 Vậy S 7764.
17. 8M 1.3.5.8 3.5.7.(9 1) 5.7.9.(11 3) 99.101.103.(105 97) 8M 1.3.5.8 3.5.7.9 3.5.7 5.7.9.11 3.5.7.9 99.101.103.105 97.99.101.103 8M 1.3.5.8 3.5.7 99.101.103.105 8M 108139200 M 13517400 Bài 35: Tính tổng N 1.4.7 4.7.10 7.10.13 100.103.106 Phân tích Ta áp dụng dạng toán trên với a2 4,k 3 Khi đó: an 106 106 1 (n 1)k 105 (n 1).3 35 n 1 n 36 Lời giải: N 1.4.7 4.7.10 7.10.13 100.103.106 12N 1.4.7.12 4.7.10.(13 1) 7.10.13.(16 4) 100.103.106.(109 97) 12N 1.4.7.12 4.7.10.13 4.7.10 7.10.13.16 4.7.10.13 100.103.106.109 97.100.103.106 12N 100.103.106.109 1.4.7.12 4.7.10 12N 119006256 N 9917188 Bài 36: Tính tổng P 50.51.52 51.52.53 52.53.54 98.99.100 Phân tích Ta có P 50.51.52 52.53.54 98.99.100 (1.2.3 2.3.4 98.99.100) (1.2.3 2.3.4 49.50.51) Ta tính hai tổng sau A 1.2.3 2.3.4 98.99.100 B 1.2.3 2.3.4 49.50.51
18. 6N 1029900 N 171650 Do đó A M 3.N A 13517400 3.171650 A 13002450 Bình luận: Ta nhận thấy rằng cách tính M là nhân M với 4k ở đó k là khoảng cách giữa 2 số liên tiếp vì mỗi số hạng của M có 3 thừa số, còn cách tính N cũng tương tự. Tuy nhiên để tính N ta nhân N với 3 lần khoảng cách giữa 2 số liên tiếp vì mỗi số hạng của N có 2 thừa số. Bài toán tổng quát: A 1.2.3 3.4.5 (2n 1).2n.(2n 1) (n N *,n 2) . Bài tập tương tự Tính A 1.2.3 3.4.5 49.51.53 B 27.28.29 28.29.30 59.60.61. Bài 38: Tính tổng K 1.22 2.32 99.1002 Phân tích: Trong bài toán này, tương tự bài 4 ta không nhân K với một số mà tách ngay một thừa số trong mỗi số hạng làm xuất hiện dãy số mà ta biết cách tính hoặc dễ dàng tính được. Ở bài này ta tách 2 n n. n 1 1 với mỗi bình phương. Lời giải: K 1.22 2.32 98.992 K 1.2.(3 1) 2.3.(4 1) 98.99.(100 1) K 1.2.3 1.2 2.3.4 2.3 98.99.100 98.99 K (1.2.3 2.3.4 98.99.100) (1.2 2.3 98.99) Từ đó ta tính A 1.2.3 2.3.4 98.99.100 B 1.2 2.3 98.99 +) Tính tổng A 1.2.3 2.3.4 98.99.100 Áp dụng ví dụ , ta tính được A 24497550 .