Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 10: Số thập phân - Chủ đề 2: Số thập phân vô hạn tuần hoàn (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 10: Số thập phân - Chủ đề 2: Số thập phân vô hạn tuần hoàn (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 10 – SỐ THẬP PHÂN CHỦ ĐỀ 2: SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. KHÁI NIỆM a) Khái niệm: a Khi viết phân số dưới dạng số thập phân ta thực hiện phép chia a cho b, nếu phép chia a cho b b không bao giờ chấm dứt 2 17 Ví dụ: 0,6666 ; 1,5454 ; 3 11 Tuy phép chia không chấm dứt nhưng phần thập phân của kết quả phép chia có một nhóm chữ số lặp đi lặp lại vô hạn lần. Ta nói số thập phân thu được là số thập phân vô hạn tuần hoàn và nhóm chữ số lặp đi lặp lại trong phần thập phân là chu kì của nó. b) Cách viết: Để viết số thập phân vô hạn tuần hoàn, người ta đặt chu kì trong dấu ngoặc. Chẳng hạn: 2 0,6666 0, 6 ; 3 17 1,5454 1, 54 ; 11 7 0,2121 0, 21 ; 33 7 0,31818 0,3 18 22 Chú ý: Số thập phân vô hạn tuần hoàn chia thành hai dạng - Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy. VD: 0, 6 ; 0, 21 ; 1, 54 - Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp nếu chu kì không bắt đầu ngay sau dấu phảy, phần thập phân đứng trước chu kì gọi là phần bất thường, VD: 0,3 18 có chu kì là 18 và phần bất thường là 3. 2. NHẬN BIẾT MỘT PHÂN SỐ VIẾT ĐƯỢC DƯỚI DẠNG SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN ĐƠN HAY TẠP. - Nếu một phân số tối giản mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết thành số thập phân vô hạn tuần hoàn. Đặc biệt +) Nếu mẫu không có ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn. +) Nếu mẫu có một trong các ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp.
2. 10 5 2 13 5 ; ; ; ; . 15 11 13 22 24 Lời giải: 10 5 a) Xét phân số 15 3 10 mẫu của phân số có ước nguyên tố là 3 nên viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 15 10 Vậy: 0, 666 0, (6) 15 5 b) Xét phân số 11 5 mẫu của phân số có ước nguyên tố là 11 nên viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 11 5 Vậy: 0,454545 0, (45) 11 2 c) Xét phân số 13 2 mẫu của phân số có ước nguyên tố là 13 nên viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 13 2 Vậy: 0,153846153846 0, (153846) 13 13 13 d) Xét phân số 22 2.11 13 mẫu của phân số có ước nguyên tố là 11 nên viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 22 13 Vậy: 0,590909 0,5(90) 22 5 5 e) Xét phân số 24 23.3 5 mẫu của phân số có ước nguyên tố là 3 nên viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 24 5 Vậy: = 0, 208333 0,208(3) 24 Bài 2: 5 a) Khi viết phân số dưới dạng số thập phân, hỏi chữ số thứ 2021 sau dấu phẩy là chữ số nào? 7 17 b) Tìm chữ số thập phân thứ 100 sau dấu phẩy của phân số (viết dưới dạng số thập phân). 900 24 c) Tìm chữ số thập phân thứ 210 sau dấu phẩy của phân số (viết dưới dạng số thập phân). 27 Lời giải:
3. Lời giải: 27 3 a) 0, 27 99 11 703 19 b) 0, 703 999 27 571428 4 c) 0, 571428 999999 7 16 1 15 1 d) 2,01 6 2 2 2 900 900 60 163 1 9 e) 0,1 63 990 55 413 41 31 f) 2,41 3 2 2 900 75 8863 88 39 g) 0,88 63 9900 44 Bài 4: Các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau có bằng nhau không ? 0,(a1a2 ) ; 0,(a1a2a1a2 ) ; 0,a1(a2a1) Lời giải: a a Ta có: 0,(a a ) 1 2 1 2 99 a a a a 101.a a a a 0,(a a a a ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 9999 101.99 99 a a a a a a 0 a a .10 a a 0,a (a a ) 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 990 990 99.10 99 Vậy 0,(a1a2 ) = 0,(a1a2a1a2 ) = 0,a1(a2a1) a a Nhận xét: Như vậy từ phân số 1 2 ta có thể viết được các dạng nhiều số thập phân vô hạn tuần hoàn 99 khác nhau như 0,(a1a2 ) ; 0,(a1a2a1a2 ) ; 0,a1(a2a1) ; nhưng cách viết 0,(a1a2 ) thuận tiện hơn, do đó người ta chọn cách viết này. Dạng 3: Tính giá trị biểu thức số I.Phương pháp giải: Để thực hiện các phép tính về số thập phân vô hạn tuần hoàn trước hết ta viết chúng dưới dạng phân số tối giản rồi thực hiện các phép toán trên phân số. II.Bài toán: Bài 5: Tính: a) 0,1 6 1, 3
4. 37 62 x 10 99 99 99 x 10 99 x 10 Vậy x 10 . b) 0, 12 :1, 6 x : 0, 4 12 6 4 :1 x : 99 9 9 4 12 9 x : . 9 99 15 4 4 x : 9 55 4 4 x . 55 9 16 x 496 16 Vậy x 496 3 0, 3 0, 384615 x 50 c) 13 0,0 3 13 85 3 384615 3 x 50 9 999999 13 3 13 85 90 1 5 3 x 10 3 13 13 391 17 30 28 3 10 391 x . 39 13 17 30 28 3 10 391 x . 39 13 17 30 3 23 28 x 13 3 39 3 271 x 13 39 271 3 x : 39 13
5. Cho số x 0,12345 998999 trong đó ở bên phải dấu phảy ta viết các số từ 1 đến 999 liên tiếp nhau. Chữ số thứ 2003 ở bên phải dấu phảy là chữ số mấy? Vì sao? Lời giải: Xét dãy 2003 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy của x . Gọi chữ số thứ 2003là a . Chia dãy số trên thành ba nhóm: 1234567891011 .99100101. x nhoùm I nhoùm II nhoùm III Nhóm I có 9 chữ số, nhóm II có 180 chữ số, nhóm III có: 2003 9 180 1814 (chữ số). Ta thấy 1814 chia 3 được 604 dư 2 . Số thứ 604 kể từ 100 là: 100 604 1 703 . Hai chữ số tiếp theo số 703 là chữ số 7 và chữ số 0 (thuộc số 704 ). Vậy a 0 . Chữ số thứ 2003 ở bên phải dấu phảy là chữ số 0 Bài 10: Thay các dấu * bởi các chữ số thích hợp: Lời giải: Xét phép trừ thứ hai, ta có: * số bị trừ có dạng 10* số bị trừ 100 (vì chữ số đơn vị của số bị trừ là chữ số 0 thêm vào để tìm các chữ số thập phân của thương). Đặt số chia, thương và tích riêng thứ nhất theo thứ tự là ab; c,deg ; mn Ta thấy 10 : ab 0,deg nên 10000 ab.deg . (Với d 0 (vì nếu d 0 thì ab.eg 10000), g 0 (vì nếu d 0 thì thương đã dừng lại ở e )) deg là ước của 10 000 và có ba chữ số.
6. 21n 4 n ¥ khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 7n c) 79! 79 1.2.3 79 79 1.2.3 78 1 Ta có: 5609n 71.79.n 71.n 1.2.3 78  71 21n 4 Ta có: 1.2.3 78 1  71, mà 71n  71, do đó rút gọn đến khi tối giản thì 1  71 7n mẫu số vẫn chứa thừa số là số nguyên tố 71. 79! 79 n ¥ khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 5609n Bài 12: Với mọi số tự nhiên n 0 , khi viết các phân số sau dưới dạng số thập phân, ta được số thập phân hữu hạn hay vô hạn ? Nếu là số thập phân vô hạn thì số đó là số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn hay tạp? 3n2 3n a) ; 12n 6n 1 b) 12n Lời giải: 3n2 3n 3n n 1 n 1 a) Ta có: 12n 12n 4 3n2 3n Vì mẫu của phân số là 4 22 nên đổi ra số thập phân hữu hạn. 12n 6n 1 b) Xét phân số: 12n 6n3 Ta có: 1  3 6n 13 mà 12n 3.4n  3 6n 1 phân số rút gọn đến khi phân số tối giản, mẫu vẫn có ước là 3 12n 6n 1 phân số đổi thành số thập phân vô hạn tuần hoàn. 12n Mặt khác: 6n2 Ta có: 1  2 6n 1 2 mà 12n 2.6n  2
7. 10987654321 phân số n ¥ rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là 2 n 1 n 2 n 3 10987654321 Vậy n ¥ khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn n 1 n 2 n 3 tạp. Bài 14: m3 3m2 2m 5 Cho phân số: C m ¥ m(m 1)(m 2) 6 a) Chứng tỏ C là phân số tối giản. b) Phân số C được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn. Lời giải: m3 3m2 2m 5 a) Xét phân số: C m ¥ m(m 1)(m 2) 6 Gọi ƯCLN của tử số và mẫu của phân số C là d d ¥ , d 1 . m3 3m2 2m 5 d Ta có: m(m 1)(m 2) 6 d m(m 1)(m 2) 6 m3 3m2 2m 5  d m3 3m2 2m 6 m3 3m2 2m 5  d 1 d d 1 ƯCLN của tử số và mẫu của phân số C là 1 Vậy C là phân số tối giản. b) Vì m;(m 1);(m 2) là ba số tự nhiên liên tiếp nên trong ba số m;(m 1);(m 2) có một số chia hết cho 2 , và một số chia hết cho 3 . m(m 1)(m 2)6 Mà 66 m(m 1)(m 2) 6  6 m(m 1)(m 2) 6  3 m3 3m2 2m 5 Phân số C tối giản khi phân tích mẫu có chứa thừa số là 3 nên C khi viết m(m 1)(m 2) 6 thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Dạng 5: Chứng minh I.Phương pháp giải: Sử dụng các phép biến đổi của số thập phân vô hạn tuần hoàn và tính chất chia hết, để chứng minh một số bài toán.
8. Từ (1) suy ra 9.1 1 19B 1 1 1B n n 1 1 19B A 9n Vậy tồn tại một bội của A gồm toàn chữ số 1. Bài 17: Tìm phân số dương tối giản nhỏ hơn 1 biết rằng khi chia tử cho tử cho mẫu ta được một số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn chu kì có 3 chữ số và phân số này bẳng lập phương của một phân số khác. Lời giải: Gọi abc chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn 0 abc 999 abc Phân số cần tìm phải có dạng: 999 abc abc abc.372 abc.372 Ta có: 999 33.37 33.373 3.37 3 abc.372 x3.373 Đặt x ¥ * 3.37 3 3.37 3 abc.372 x3.373 abc x3.37 , mà abc 999 x2 27 hay x 3 x 1;2 3 037 1 1 Với x 1 thì abc 037 , ta được phân số: 999 27 3 3 3 296 8 2 Với x 2 thì abc 2 .37 296 , ta được phân số: 999 27 3 1 8 Vậy phân số cần tìm là ; 27 27 Bài 18: Viết tiếp vào mỗi chỗ chấm hai phân số theo quy luật: 1 1 1 1 1 1 a) ; ; ; ; ; ; . 2 4 5 8 10 16 1 1 1 1 1 1 b) ; ; ; ; ; ; 3 6 7 9 11 12 Lời giải: 1 1 1 1 1 1 a) Ta thấy các phân số: ; ; ; ; ; viết được dưới dạng phân số thập phân hữu hạn có tử bằng 1 2 4 5 8 10 16 và mẫu tăng dần.