Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 2+: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 6: Phương pháp đánh giá để tìm thành phần chưa biết của lũy thừa (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 2+: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 6: Phương pháp đánh giá để tìm thành phần chưa biết của lũy thừa (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2+ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT CỦA LŨY THỪA PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. KHÁI NIỆM: Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: an a.a a ( n thừa số a với a 0;n N ). 2. QUI ƯỚC: a0 1 (a 0) và a1 a a2 : Bình phương của a a 0 a3 : Lập phương của a a 0 3. CÁC PHÉP TÍNH LŨY THỪA: + Nhân hai luỹ thưa cùng cơ số: am.an am n + Chia hai luỹ thừa cùng cơ số: am : an am n (a 0; m n) + Luỹ thừa của một thương: (a :b)n an :bn (b 0) + Luỹ thừa của luỹ thừa: (am )n am.n n n + Luỹ thừa tầng: am a(m ) 1 + Luỹ thừa với số mũ âm: a n (a 0) an PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI I. Phương pháp giải Nội dung bài toán: Tìm x để VT x VP , ta đi đánh giá như sau + Nếu x x0 VT x VP + Nếu x x0 VT x VP + Nếu x x0 VT x VP Kết luận: x x0 là giá trị cần tìm. II. Bài toán Bài 1: Tìm các số nguyên n thỏa mãn 364 n48 572 Phân tích: số cần tìm đóng vai trò cơ số, phần số mũ đã biết ta cần phân tích về lũy thừa có cùng số mũ để có thể so sánh được phần cơ số với nhau. Ta có: Hai lũy thừa đầu có số mũ là 64,48 cùng chia hết cho 16 . Hai lũy thừa sau có số mũ 48,72 cùng chia hết cho 24 Lời giải Với n Z , ta có: 364 n48
2. 32 2n 25 2n 5 n 1 2n 512 2n 29 n 9 2 Từ 1 và 2 5 n 9 , mà n  n 6;7;8 Vậy n 6;7;8 6 6 b) Với n N , ta có: 318 n12 33 n2 33 n2 27 n2 Vì 52 27 62, nên 62 n2 6 n (1) 4 4 Với n N , ta có: n12 208 n3 202 n3 202 n3 400 Vì 73 400 8 3 , nên n3 73 n 7 (2) Từ (1) và (2) , suy ra 6 n 7, mà n N n 6;7 Bài 4: Tìm số tự nhiên x 0 thỏa mãn a) 4x 1 4x 5 b) 3x 32x 1 2268 Phân tích: Các lũy thừa có cùng cơ số, nên học sinh hướng tới nghĩ đến đưa về cùng cơ số để nhóm, rút gọn đơn giản phép tính. Dễ dàng thực hiện được câu a. Hưỡng dấn cách đánh giá để có cách khác tìm x . Câu b làm theo cách 1 thì sẽ gặp phải vấn đề xuất hiện bình phương trong phép tính khó thu gọn ở câu 4. Hướng dẫn cách nhẩm nghiệm và đánh giá so sánh để làm được theo cách 2 ở câu a. Lời giải a) 4x 1 4x 5 Cách 1. x 1 x 4 4 5 4x : 4 4x 5 1 4x. 4x 5 4 5 4x. 5 4x 4 4 x 1 Vậy x 1 là giá trị cần tìm. Cách 2. Theo đề, x số tự nhiên x 0 x 1 + TH1: x 1 Ta có: x 1 x 1 0
3. Ta có: + Nếu x 4 thì 24 4 20 (thỏa mãn) + Nếu x 4 thì 2x x 24 4 20 (loại) + Nếu 0 x 4 thì 2x x 24 4 20 (loại) Vậy x 4 là giá trị cần tìm. c) 2x 46 3x Ta có: 2x 46 3x 2x 3x 46 + TH1: x 5 2x 25 21 mà 3x 3.5 15 2x 3x 47 46 x 5 (không thỏa mãn) + TH2: 0 x 4 2x 24 16; mà 3x 3.4 12 2x 3x 28 46 (loại) Vậy không tồn tại giá trị của x thỏa mãn yêu cầu đề bài Bài 6: Tìm số tự nhiên x, biết 3x 3x 1 2x 2 388 (1) Phân tích: Các lũy thừa có cơ số khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta thay các giá trị x lần lượt từ 1,2,3,4, và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết quả nhận được để chia các trường hợp đánh giá. Lời giải + TH1: 0 x 4 3x 3x 1 2x 2 34 34 1 24 2 3x 3x 1 2x 2 388 VT (1) VP(1) 0 x 4 không thỏa mãn + TH2: x 4 3x 3x 1 2x 2 34 34 1 24 2 3x 3x 1 2x 2 388 VT (1) VP(1) x 4 không thỏa mãn + TH3: x 4 3x 3x 1 2x 2 34 34 1 24 2 3x 3x 1 2x 2 388
4. Phân tích: Các lũy thừa có cơ số khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta thấy x2 2 x2 2 5 2 2 x 0 2 32 2 2 x 2 5 x 3 x 1 Chia các trường hợp của x để tìm y, z Lời giải 2 Với x, y, z N , mà 2x 2 32y 1 5z 40 (1) , nên ta có: 2 2 2x 2 32 2x 2 25 x2 2 5 x2 3 x 0 x 1 TH1: x 0 Với x 0 , từ 1 ta có 22 32 y 1 5z 40 32 y 1 5z 36 2 Ta có vế trái của (2) không chia hết cho 3 và vế phải của (2) chia hết cho 3 nên x 0 loại TH2: x 1 Với x 1, từ 1 ta có: 23 32 y 1 5z 40 32 y 1 5z 32 (3) Ta có 32y 1 32 2y 1 3 y 1 + Nếu y 1 thay vào 3 ta được 27 5z 32 z 1 (thỏa mãn) + Nếu y 0 thay vào 3 ta được 3 5z 32 5z 29 (loại) Vậy x y z 1 Bài 9*: Tìm x, y, z N, thỏa mãn 2x 2y 2z 210 Phân tích: Các lũy thừa có cơ số giống nhau, vai trò của x, y, z sẽ như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả sử x y z từ đó đánh giá được x 8 . Tiếp tục để đánh giá lần lượt được y và z ta biến đổi phân tích đặt 2x ra ngoài làm thừa số chung để đánh giá được y x và z x . Nhận xét nếu y x 0 vô lí nên ta có được y x , thay vào biểu thức nhận xét và tìm được giá trị của z Từ đó tìm được x và y Lời giải Vì x, y, z có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả sử x y z Ta có: 210 1024 Mà x y z 2x 2y 2z 3.2x 3.2x 210 x 8
5. x 2 3 3 5 5 x 2 4 4 5 5 x x 2 2 3 4 3 4 1 5 5 5 5 x 2 không thỏa mãn; Vậy x 2 là giá trị cần tìm. Bài 11: Tìm các số nguyên dương x, y sao cho 5x3 3y 317 Phân tích: Các lũy thừa có cơ số, số mũ khác nhau đều chứa số cần tìm, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta thay các giá trị x, y lần lượt từ 1,2,3,4, và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết quả nhận được đánh giá. Lời giải + Nếu y 0 5x3 1 không có giá trị nguyên nào của x thỏa mãn + Nếu y 1 x 4 (thỏa mãn) + Nếu y 2 thì 3y chia hết cho 9, mà 317 chia cho 9 dư 2 và 5x3 3y 317 nên 5x3 chia 9 dư 2 Điều này mẫu thuẫn vì 5x3 chia 9 dư 0 hoặc 4 Vậy x 4; y 1 thỏa mãn bài toán Bài 12: Tìm x N , biết a) 16x 1284 x x 1 x 2 18 b) 5 .5 .5 100    0 : 2 18 chuso0 Phân tích: Câu a các lũy thừa có cơ số khác nhau, nhưng đều đưa được về lũy thừa cơ số 2 . Dùng công thức lũy thừa đưa về cùng cơ số để so sánh. Câu b các lũy thừa có cùng một cơ số dùng phép biến đổi đưa về cùng lũy thừa số sau đó so sánh để tìm ra giá trị của x . Lời giải a) Theo đề, ta có:16x 1284 x 4 24 27 24x 228 4x 28 x 7 Mà x N x 0;1;2;3;4;5;6
6. Bài 15: Tìm số tự nhiên a,b sao cho: a b 3 aba Phân tích: aba là số tự nhiên có 3 chữ số nên 100 aba 999 100 a b 3 999 5 a b 9 Từ đó ta có bẳng giá trị chia cá trường hợp và tìm được số tự nhiên a,b. Lời giải Vì aba là số tự nhiên có ba chữ số nên 100 aba 999 100 a b 3 999 5 a b 9 Ta có bảng: a b 5 6 7 8 9 aba a b 3 125 216 343 512 729 a / / 3 / / b / / 4 / / Vậy a 3;b 4 . Bài 16: Tìm số tự nhiên x,y sao cho: 5x 11y 26 Phân tích: Các lũy thừa có cơ số, số mũ khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta thay các giá trị x, y lần lượt từ 1,2,3,4, và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết quả nhận được để chia các trường hợp đánh giá. Lời giải + Với y 0 , ta có: 5x 110 26 5x 1 26 5x 25 5x 52 x 2 (thỏa mãn) + Với y 1, ta có: 5x 111 26 5x 26 11 15 Vì x là số tự nhiên nên không có giá trị của x thỏa mãn 5x 15 y 1 không thỏa mãn + Với y 2 , ta có: 112 121 26 , nên không có giá trị thỏa 5x 11y 26 khi y 2 . Vậy x 2; y 0 . Bài 17: Tìm x,y ¥ sao cho: 2x 624 5y
7. Bài 1: Tìm các số tự nhiên x, y , sao cho 7x 12y 50 (Trích đề thi Olympic lớp 6 huyện Thanh Oai năm học 2017 – 2018) Lời giải + Với y 0 , ta có: 7x 120 50 7x 1 50 7x 49 7x 72 x 2 (thỏa mãn) + Với y 1, ta có: 7x 121 50 7x 50 12 28 Vì x là số tự nhiên nên không có giá trị của x thỏa mãn 7x 38 y 1 không thỏa mãn + Với y 2 , ta có: 122 144 56 , VT VPnên không có giá trị thỏa 7x 12y 50 khi y 2 . Bài 2: Tìm x, y ¥ , sao cho 2x 624 5y (Trích đề thi HSG lớp 6 trường THCS Nguyễn Khuyến năm học 2016 – 2017) Lời giải + Với x 0 , ta có: 20 624 5y 5y 625 5y 54 y 4 (thỏa mãn ) + Với mọi x ¥ , x 0, ta có: vế trái 2x 624 là số chẵn, vế phải 5 y là số lẻ vô lí Vậy x 0; y 4 Bài 3: Tìm các số tự nhiên a,b thỏa mãn (100a 3b 1)(2a 10a b) 225 (Trích đề thi HSG lớp 6 huyện Thạch Thành năm học 2018 – 2019) Lời giải Ta có: (100a 3b 1)(2a 10a b) 225 (1) 100a 3b 1 a (2) Vì 225 là số lẻ nên (100a 3b 1)(2 10a b) là lẻ a cùng là số lẻ 2 10a b + Với a 0, từ (1) (100.0 3b 1)(20 10.0 b) 225 (3b 1)(b 1) 225 (3b 1)(b 1) 32.52 (3) Vì 3b 1 chia 3 dư 1 và 3b 1 b 1 nên Từ (3) (3b 1)(b 1) 25.9
8. x y2 z 0 Nhận thấy bình phương của mọi số nguyên đều không âm nên ta có được y 2 0 z 3 0 Từ đó tìm được các số nguyên x, y, z. Lời giải 2 x y2 z 0 2 Với mọi số nguyên x, y,z ta luôn có: y 2 0 2 z 3 0 2 Ta có: x y2 z y 2 2 z 3 2 0 2 2 2 2 x y z 0 x y z 0 2 x y z 0 2 2 y 2 0 y 2 0 y 2 0 2 2 z 3 0 z 3 0 z 3 0 2 x y2 z 0 x 2 3 0 x 7 y 2 y 2 y 2 z 3 z 3 z 3 x2 x2 x2 x2 1 x2 Bài 7: Tìm các số nguyên x sao cho 2 3 4 5 4 (Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Quang Trung năm học 2008-2009) Lời giải 2 Với mọi giá trị của x ta có: x 0 . Nên: 2 2 x 2 0 1 x 2 0 3 3 1 x2 x2 x2 x2 2 3 4 5 4 2 4 x 4 0 1 x 2 0 5 5 1 2 Mà 41 x 4 nên để VT VP thì x2 0 hay x 0 Vậy x 0 là giá trị cần tìm. Bài 8: Tìm các số nguyên dương x sao cho 6x 2x 32 (Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Nguyễn Du năm học 2007-2008) Lời giải x x x x 1 1 Ta có 32 2 6 32. 1 6 3
9. 1 x 2 0 2 Với mọi số nguyên x, y,z ta luôn có: 3 y 0 2 2 y x z 0 2 Ta có: 1 x 2 3 y 2 y2 x z 0 1 x 2 0 1 x 0 x 1 2 3 y 0 3 y 0 y 3 2 2 2 y x z 0 z 8 y x z 0 Bài 11: Tìm số nguyên dương x sao cho 2x 52 4x (Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Quang Trung năm học 2011-2012) Lời giải Ta có: + Nếu x 5 thì 25 52 4.5 (thỏa mãn) 2x 25 2x 32 + Nếu x 5 thì (loại) 52 4x 52 4.5 52 4x 32 2x 25 2x 32 + Nếu 0 x 5 thì (loại) 52 4x 52 4.5 52 4x 32 Vậy x 5 là giá trị cần tìm. Bài 12: Tìm các số nguyên dương a và b sao cho: 2a 2b 16 (Trích đề thi HSG lớp 6) Lời giải Ta có: 2a 2b 16 24 2b 2a b 1 24 (1) Dễ thấy a b, ta xét 2 trường hợp: + TH1: a b 1, từ (1) ta có: 2b 21 1 24 2b 2a b 4 Do a b 4 a 5 b 4;a 5 + TH2: a b 2 2a b 1 là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tích ra thừa số nguyên tố. Còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2 mâu thuẫn. Vậy b 4;a 5.  HẾT 