Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 2: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 4: Phương pháp biến đổi tương đương để tìm thành phần chưa biết của lũy thừa (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 2: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 4: Phương pháp biến đổi tương đương để tìm thành phần chưa biết của lũy thừa (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 2-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT CỦA LŨY THỪA PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Lũy thừa bậc n của số a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a n a a .a a ( n 0) . a gọi là cơ số, n gọi là số mũ. n thừa số a Chú ý: a2 còn được gọi là a bình phương (hay bình phương của a ). a3 còn được gọi là a lập phương (hay lập phương của a ). Quy ước: a1 a 2. Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số am.an am n 3. Chia hai luỹ thừa cùng cơ số am : an am n ( a 0, m n) Quy ước a0 1 a 0 n 4. Luỹ thừa của luỹ thừa am amn 5. Luỹ thừa một tích a.b m am.bm 6. Một số luỹ thừa của 10 : - Một nghìn: 1 000 103 - Một vạn: 10 000 104 - Một triệu: 1 000 000 106 - Một tỉ: 1 000 000 000 109 Tổng quát: nếu n là số tự nhiên khác 0 thì: 10n 100000 (có n chữ số 0 ) PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa I. Phương pháp giải - Đưa hai luỹ thừa về cùng cơ số - Sử dụng tính chất Nếu am an thì m n a N *;a 1,m,n N
2. b) 3x 16 196 : 193.192 3.12005 1 Lời giải: a) 5x 2 32 24 68 : 66 62 5x 2 9 16 62 62 5x 2 9 16 0 5x 2 25 5x 2 25 x 2 2 x 4 Vậy x 4 . b) 3x 16 196 : 193.192 3.12005 1 3x 16 196 :195 3 1 3x 16 19 3 1 3x 16 17 3x 1 x 0 Vậy x 0 Bài 3: Tìm số tự nhiên x thoả mãn 2 a)15x .152x 1 2 b) 5x .5 52x 2 c)9x .81x 729 2 d)117 x 11x .1112 Lời giải: 2 a)15x .152x 1 2 15x 2x 150
3. 2 117 x 11x 12 7x x2 12 x2 7x 12 0 x2 4x 3x 12 0 x(x 4) 3(x 4) 0 (x 4)(x 3) 0 x 4 0 x 4 x 3 0 x 3 Vậy x 4;x 3 Bài 4: Tìm số tự nhiên x thoả mãn a) 2x 2x 1 2x 2 2x 3 480 x 1 x x x b) 5 5 2.2 8.2 x x 1 x x x c) 6 6 2 2.2 4.2 x 3 0 d) 3 25 26.2 2.3 Lời giải: a) 2x 2x 1 2x 2 2x 3 480 2x (1 2 22 23 ) 480 2x.15 480 2x 25 x 5 Vậy x 5 b) 5x 1 5x 2.2x 8.2x 5x (5 1) 2x (2 8) 22.5x 2x 1.5 22.5x 2x 1.5 22.5 22.5 5x 1 2x 1 x 1 0 x 1 Vậy x 1
4. (2m 1)(2n 1) 1 m m m n 2 1 1 2 2 m 1 Vì 2 1 và 2 1 nên n n 2 1 1 2 2 n 1 Vậy m n 1 3 Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên x thoả mãn 16x 16x Lời giải: 3 16x 16x x x3 x(1 x2 ) 0 x 0 x 0 2 1 x 0 x 1 Vậy có 2 số tự nhiên x thoả mãn là x 0; x 1 Bài 8: a) Cho A 5 52 53 5100. Tìm số tự nhiên n biết 4A 5 5n 1 2 3 99 100 2n 1 b) Cho B 2 2 2 2 2 . Tìm số tự nhiên n biết 2 2 B Lời giải: a)Ta có A 5 52 53 5100 5A 52 53 5100 5101 5A A 52 53 5100 5101 5 52 53 5100 4A 5101 5 4A 5 5101 Theo đầu bài ta có: 4A 5 5n 1 5101 5n 1 n 100. Vậy n 100 . b) Ta có : B 2 22 23 299 2100 2B 22 23 299 2100 2101 2B B 2101 2
5. 7x 2 7x 1 7x 52x 52x 1 52x 3 57 131 7x 49 7 1 52x 1 5 125 57 131 7x 25x x 0 Vậy x 0 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 Bài 11: Tìm số tự nhiên n biết: . 8n 35 35 35 25 25 Lời giải: 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 . 8n 35 35 35 25 25 4.45 65.6 . 23n 3.35 2.25 5 24 24 3n . 2 6 6 45.4 23n 212 23n 3n 12 n 4 Vậy n 4 Bài 12: Tìm hai số tự nhiên x, y thoả mãn 2x 1.3y 12x Lời giải: 2x 1.3y 12x 2x 1.3y 22x.3x 22x :2x 1 3y :3x 2x 1 3y x x 1 0 y x 0 x y 1 Vậy x y 1 Bài 13: Tìm x biết: a) 2x 2.3x 1.5x 10800 x 3 x 1 x b) 4 .5 .6 192000 Lời giải:
6. c) xn 1 n ¥ Nếu n 0 thì x0 1 x N * Nếu n 0 thì xn 1 x 1 n ¥ * . Bài 2: Tìm số tự nhiên x, biết: a) x2 16 b) x5 125 c) x 20210 2.x3 d) x2 23 32 43 e) 48 32 Lời giải: a) Ta có x2 16 x2 42 x 4 b) Ta có x5 125 x5 53 x 5 c) Ta có x 20210 1 d) Ta có x2 23 32 43 8 9 64 81 92 x 9 2.x3 e) Ta có 48 32 2.x3 48 9 2.x3 48.9 2.x3 432 x3 216 63 x 6 Vậy x 6 Bài 3: Tìm số tự nhiên x, biết: a) x 3 3 27 b) 2x 1 3 125 c) 288: x 3 2 2 d) 1 3x 4 256 Lời giải:
7. Bài 4: Tìm số tự nhiên x, biết: a) x3 x2 11 x4 x b) 2 x54 x c) Lời giải: a) Ta có x3 x2 suy ra x3 x2 0 x2 x 1 0 x2 0 x 0 x 1 0 x 1 Vậy x 0 hoặc x 1. 11 b) Ta có x4 x suy ra x44 x 0 x x43 1 0 x 0 x 0 x 0 43 43 x 1 0 x 1 x 1 Vậy x 0 hoặc x 1. 2 c) Ta có x54 x suy ra x108 x 0 x x107 1 0 x 0 x 0 x 0 107 107 x 1 0 x 1 x 1 Vậy x 0 hoặc x 1. Bài 5: Tìm số tự nhiên x, biết: a) 2. 2x 1 2 50 b) 7x 11 3 25.52 200 3 c) 720 : 41 2x 5 2 .5 Lời giải: a) Ta có 2. 2x 1 2 50 2x 1 2 50 : 2
8. 4 3x 6 0 3x 6 0 x 2 3x 6 x 2 2 2 7 1 3x 6 0 3x 6 1 3x 6 1 3x 7 x loai 3 Vậy x 2 . m m 3 Bài 7: Tìm số tự nhiên x, biết: x 2 x 2 0 m ¥ Lời giải: m m 3 Ta có: x 2 x 2 0 m ¥ x 2 m 1 x 2 3 0 m m x 2 0 x 2 0 x 2 0 x 2 x 2 3 3 3 1 x 2 0 1 x 2 0 x 2 1 x 2 1 x 3 Vậy x 2 hoặc x 3. x 2 x 4 Bài 8: Tìm số tự nhiên x, biết x 1 x 1 1 Lời giải: Đặt x 1 y x 2 y 3;x 4 y 5 Ta có 1 trở thành y y 3 y y 5 y y 3 (y2 1) 0 y y 3 0 y 0 x 1 x 1;2 2  y 1 0 y 1 x 2 Vậy x 1;2 là giá trị cần tìm. Bài 9: Tìm các số tự nhiên x và y biết rằng: 10x 48 y2 Lời giải: Nếu x 0 ta có y2 100 48 1 48 49 72 y 7 . Nếu x 0 ta có 10x có chữ số tận cùng là 0, do đó 10x 48 có chữ số tận cùng là 8 mà y2 không thể có chữ số tận cùng là 8. Vậy x 0, y 7 . Bài 10: Tìm số tự nhiên x, biết: a) 1600 : 41 2x 5 5 40 b) x2 1 x2 2 x2 3 x2 100 15050 Lời giải: a) Ta có: 1600 : 41 2x 5 5 40 41 2x 5 5 1600 : 40
9. 3 3 2 2 2 3  Bài 12. Tìm x ¥ , biết: x 6 8 9.7 7.5 5.3 1  Lời giải: 3 3 2 2 2 3  Ta có: x 6 8 9.7 7.5 5.3 1  3 3 x2 36 64 63 3 35 15 1  3 2 3 3 x 36 1 35 15 1 3 x2 15 1 x2 15 1 x2 16 42 x 4 . Vậy x 4 . 2 2 Bài 13. Tìm x ¥ , biết: x 3 1– 3x Lời giải: 2 2 Ta có x 3 1– 3x x – 3 1– 3x 4x 4 x 1 Vậy x 1 100 200 Bài 14. Tìm số tự nhiên x và y , biết: 3x 6 2y 4 0 Lời giải: 100 200 Ta có 3x 6 0, 2y 4 0, x, y 3x 6 100 2y 4 200 0, x, y 100 200 Mà 3x 6 2y 4 0 100 100 200 3x 6 0 3x 6 0 x 2 nên 3x 6 2y 4 0 200 2y 4 0 y 2 2y 4 0 Vậy x y 2 . Bài 15. Tìm số tự nhiên a và b, biết: 3a 9b 183 Lời giải: Nếu a 0 ta có 30 9b 138 1 9b 183 9b 182 b ¥
10. Xét trường hợp 1. 2 x 2 0 x 2 0 x 2 2 y – 3 0 y 3 2 y – 3 0 Xét trường hợp 2. 2 x 2 1 x 2 1 x 3 2 2 y – 3 1 y 4 2 y – 3 2 Vậy x 2, y 3 hoặc x 3, y 4 . PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. ( Khoảng 15 bài ) Bài 1: ĐỀ THI HUYỆN HOA LƯ Tìm x biết: 32x 81 Lời giải: 32x 81 32x 34 2x 4 x 2 Bài 2: ĐỀ THI HUYỆN PHÙ CÁT Tìm số tự nhiên x , biết: a)(7x 11)3 25.52 2.102 x x 1 x 2 x 2021 2026 b) 2 2 2 2 2 16 Lời giải: 3 a) Ta có 7x -11 25.52 2.52. 22 7x -11 3 23.52. 22 1 7x -11 3 23.53 7x -11 3 103 7x - 11 10 7x 21 x 3 Vậy x 3 b)2x 2x 1 2x 2 2x 2021 22026 16 Đặt A 2x 2x 1 2x 2 2x 2021 2A 2x 1 2x 2 2x 2022 2A A 2x 2022 2x A 2x 2022 2x 2x 22022 1 Từ (1):
11. Lời giải: x x 1 x 2 15 5 . 5 .5 1000. 0 : 2 15ch÷ sè 0 53x + 3 = 1015 : 215 53x + 3 = 515 Suy ra: 3x + 3 = 15 3x = 12 x = 4 Vậy x = 4 Bài 7: ĐỀ THI HUYỆN CHƯƠNG MỸ Tìm số nguyên x thỏa mãn: 52x 3 7.52 12.52 Lời giải: 52x 3 7.52 12.52 52x 3 12.52 7.52 52x 3 (12 7).52 52x 3 53 2x 3 3 2x 3 x 3 Vậy x 3 Bài 8: ĐỀ THI HUYỆN KIẾN XƯƠNG Tìm x biết: 26 3. 2x 3 2 72 Lời giải: 26 3. 2x 3 2 72 26 3. 2x 3 2 49 3. 2x 3 2 75 2x 3 2 25 2x 3 5 hoặc 2x 3 5 x 4 hoặc x 1 Vậy x 4 hoặc x 1 Bài 9: ĐỀ THI KỲ ANH
12. Vậy x 2 . Bài 11: ĐỀ THI YÊN ĐỊNH Tìm x biết 2x 1 2x 2x 1 112 Lời giải Ta có: 2x 1 2x 2x 1 112 2x 1 2x 1.2 2x 1.22 112 2x 1. 1 2 22 112 2x 1.7 112 2x 1 112 : 7 2x 1 16 2x 1 24 x 1 4 x 5 Bài 12: ĐỀ THI THANH BA Cho x , y là các số tự nhiên thỏa mãn các hệ thức x 2 5 243; 2 y 2 y 4 272 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. x y 9 . B. x y 1. C. x2 y2 40 . D. x2 y2 9 . Lời giải Ta có x 2 5 243 35 x 2 3 x 5 Ta có 2 y 2 y 4 272 2 y 1 24 272 2 y.17 272 2 y 272 :17 16 2 y 16 24 y 4 Vậy x y 9 Bài 13. ĐỀ THI THỊ XÃ HOÀI NHƠN Cho A 31 32 33 32019 . Tìm x để 2A 3 3x Lời giải A 31 32 33 32019
13. Trường hợp 2: 2x 1 5 2x 5 1 x 3 Vậy x 3 hoặc x 2 b, 3 5x 1 2 70 3. 5x 1 2 70 3. 5x 1 72 5x 1 24 5x 25 x 2 Vậy x 2 Bài 15. ĐỀ THI HUYỆN HƯNG HÀ Tìm số tự nhiên x biết: 2x 2x 1 2x 2 2x 2017 22020 4 . Lời giải Tìm số tự nhiên x biết: 2x 2x 1 2x 2 2x 2017 22020 4 . 2x 2x 1 2x 2 2x 2017 22020 4 2x. 1 2 22 22017 22020 4 2x. 22018 1 22020 4 22020 4 2x 22018 1 22 22018 1 2x 22018 1 2x 22 Vậy x 2 .