Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 2: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 6: Tìm chữ số tận cùng (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 2: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 6: Tìm chữ số tận cùng (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2 - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 6: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Tìm 1 chữ số tận cùng Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận cùng là 0,1,5,6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. b) Các số có chữ số tận cùng là 4,9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. c) Các số có chữ số tận cùng là 3,7,9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n Î ¥ ) thì chữ số tận cùng là 1. d) Các số có chữ số tận cùng là 2,4,8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n Î ¥ ) thì chữ số tận cùng là 6. Chú ý: Muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am , trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a : - Nếu chữ số tận cùng của a là 0,1,5,6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0,1,5,6 . - Nếu chữ số tận cùng của a là 3,7,9: Phân tích: am = a4n+ r = a4n .ar với r = 0, 1, 2, 3 Từ tính chất 1c Þ chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của ar . - Nếu chữ số tận cùng của a là 2,4,8: cũng như trường hợp trên Từ tính chất 1d Þ chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6ar . Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n Î ¥ ) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng. Tính chất 3: a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3 . b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2 . c) Các số có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng. Tính chất 4: Nếu a Î ¥ và (a , 5) = 1 thì a100 - 1 chia hết cho 125.
2. Một số trường hợp cụ thể về 2 chữ số tận cùng - Các số có tận cùng bằng 01; 25; 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01; 25; 76 - Các số 320 (hoặc 815 ); 74; 512 ; 992 có tận cùng bằng 01. - Các số 220; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76. - Số 26n (n > 1) có tận cùng bằng 76. - Các số có chữ số tận cùng là 01;25;76 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì khác 0 thì hai chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. (1) - Các số 320;74;910;512;815;992 có chữ số tận cùng là 01. (2) - Các số 410;65;184;242;684;742 có chữ số tận cùng là 76. (3) - Số26n (n > 1) có chữ số tận cùng là 76. (4) Như vậy, muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am , trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a. CHÚ Ý: - 410 có 2 chữ số tận cùng là 76. - 52 có 2 chữ số tận cùng là 25 . - 820 có 2 chữ số tận cùng là 76. - 910 có 2 chữ số tận cùng là 01. 3. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên Việc tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000. k Giả sử n = 100k + r với 0 £ r < 100, khi đó: an = a100k+ r = (a100) .ar . Giả sử: a º x (mod 10), x Î {0, 1, 2, , 9} 100 Ta có: a100 = (10k + x) º x100 (mod 1000) Vậy 3 chữ số tận cùng của a100 cũng chính là 3 chữ số tận cùng của x100. Dùng quy nạp với mọi n ³ 1, ta có: 625n º 625 (mod 1000), 376n º 376 (mod 1000). - Nếu x = 0 thì x100 º 000 (mod 1000)
3. - Ta biết rằng các số có chữ số tận cùng là 0,1,5,6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. - Để tìm chữ số tận cùng của mỗi lũy thừa trên ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của hàng đơn vị. Lời giải a) 1567 có chữ số tận cùng là 6 b) 10619 có chữ số tận cùng là 1 c) Theo câu a) và b) Chữ số tận cùng của lũy thừa : 1567 10619 là 7 d) Theo kết quả câu a) và b) Chữ số tận cùng của lũy thừa: 1567.10619 là 6 . Ví dụ 1.3: Tìm chữ số tận cùng của 52020 Phân tích: Để tìm được chữ số tận cùng của số trên ta phải đưa về số có tận cùng là 5. Lời giải Ta thấy 54 = 625, số tận cùng bằng 5 nâng lên bậc lũy thừa nào cũng có chữ số tận cùng bằng 5 nên ta phân tích 52020 = 54.505 = 625505 . Vậy số 52020 có chữ số tận cùng bằng 5. Ví dụ 1.4: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a)72006 b)8732 c)91991 d) 2335 e)7430 f )74n 1 Lời giải a)72006 72004.72 74.501.72 1.49 9 Vậy chữ số tận cùng của 72006 là 9 . b)8732 874.7 1 Vậy chữ số tận cùng của 8732 là 1. c)91991 91988.93 94.497.93 1 9 9 Vậy chữ số tận cùng của 91991 là 9 . d) 2335 2332.233 234.8.233 1 7 7 Vậy chữ số tận cùng của 2335 là 7 . 15 e)7430 742 ( 6)15 6 Vậy chữ số tận cùng của 7430 là: 6 . f )74n 1 1 1 0 Vậy chữ số tận cùng của 74n 1 là 0 . Ví dụ 1.5: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a)735 431 b) 24n 1 2 c) 21930.91945 Lời giải
4. Ví dụ 1.7: Tìm chữ số tận cùng của các tổng sau: S = 21 + 35 + 49 + ¼ + 20048009. Phân tích: Trong dạng bài này ta phải tìm được quy luật của tổng, quy luật ở đây chính là số mũ của các số hạng trong S, các số mũ này đều chia 4 dư 1. Mà ta biết các số khi nâng lên lũy thừa dạng 4n + 1 sẽ có tận cùng không đổi. Lời giải: 4(n – 2) + 1 Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1(các lũy thừa đều có dạngn , n thuộc {2;3;4 ;2004}) Theo tính chất, suy ra mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng: (2 + 3 + ¼ + 9)+ 199.(1+ 2 + ¼ + 9)+ 1+ 2 + 3 + 4 = 200(1+ 2 + ¼ + 9)+ 9 = 9009. Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9. Tổng quát hóa: 4(n- 2)+ 1 Tìm chữ số tận cùng của tổng sau:S = 21 + 35 + 49 + ¼ + n Ví dụ 1.8: Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + + 20048011. Lời giải: Nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n 4(n- 2)+ 3 , n thuộc {2;3;4 ;2004}) Theo quy tắc 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411 có chữ số tận cùng là 4 ; Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng: (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1+ 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1+ 8 + 7 + 4 = 200.(1+ 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9 + 8 + 7 + 4 = 9019 Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9 Tương tự hóa: 4(n- 2)+ 3 Tìm chữ số tận cùng của S = 23 + 37 + 411 + ¼ + n Dạng 2: Tìm hai chữ số tận cùng Ví dụ 2.1: Tìm hai chữ số tận cùng của các số: a) 22003 b) 799 Lời giải: a) Do 22003 là số chẵn, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2n 125 .
5. = (K 76).224 = K 24 . Ví dụ 2.5: Tìm 2 chữ số tận cùng của 197656.201577 Lời giải Ta thấy: Chữ số tận cùng của 197656 cũng là chữ số tận cùng của 7656 mà 7656 = 76 Chữ số tận cùng của 201577 cũng là chữ số tận cùng của 1577 77 mà 1577 = (3.5) = 377.577 = 320.3+ 17.577 = 317 ( 01).( 25) = ( 63)( 25) = 75. Suy ra: 197656.201577 = ( 76).( 75) = 00. Vậy 197656.201577 có 2 chữ số tận cùng là 00 . Ví dụ 2.6: Tìm hai chữ số tận cùng của số C = 2999 Lời giải Ta có: 210 + 1 = 1024 + 1 = 1025M25 suy ra 220 – 1 = (210 + 1)(210 – 1)M25 50 Ta lại có 21000 – 1 = (220) – 1M220 – 1suy ra 21000 – 1M25 Do đó21000 chữ số tận cùng là 26;51;76nhưng 21000 M4 Suy ra21000 tận cùng là 76 Þ 2999 tận cùng là 38 hoặc 88 vì 2999 M4 Vậy 2999 tận cùng là 88 Vậy C = 2999 có hai chữ số tận cùng là 88 . Ví dụ 2.7: Tìm 2 chữ số tận cùng của 512020 Lời giải Ta có 2020 = 2.1010 nên 512020 = (512)1010 = 26011010 . Khi đó theo quy tắc (1) chữ số tận cùng của 512020 là 01. Ví dụ 2.8: Tìm 2 chữ số tận cùng của a) 72015 b) 5766 Lời giải a) Ta có: 74 = 2401 nên 72015 = 74.503+ 3 = (74)503.73 = 2401503.343 = ( 01).343 = 43 2015 Chữ số tận cùng của 7 là 43. b) Ta có 5766 = (574)16.572 = ( 01)16.3249 = 49 Chữ số tận cùng của 5766 là 49 .
6. 26 Ta có 7213 º 726.8+ 5 º (78 ) .75 º 126.75 º 75 º 7(mod 100) 213 Khi đó 37 = 3100k+ 7 = 3100k.37 º 1. 37 º 187(mod 1000) 213 Vậy ba chữ số tận cùng của 37 là 187 . Ví dụ 3.6: Tìm ba chữ số tận cùng của 51992 Lời giải 498 51992 = (54 ) = 625498 = 0625498 = ¼ 0625 Vậy bốn chữ số tận cùng của 51992 là 0625 Ví dụ 3.7: Tìm ba chữ số tận cùng của số T = 5946 Lời giải Ta có 53 có ba chữ số tận cùng là 125 Suy ra T = 5946 = (53)315.5=(n125)315.5=m125.5=t625 (Vớin,m,t Î ¥ ) Vậy T = 5946 có ba chữ số tận cùng là125. Ví dụ 3.8: Tìm ba chữ số tận cùng của số: P = 51994 Lời giải Ta có: 54 = 0625 tận cùng là 0625 ; 55 tận cùng là 3125 ; 56 tận cùng là5625 57 tận cùng là 8125 ; 58 tận cùng là 0625 ; 59 tận cùng là 3125 ; 510 tận cùng là 5625; 511 tận cùng là 8125 ; 512 tận cùng là 0625 Chu kỳ lặp là 4. Suy ra: 54m tận cùng là 0625 ; 54m+ 1 tận cùng là 3125 54m+ 2 tận cùng là 5625; 54m+ 3 tận cùng là 8125 Mà 1994 có dạng 4m + 2, do đó M = 51994 có 4 chữ số tận cùng là5625. Ví dụ 3.9: Tìm ba chữ số tận cùng của số: R = 123101 Lời giải Do (123,5) = 1 Þ 123100 - 1 chia hết cho 125 (1). Mặt khác: 123100 - 1 = (12325 - 1)(12325 + 1)(12350 + 1) Þ 123100 - 1 chia hết cho 8 (2). Vì(8,125) = 1 , từ (1) và (2) suy ra: 123100 - 1 chi hết cho 1000
7. Dạng 4: Vận dụng chứng minh chia hết, chia có dư. * Chú ý: a. Dấu hiệu chia hết cho 2 : Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn. b. Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9 ): Một số chia hết cho 3 (hoặc 9 ) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3 (hoặc 9 ). Chú ý: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9 ) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9 ) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại. c. Dấu hiệu chia hết cho 5 : Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5 . d. Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25 ): Một số chia hết cho 4 (hoặc 25 ) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 (hoặc 25 ). e. Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125): Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8 (hoặc 125). f. Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11. Ví dụ 4.1: Cho 9999931999 5555571997 . Chứng minh rằng A chia hết cho 5 . Lời giải: Để chứng minh A5, ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng. 499 Ta có: 31999 34 81499 .27 Suy ra: 31999 có chữ số tận cùng là 7 . 499 71997 74 .7 2041499 .7 Suy ra: 71997 có chữ số tận cùng là 7 . Vậy A có chữ số tận cùng bằng 0 . Do đó: A5. Ví dụ 4.2: Cho n ¥ , chứng minh rằng n2 n 1 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5 . Lời giải: Ta có: n2 n 1 n n 1 1 n n 1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 . Suy ra n n 1 1 là một số lẻ nên không chia hết cho 4 .
8. Số 19833 có tận cùng bằng 7 Do đó: 19831983 có tận cùng bằng 7 Phân tích tương tự, 19171917 có tận cùng bằng 7 Do đó: 19831983 19171917 có tận cùng bằng 0 Vậy: 19831983 19171917 chia hết cho 10. Ví dụ 4.7: Chứng tỏ rằng: 20075 20144 201313 chia hết cho 10. Lời giải: Ta có: 75 74 .7 2401.7 tận cùng bằng chữ số 7 nên số 20075 cũng tận cùng bằng chữ số 7 . 44 256 tận cùng bằng chữ số 6 nên 20144 cũng tận cùng bằng chữ số 6 . 3 313 34 .3 813 .3 tận cùng bằng chữ số 3 nên số 201313 cũng tận cùng bằng chữ số 3 . Suy ra: 20075 20144 201313 tận cùng bằng chữ số 0 . Vây: số 20075 20144 201313 chia hết cho 10. Ví dụ 4.8: Tìm bốn chữ số tận cùng của 51994 khi viết trong hệ thập phân. Lời giải: Cách 1: 54 625 Ta thấy số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nguyên dương bất kì vẫn tận cùng bằng 0625. k Do đó: 51994 54k 2 25 54 25 0625 k 25 0625 5625 Cách 2: Tìm số dư khi chia 51994 cho 10000 24 .54 Nhận xét: 54k 1 chia hết cho 54 1 52 1 52 1 nên chia hết cho 16. Ta có: 51994 56 51988 1 56 Do 56 chia hết cho 54 còn 51988 1 chia hết cho 16 (theo nhận xét trên) Nên: 56 51988 1 chia hết cho 10000 Tính 56 15625 Vậy bốn chữ số tận cùng của 51994 là 5625 . Ví dụ 4.9: Chứng minh rằng 3366 7755 – 2 chia hết cho 5 Lời giải: Ta chứng minh 3366 7755 – 2 có tận cùng là 0 sau đó vận dụng dấu hiệu chia hết cho 5 Thật vậy, 3366 có cùng chữ số tận cùng với 3366 , mà 366 933 9.92.16 suy ra 3366 có tận cùng là 9 , 7755 có cùng chữ số tận cùng với 7755 , vì 755 73.74.13 nên 7755 có tận cùng là 3 . Do đó 3366 , 7755 có chữ số tận cùng lần lượt là 9 , 3 suy ra 3366 7755 – 2 tận cùng là 0 (đpcm) Dạng 5: Vận dụng chữ số tận cùng vào bài toán chính phương. * Chú ý:
9. 505 24 .2 16505 . 2 Ta có: 10505 có chữ số tận cùng là 6 . Suy ra: 16505 có chữ số tận cùng là 2 . Do đó: A 4 có chữ số tận cùng là 2 . Vậy A 4 không phải là số chính phương. Ví dụ 5.3: Cho a ¥ và n 1 không chia hết cho 4 . Chứng minh rằng 7n 2 không thể là số chính phương. Lời giải: Do n 1 không chia hết cho 4 nên n 4k r r 0,2,3 . Ta có 74 1 2400:10 . Ta viết 7n 2 74k r 2 7r 74k 1 7r 2 . Vậy hai chữ số tận cùng của 7n 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7r 2 r 0;2;3 nên chỉ có thể là 03;51;45 . Theo tính chất trên thì rõ ràng 7n 2 không thể là số chính phương khi n không chia hết cho 4 . Ví dụ 5.4: Cho S 1 31 32 33 330 . Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phương. Lời giải: Tổng có 31 số hạng , nhóm các số hạng từ trái sang phải, mỗi nhóm 4 hạng, còn thừa ba số hạng cuối là 328 329 330 . Trong mỗi nhóm, chữ số tận cùng của tổng là 0 . Vậy chữ số tận cùng của tổng S là chữ số tận cùng của tổng 328 329 330 . Ta có: 329 328 .3 1.3 3 330 328 .32 1. 9 9 Tổng S có chữ số tận cùng 1 3 9 3 Số chính phương không có tận cùng bằng 3 . Suy ra S không phải là số chính phương. Ví dụ 5.5: Cho tổng S 1 3 5 2009 2011 a) Tính S b) Chứng tỏ S là một số chính phương. Lời giải: 2011 1 2011 1 2 a) Ta có: S 1 3 5 2009 2011 . 1 1006 1012036 2 2 b) S 22 .5032 10062 có chữ số tận cùng là 6 nên S là số chính phương. Ví dụ 5.6: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết vởi các chữ số 3;6;8;8 . Lời giải:
10. Nếu tích có 5 thừa số lẻ liên tiếp trở lên thì ít nhất cũng có một thừa số có chữ số tận cùng là 5 . Dó đó tích phải tận cùng là 5 nên trái đề bài. Vậy số thừa số của tích nhỏ nhất phải lớn hơn 5 . Nếu tích có 4 thừa số lẻ liên tiếp thì hoặc tích có tận cùng bằng 5 , hoặc tận cùng bằng 9 nên trái đề bài. Nếu tích có 2 thừa số lẻ liên tiếp thì tích có tận cùng là 3 hoặc 5 hoặc 9 nên trái đề bài. Vậy tích đó chỉ có 3 thừa số. Bài 6: Tích A 2.22 .23 210 .52 .54 .56 514 tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 . Lời giải: Ta có: 2.22 .23 210 21 2 3 10 255 52 .54 .56 514 52 4 6 14 556 Do đó: A 255 . 556 255 .555 .5 1055 .5 Vậy A có tận cùng bằng 55 chữ số 0 . Bài 7: Tìm số tự nhiên có 5 chữ số biết rằng số gồm năm chữ số đó viết theo thứ tự ngược lại bằng bốn lần số phải tìm. Lời giải: Gọi số phải tìm là abcde a,b,c,d ,e ¥ ;1 a,e 9;0 b,c,d 9 Theo đầu bài ta có: 4.abcde edcba (*) Vì 4.abcde bằng một số có năm chữ số nên a 2 , a lại chẵ nên a 2 . Tích 4e là một số tận cùng bằng 2 , do đó e 3 hoặc e 8 . Vì e là chữ số đầu của số tận cùng bằng b nên b phải là số lẻ, do đó b 1. Xét tích 4d . Đó là một số cộng với 3 được một số tận cùng bằng 1 nên 4.d tận cùng bằng 8 . Vậy d 2 hoặc d 7 . Bằng cách thử trực tiếp, ta được d 7 , do đó c 9 . Vậy số phải tìm là 21978 . Bài 8: Hãy thay vào a, b, c, d các chữ số thích hợp, biết rằng: a) abc.5 dad ; b) abc ba dcca ; c) acc cca aa Lời giải: a) Tích abc.5 là một số có ba chữ số, nên a 1.c.5 là một số tận cùng bằng 0 hoặc 5 (tức là d 0 hoặc d 5) nhưng d 0 nên d 5, suy ra dad 515. Vậy: abc 515:5 103 . Ta có phép tính 103.5 515. b) Ta viết lại phép tính như sau:
11. 10x 4 .4 400000 x 40x 16 400000 x 39x 399984 x 10256 Vậy số cần tìm là 10256. Bài 2: Cho A 2017 20172 20173 201718 . Chứng tỏ rằng A2018 . Tìm chữ số tận cùng của A. (Đề HSG Trực Ninh năm 2017 - 2018) Lời giải: Ta có A 2017 20172 20173 201718 (tổng A có 2018 số hạng, 20182 ) A 2017 20172 20173 20174 20172017 20172018 2017. 1 2017 20173. 1 2017 20172017 1 2017 2018. 2017 20173 20172017 2018 2017 20172 20173 20174 20175 20176 20172015 20172016 20172017 20172018 6 20173. 0 20172015. 0 6 Vậy chữ số tận cùng của A là 6 . 14 9 4 Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của số P 1414 99 23 (Đề HSG Lý Nhân năm 2018 - 2019). Lời giải: 14 Chữ số tận cùng của 1414 là 6 . 9 Chữ số tận cùng của 99 là 9 . 4 Chữ số tận cùng của 23 là 2 . Chữ số tận cùng của P là chữ số tận cùng của tổng 6 9 2 là 7 . Bài 4: Cho M 2 22 23 220 (Đề HSG Bắc Ninh năm 2016 - 2017) a) Chứng tỏ rằng M 5. b) Tìm chữ số tận cùng của M. Lời giải: a) Ta có: M 2 22 23 220 2 22 23 24 217 218 219 220
12. Do đó: A 102012 102011 102010 102009 8 có chữ số tận cùng là 8 . Vậy A không phải là số chính phương. Bài 8: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: (Đề HSG Tân Uyên 2018 - 2019) a) 572011 b) 931999 Lời giải: 502 a) Xét 72011 , ta có: 72011 74 .73 2401502 .343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3 Vậy số 572011 có chữ số tận cùng là 3 499 b) Xét 31999 ta có: 31999 34 .33 81499 .27 Suy ra chữ số tận cùng bằng 7 Vậy số 931999 có chữ số tận cùng là 7 Bài 9: (Đề HSG Yên Lạc 2018 - 2019) a) Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 4931 ;322000 b) Chứng tỏ rằng: 102011 8 chia hết cho 72 Lời giải: a) Do 49 có chữ số tận cùng là 9 , khi đó nâng lên lũy bậc lẻ có chữ số tận cùng là 9 Vậy 4931 có chữ số tận cùng là 9 Ta có 322000 324.500 có chữ số tận cùng là 0 nên khi nâng lên lũy thừa 4n có tận cùng là chữ số 6 . Vậy 322000 có chữ số tận cùng là 6 b) Vì 102011 8 có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng chia hết cho 9 Lại có 102011 8 có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8 Vậy 102011 8 chia hết cho 72 . Bài 10: Cho A 5 52 596 . Tìm chữ số tận cùng của A. (Đề HSG 2017 - 2018) Lời giải: Ta có: A 5 52 596 5A 52 53 596 597 Do đó: 5A A 597 5 597 5 Suy ra: A 4 Ta có: 597 có chữ số tận cùng là 5 Suy ra 597 5 có chữ số tận cùng là 0
13. Vậy A có chữ số tận cùng là 0 Bài 15: Tìm hai chữ số tận cùng của 2100 . (Đề HSG năm 2016 - 2017) Lời giải: Ta có: 210 1024 10 5 2100 210 102410 10242 Mà 10242 có hai chữ số tận cùng là 76 0 Suy ra: 10242 có hai chữ số tận cùng là 76 100 Vậy 2 có hai chữ số tận cùng là 76 .