Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 2: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 1: Các tính chất của lũy thừa (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 2: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 1: Các tính chất của lũy thừa (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2 - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 1: CÁC TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a : an a.a a ( n thừa số a ) ( n ¥ * ) a được gọi là cơ số. n được gọi là số mũ. 2. MỘT VÀI QUY ƯỚC 1n 1 ví dụ : 12021 1 a0 1 ví dụ : 20210 1 3. NHÂN HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ am.an am n Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữa nguyên cơ số và cộng các số mũ. 4. CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ am : an am n a 0;m 0 Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau. 5. LŨY THỪA CỦA LŨY THỪA n am am.n 4 Ví dụ : 22 22.4 28 6. NHÂN HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ, KHÁC SỐ MŨ am.bm a.b m ví dụ : 23.43 2.4 3 83 7. LŨY THỪA TẦNG n n am a(m ) 2 32 3 9 Ví dụ: 3 3 3 8. CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ KHÁC SỐ MŨ am :bm a :b m ví dụ : 84 : 44 8: 4 4 24 9.LŨY THỪA CỦA MỘT THƯƠNG a :b n an :bn b 0
2. 8 4 2 3 10 g) 4x2 : 4x2 : 4x2 x 0 h) a100 : a15 : a62 a 0 i) y50 : y5 : y2 Lời giải a) Ta có: 108 :103 :104 10 b) Ta có: 625:53 54 :53 5 c) Ta có: 75 :343 75 : 73 72 d) Ta có: 1000000 :103 106 :103 103 e) Ta có: 243:33 :3 35 :33 :3 3 f) Ta có: 265: 25 : 4 28 : 25 : 22 2 8 4 2 2 2 g) Ta có: 4x2 : 4x2 : 4x2 4x2 2x 2 2x 2 x 0 3 10 i) Ta có: y50 : y5 : y2 y50 : y15 : y20 y15 Bài 3: Viết kết quả phép tính sau dưới dạng lũy thừa. 3 2 1 1 1 c) 25.53. .53 a) . ; 4 8 625 2 3 1 b) 4 .32 : 2 ; d) 56. .22.33 :125 . 20 Lời giải 3 2 2 3 3 2 6 6 12 1 1 1 1 1 1 1 a) . . . 4 8 2 2 2 2 2 2 b) 42.32: 23 22 .25 : 23 24.25 : 23 29 : 23 26 1 1 510 c) 25.53. .55 52.53. .55 56 625 54 54 1 1 1 56.22.33 22.33.56 d) 56. .22.33 :125 56. .22.33. 33.52 675 20 20 125 22.5.53 22.54 Bài 4: Cho A 1 21 22 22015.viết A 1 dưới dạng lũy thừa của 8. Lời giải 672 Ta có: A 1 21 22 22015 22016 1 A 1 22006 23 8672 DẠNG 2: Tính giá trị của một biểu thức lũy thừa. I. Phương pháp giải: Áp dụng công thức: an a.a a ( n thừa số a ) n ¥ * am.an am n am :bm a :b m a 0;m 0
3. 28 : 28 29 : 28 1 2 3 Bài 2. Thực hiện phép tính: 3 2 3 0 3 1 1 9 12 9 a) . ; c) . : ; 2 4 4 9 8 2 2 2 1 7 3 8 5 b) . ; d) 3 . .2 . 7 3 9 Lời giải 3 2 1 1 13 13 1 1 1 a) . 3 . 2 . 2 4 2 4 8 16 128 2 2 1 7 1 72 1 b) . 2 . 2 7 3 7 3 9 3 2 3 0 2 2 2 6 2 6 23 6 6 9 12 9 3 9 3 8 3 3 .2 2 c) . : .1: . 6 . 2 6 4 3 9 4 9 8 2 8 2 9 2 32 2 .3 2 2 3 3 6 3 8 2 1 3 .2 2 5 3 d) 3 . .2 3 . 2 . 5 4 5 9 32 2 3 .2 3 Bài 3: Thực hiện phép tính a. 1024 : (17.25 15.25 ) b. 53.2 23 40 : 23 c. 5.35 17.34 : 62 Lời giải 5 5 10 5 10 5 5 a. Ta có: 1024 : (17.2 15.2 ) 2 : 2 (17 15) 2 : 2 .2 1 b. Ta có: 53.2 23 40 : 23 53.2 24 : 23 250 3 253 4 5 2 3 .2 5 4 2 4 4 2 2 c. Ta có: 5.3 17.3 : 6 3 5.3 17 : 3.2 3 .32 :3 .2 2 2 9.8 72 3 .2 Bài 4: Thực hiện phép tính a) 102 112 122 : 132 142 b) 23.94 93.45 : 92.10 92.3 Lời giải a) Ta có: 102 112 122 : 132 142 100 121 144 : 169 196 365:365 1 b) Ta có: 8 4 3 4 3 2 2 3 8 8 4 4 3 8 5 3 .13 4 2 .9 9 .45 : 9 .10 9 .3 2 .3 3 .5 : 3 .10 3 .3 4 3 81 3 .13 13 Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức sau:
4. 2B 32017 1 32017 1 B 2 c) Ta có: C 1 32 34 36 32020 32 C 32 1 32 34 36 32020 9C 32 34 36 32022 9C C 32 34 36 32022 1 32 34 36 32020 8C 32022 1 32022 1 C 8 d) D 31 32 33 32021 3A 32 33 32021 2A 3A A 32021 3 32021 3 A 2 Bài 8: Tính S 1 2 4 8 8192 Lời giải Ta có: S 20 21 213 2S 2 22 214 S 214 1 16383 Bài 9: Cho biết: 12 22 32 102 385 . a) Tính A 22 42 62 202 ; b)Tính B 122 142 162 182 202 12 32 52 72 92 . Lời giải a) Ta có A 22 42 62 202 2 2 2 2 1.2 2.2 2.3 2.10 4 12 22 32 102 4.385 1540 b) B 122 142 162 182 202 12 32 52 72 92 2 122 1 142 32 162 52 182 72 202 92 12 1 12 1 14 3 14 3 16 5 16 5 18 7 18 7 20 9 20 9 11.13 11.17 11.21 11.25 11.25 11.29 11 13 17 21 25 29 11.125 1375
5. II. Bài toán: Bài 1: Cho S 1 2 22 23 24 25 26 27 . Chứng tỏ rằng S chia hết cho 3. Lời giải S 1 2 22 23 24 25 26 27 1 2 22 23 24 25 26 27 3 2 2 1 2 2 4 1 2 26 1 2 3 2.3 2 4.3 26.3 3 1 2 24 26 Bài 2: Cho A 2 22 23 260 . Chứng minh rằng A chia hết cho 6. Lời giải A 2 22 23 24 259 260 2 22 22 2 22 258 2 22 6 22.6 258.6 A6 Bài 3: Cho biểu thức A 2 22 23 24 25 26 22014 22015 22016 . Chứng minh rằng A chia hết cho 7. Lời giải A 2 22 23 24 25 26 22014 22015 22016 (Tổng A có 2016 số hạng, chia A thành 672 nhóm, mỗi nhóm có 3 số hạng) A 2 22 23 24 25 26 22014 22015 22016 12.2 2.2 22.2 124 224 22.24 1.22014 2.22014 22.22014 2 1 2 22 24 1 2 22 220142 1 2 22 2.7 24.7 22014.7 7. 2 24 22014 7 Bài 4: Cho A 2 22 23 260 . Chứng minh rằng A3; A5; A7 Lời giải Ta có: • A 2 22 23 24 257 259 259 260 2. 1 2 23 1 2 259 1 2 1 2 . 2 23 259 3. 2 23 259 3 • A 2 22 23 24 25 26 258 259 260 2. 1 2 22 24 1 2 22 258 1 2 22
6. Đặt tích của các thừa số chẵn trong B là: C (có 504 thừa số chẵn). 504 C 1008.1010.1012 .2014 2 .504.505.506 1007 504 thõa sè ch½ n Đặt tích của các thừa số chẵn trong C là: D (có 252 thừa số chẵn). 252 D 504.506.508  1006 2 .252.253.254 503 252 thõa sè ch½ n Đặt tích của các thừa số chẵn trong D là: E (có 126 thừa số chẵn). 126 E 252.254.256  502 2 .126.127.128 251 126 thõa sè ch½ n Đặt tích của các thừa số chẵn trong E là: F (có 63 thừa số chẵn). 63 F 126.128.130  250 2 .63.64.65 125 63 thõa sè ch½ n Đặt tích của các thừa số chẵn trong F là: G (có 31 thừa số chẵn). 31 G 64.66.68. 124 2 .32.33 62 31 thõa sè ch½ n Đặt tích của các thừa số chẵn trong G là: H (có 16 thừa số chẵn). 16 H 32.34.36 .62 2 .16.17.18 31 16 thõa sè ch½ n 216.24.17.2.9.19.22.5.21.2.11.23.23.3.25.2.13.27.2.19.29.2.15.31 230.3.5.9.11.13.15.17.192.21.23.25.27.29.31 Như vậy trong A có tích các thừa số: 21007.2504.2252.2126.263.231.230 22013 Vậy A chia hết cho 22013 . PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. 212.35 46.92 510.73 252.492 Bài 1: Thực hiện phép tính: 6 3 22.3 125.7 59143 Lời giải 6 2 5 2 12 5 2 2 10 3 2 2 212.35 46.92 510.73 252.492 2 .3 2 . 3 5 .7 5 . 7 6 3 12 6 3 22.3 125.7 59143 2 .3 53 .73 59.23.73 212.35 212.34 510.73 510.74 212.34 3 1 510.73 1 7 2 5.6 32 212.36 59.73 59.23.73 212.36 59.73 8 1 32 9 9 46.95 69.120 Bài 2: Thực hiện phép tính: 84.312 611 Lời giải 6 5 2 2 9 9 3 46.95 69.120 2 . 3 2 .3 .2 .3.5 212.310 212.310.5 212.310 1 5 2.6 4 4 12 11 4 12 12 11 11 11 11 8 .3 6 23 .1312 211.311 2 .3 2 .3 2 .3 2.3 1 3.5 5 Bài 3. Thực hiện phép tính:
7. 1 1 1 1 Bài 7. Tính A 3 32 33 3100 Lời giải 1 1 1 3A 1 3 32 399 1 1 1 1 1 1 Vậy: 3A A 1 2 99 2 100 3 3 3 3 3 3 1 3100 1 2A 1 3100 3100 3100 1 A 2.3100 Bài 8. Tính A 5 52  596 Lời giải A 5 52  596 5A 52 53  596 597 4A 5A – A 597 5 597 - 5 A 4 Bài 9. Tính S 5 52 53  52020 Lời giải Ta có 5S 52 53 54  52021 5S – S 52 53 54  52021 – 5 52 53  52020 4S 52021 5 52021 5 S 4 Bài 10: Tính C 22 42 62 202 Lời giải Ta có: C 22 42 62 202 22 12 22 32 102 Đặt A 12 22 32 102 1.1 2.2 3.3 10.10 A 1 2 1 2 3 1 3 4 1 10 11 1 A 1.2 2.3 3.4 10.11 1 2 3 4 10 10.11.12 10.11 10.11.4 5.11 385 3 2 C 4.385 1540
8. a) Viết công thức tổng quát tính A 1 a a2 a3 a4 an a 2,n N b)Viết công thức tính an 1 1 n N , a 2 c) Chứng minh rằng: 20152015 1 chia hết cho 2014. Lời giải a) Ta có A 1 a a2 a3 a4 an a 2,n N a.A a a2 a3 a4 an an 1 a.A A an 1 1 a 1 .A an 1 1 Vậy A 1 a a2 a3 a4 an an 1 1 : a 1 b) Ta có A 1 a a2 a3 a4 an an 1 1 : a 1 a 2,n N Từ đó ta có công thức: an 1 1 a 1 . 1 a a2 a3 a4 an a 2,n N c) Nhận thấy 2015 1 2014 . Với công thức đã tìm được ở câu 1, hơn nữa ta thấy A 1 a a2 a3 a4 an có giá trị là số nguyên nên an 1 1 : a 1 . Do đó để làm câu 2 ta nghĩ ngay đến cách làm sau: Xét A 1 2015 20152 20153 20154 20152014 2015.A 2015 20152 20153 20154 20152015 Do đó 2015.A A 20152015 1 2014.A 20142015 1 Nên 20152015 1 2014. 1 2015 20152 20153 20154 20152014 Mà 1 2015 20152 20153 20154 20152014 có giá trị là số tự nhiên Vậy 20152015 12014 Bài 14: a, Tính tổng : M 1 32 34 36 38 3112 b, Viết công thức tổng quát tính M 1 a2 a4 a6 a8 a2n n N ,a 2 c, Viết công thức tính a2n 2 1 n N ,a 2 d, Chứng minh rằng: 92018 1 92018 – 1 chia hết cho 80 Lời giải a, Tương tự Ta có: M 1 32 34 36 38 3112 32.M 32 34 36 38 3112 3114 Do đó: 32.M M 3114 1
9. A a a3 a5 a7 a9 a2n 1 a2n 3 a : a2 1 c, Từ kết quả câu b: A a a3 a5 a7 a9 a2n 1 a2n 3 a : a2 1 n N ,a 2 Từ đó ta có : a2n 3 a a2 1 . a a3 a5 a7 a9 a2n 1 n N ,a 2 d, Nhận thấy 62 1 35. Với công thức đã tìm được ở câu c. Hơn nữa A a a3 a5 a7 a9 a2n 1 có giá trị là số nguyên. Nên a2n 3 a  a2 1 . Do đó để làm câu d ta nghĩ ngay đến cách làm: Xét M 6 63 65 67 69 62015 62.M 63 65 67 69 62015 62017 62.M M 62017 6 M. 62 1 62017 6 Do đó 62017 6 35. 6 63 65 67 69 62015 Mà 6 63 65 67 69 62015 có giá trị là số tự nhiên. Vậy 62017 635 Bài 16: 1, Tính B 1 5 52 53 54 599 5100 2, Tính A 1 ad a2d a3d a2nd a 2,n N 3, Chứng tỏ rằng 20182009 1 chia hết cho 2019 Lời giải 1, Tương tự Ta có B 1 5 52 53 54 599 5100 5.B 5 52 53 54 55 5100 5101 Quan sát về quy luật dấu của các số hạng trong tổng B và 5B . Để các lũy thừa bị triệt tiêu hàng loạt 5101 1 ta nghĩ đến tính 5B B 5101 1 6B 5101 1 B 6 2, Ta có: A 1 ad a2d a3d a2nd ad A ad a2d a3d a 2n 1 d a 2n 1 d 1 ad A A a 2n 1 d 1 A ad 1 3, Nhận thấy 2018 1 2019 . Với công thức đã tìm được ở câu 2. Hơn nữa A 1 ad a2d a3d a2nd có giá trị là số nguyên Nên a 2n 1 d 1 ad 1 . Do đó để làm câu d ta nghĩ ngay đến cách làm sau: Xét S 1 2018 20182 20183 20182008 2018.S 2018 20182 20183 20184 20182009