Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 3: Phép chia hết và phép chia có dư - Chủ đề 1: Phương pháp phân tích thành thừa số để chứng minh các bài toán chia hết (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 3: Phép chia hết và phép chia có dư - Chủ đề 1: Phương pháp phân tích thành thừa số để chứng minh các bài toán chia hết (Có lời giải chi tiết)

1. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Chủ đề 1: Phương pháp phân tích thành thừa số để chứng minh các bài toán chia hết PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.PHÉP CHIA HẾT Với a, b là các số tự nhiên và b khác 0. Ta nói a chia hết cho b nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho a = b. q . 2.TÍNH CHẤT CHUNG 1) ab và bc thì ac . 2) aa với mọi a khác 0. 3) 0b với mọi b khác 0. 4) Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1. 3.TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, HIỆU - Nếu a, b cùng chia hết cho m thì a + b chia hết cho m và a - b chia hết cho m. - Tổng của 2 số chia hết cho m và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m. - Nếu 1 trong 2 số a, b chia hết cho m số kia không chia hết cho m thì tổng, hiệu của chúng không chia hết cho m. 4.TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TÍCH - Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n . - Nếu a chia hết cho b thì: a n bn . *) Chú ý: an - bn  a b , n 2 . an - bn (a b),n chẵn. 5.DẤU HIỆU CHIA HẾT a) Dấu hiệu chia hết cho 2: một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn. b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9): một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ của số số đó chia hết cho 3 (hoặc 9). *) Chú ý: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại. c) Dấu hiệu chia hết cho 5: một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc 5.
2. Mà 1719 1 (1719 1718 ) (1718 1717 ) (1717 1716 ) (17 1) 1718. 17 1 1717. 17 1 1716. 17 1 17 1 18.1718 18.1717 18.1716 18 18.(1718 1717 1716 1)18 1 Mà 1917 1 1917 1916 1916 1915 1915 1914 19 1 1916. 19 1 1915. 19 1 1914. 19 1 19 1 1916.18 1915.18 1914.18 18 18.(1916 1915 1914 1)18 2 Từ 1 và 2 B 1719 1917 18 (đpcm). c) Ta có C 3663 1 3663 3662 3662 3661 3661 3660 (36 1) C 3662. 36 1 3661. 36 1 3660. 36 1 (36 1) C 3662.35 3661.35 3660.35 35 C 35. 3662 3661 3660 1 7 (đpcm). Bài 4: Chứng minh rằng: a) A 165 215 33 b) B 88 220 17 . Lời giải a) Ta có A 165 215 (24 )5 215 220 215 215.(25 1) 215.3333 b) Ta có B 88 220 (23 )8 220 224 220 220.(24 1) 220.1717 Bài 5: Cho A 20 21 22 23 299. Chứng minh A chia hết cho 31. Lời giải Nhận xét: Để chứng minh một tổng lũy thừa chia hết cho một số k ta cần thực hiện nhóm số hạng để biến đổi tổng đó về dạng tích của số k với một biểu thức nào đó A 20 21 22 23 299 20 21 22 23 24 25. 20 21 22 23 24 295. 20 21 22 23 24 20 21 22 23 24 . 1 25 210 295 31. 1 25 210 295 31 Bài 6: Cho A 1 2 22 23 299 hoặc A 2100 1. Chứng minh rằng A chia hết cho 3; 15; 31.
3. 2.(1 2) 23.(1 2) 259.(1 2) 2.3 23.3 259.3 3.(2 23 259 )3 2 3 60 D 2 2 2 2 (2 22 23 ) (24 25 26 ) (258 259 260 ) 2.(1 2 22 ) 24.(1 2 22 ) 258.(1 2 22 ) 2.7 24.7 258.7 7.(2 24 258 )7 D 2 22 23 260 (2 22 23 24 ) (25 26 27 28 ) (257 258 259 260 ) 2.(1 2 22 23 ) 25.(1 2 22 23 ) 257.(1 2 22 23 ) 2.15 25.15 257.15 15.(2 25 257 )15 Bài 11: Cho E 1 3 32 33 31991 . Chứng minh rằng E chia hết cho 13 và 41. Lời giải Ta có: E 1 3 32 33 31991 (1 3 32 ) (33 34 35 ) (31989 31990 31991) E 13 33.(3 3 32 ) 31989.(1 3 32 ) 13 13.33 31989.13 13.(1 33 31989 )13 E 1 3 32 33 31991 E (1 32 34 36 ) (3 33 35 37 ) (31984 31986 31988 31990 ) (31985 31987 31989 319 91) E (1 32 34 36 ) 3.(1 32 34 36 ) 31984.(1 32 34 36 ) 31985 (1 32 34 36 ) E (1 32 34 36 ).(1 3 31984 31985 ) 820.(1 3 31984 31985 ) 41.20.(1 3 31984 31985 )41 Bài 12: a) Chứng minh rằng: 21 22 23 2100 3. b) Chứng minh rằng: 7 72 73 72000 8. c) Chứng minh rằng: S 31 32 33 31997 31998 26 d) Chứng minh rằng: B 3 32 33 3100 (có 100 số hạng) chia hết cho 120. Lời giải a) Ta có 21 22 23 2100 (21 22 ) (299 2100 ) 21(1 2) 299 (1 2) 3(21 23 2999 )3 b) Ta có: 7 72 73 74 72000 (7 72 ) (73 74 ) (71999 72000 ) 7(1 7) 73 (1 7) 71999 (1 7) 8(7 73 71999 )8 c) Ta có 26 13.2, ta đi chứng minh S chia hết cho 13 và 2 Ta có S có 1998 số hạng, chia ra làm 666 nhóm
4. n . n 1 . n + 1 . n2 1 n 1 .n . n + 1 . n2 1 6 vì n 1 .n . n + 1 là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3. * Mặt khác A = n5 n = n . n4 1 n . n2 1 . n2 1 n . n2 1 . n2 4 5 = n . n2 1 . n2 4 5.n . n2 1 n 2 . n 1 .n. n 1 . n 2 5.n . n2 1 Mà n 2 n 1 .n . n + 1 . n 2 là là tích của năm số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5 và 5.n . n2 1 chia hết cho 5. A = n5 n5 Từ (*) và ( ), ta có A chia hết cho 30. b) Ta có A n4 10.n2 9 n4 n2 9.n2 9 n2. n2 1 9. n2 1 n2 1 . n2 9 n 1 . n + 1 . n 3 . n + 3 n 3 . n 1 . n + 1 . n + 3 Vì n lẻ nên đặt n 2.k 1 k Z nên A 2.k 2 .2.k. 2.k + 2 . 2.k + 4 16. k 1 .k. k + 1 . k + 2 16 1 Và k 1 .k. k + 1 . k + 2 là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24. 2 Từ 1 và 2 A 16.24 hay A384. n 2 n 2 n n n 2 n 2 n n c) Ta có C 3 2 3 2 3 .(3 1) 2 .(2 1) 1 0.3 5 .2 10 10 n n n-1 n-1 n-2 d) Ta có D 24.n 1 16 1 16 16 16 16 (16 1) n-1 D 16 . 16 1 16n 2. 16 1 (16 1)
5. Dạng 3: Chứng minh biểu thức đại số chia hết cho một số. I.Phương pháp giải: - Chứng minh biểu thức có chữ số tận cùng chia hết cho số đó - Vận dụng tính chất chia hết của một tổng II.Bài toán Bài 18: Chứng minh rằng n ¥ thì tích (n 3).(n 6) chia hết cho 2. Lời giải Ta xét các trường hợp: Nếu n là số lẻ thì n 3 là số chẵn; n 6 là số lẻ. Mà số chẵn nhân với số lẻ có tận cùng là số chẵn. ( n 3)( n 6)2. Mếu n là số chẵn thì n 3 là số lẻ; n 6 là số chẵn. Mà tích của một số lẻ với một số chẵn có tận cùng là chữ số chẵn (n 3).(n 6)2. Vậy với mọi n thuộc N thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2 (đpcm). Bài 19: Chứng minh rằng (1005.a 2100.b) chia hết cho 15 với mọi a, b thuộc ¥ . Lời giải Vì 10053 nên 1005. a3 với  a ¥ . Vì 21003nên 2100.b3 với b ¥ . (1005.a 2001.b)3, a,b ¥ . Vì 10055 nên 1005.a5 với a ¥ . Vì 21005nên 2100.b5 với b ¥ . (1005.a 2001.b)5, a,b ¥ . Mà (3;5) 1 (1005.a 2001.b)15với a,b ¥ . Dạng 4: Chứng minh các bài toán chia hết theo tính chất hai chiều. I.Phương pháp giải: - Vận dụng tính chất chia hết của một tổng II.Bài toán Bài 20: Chứng minh rằng a) abcd chia hết cho 29 a 3.b 9.c 27.d29 b) abc chia hết cho 21 a 2.b 4.c21 c) m 4.n chia hết cho 13 10.m n13, m, n ¥ . Lời giải
6. b) abcdeg 1000.abc deg 1001.abc abc deg 1001.abc (abc deg)   7 7 abcdeg7 Dạng 5: Chứng minh các bài toán có vận dụng tính chất chia hết để tìm số dư. I.Phương pháp giải: - Vận dụng tính chất chia hết của một tổng II.Bài toán Bài 22: a) Chứng minh rằng: Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 còn tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4. b) Chứng minh rằng: Tổng của 5 số chẵn liên tiếp chia hết cho 10, tổng của 5 số lẻ liên tiếp chia 10 dư 5. Lời giải a) Ta có tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là: n n 1 n 2 3.n 3 3 với mọi n là số tự nhiên và tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là n n 1 n 2 n 3 4.n 6 4 với mọi n là số tự nhiên. b) Tổng của 5 số tự nhiên chẵn liên tiếp là 2.k 2.k 2 2.k 4 2.k 6 2.k 8 10.k 20 10 với mọi k Tổng của 5 số tự nhiên lẻ liên tiếp là 2.k 1 2.k 3 2.k 5 2.k 7 2.k 9 10.k 25 chia cho 10 dư 5 (đpcm). Bài 23: a) Chứng minh rằng: Với mọi n thuộc N thì 60.n 45 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 30. b) Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư 6 và chia 9 dư 1. c) Chứng minh rằng: A n2 n 1 không chia hết cho 2 và 5, n ¥ . Lời giải a) Ta có: 6015 60.n15 60.n 4515(theo tính chất chia hết của một tổng) 6030 60.n30 ; 45 không chia hết cho 30 60.n 45 không chia hết cho 30 (theo tính chất chia hết của một tổng) b) Giả sử có số a ¥ thỏa mãn cả hai điều kiện trên thì a 15.q1 63 a 9.q2 1 không chia hết cho 3 Đó là điều mâu thuẫn.
7. Lời giải Giả sử n có k chữ số Theo bài ra ta có: 2015.n113 k k Có: 2015.n 2015. 1 0 n (17.13 94).10 n k chu so 0 2015.n13 94.10 k n113(1) +) k 1 (1) 94.10 n113 8.113 36 n113 36 n113 0 n 9 36 n/113 loai +) k 2 (1) 94.102 n113 8.113 21 n113 21 n113 Mà 10 n 99 21 n 113 n 92 Vậy n 92 là giá trị cần tìm. Bài 28: Chứng minh rằng: Nếu abc37 thì bca;cab đều chia hết cho 37. Lời giải Ta có: A abc (a.102 b.10 c)37 10A (a.103 b.102 10.c)37 10A 1000.a 102.b 10.c 2 10.A 10.b 10.c a 999.a bca 9 99.a bca 37.27.a 10.A37 bc a37 Tương tự 10. bc a37;999. b37 c ab37 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3. Lời giải Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a;a 1;a 2(a N) Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là : a a 1 a 2 3.a 3 3 (đpcm) Bài 2: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 không? Lời giải Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là: a;a 1;a 2;a 3 a ¥ Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là: a a 1 a 2 a 3 4.a 6 Do 4 chia hết cho 4 nên 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên (4.a 6) không chia hết cho 4.
8. n 1 3.k 2 1 (3.k 3)3 . n.(n 1).(n 2)3 . Tóm lại: n.(n 1).(n 2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên. b. Chứng minh tương tự ta có n.(n 1).(n 2). n 3 4 chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên. Kết luận: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n. Bài 6: Chứng minh rằng: a) ab ba chia hết cho 11 b) ab ba chia hết cho 9 với a b. Hướng dẫn giải a) Ta có: ab ba (10.a b) (10.b a) 11.a 11.b chia hết cho 11. b) Ta có: ab ba (10.a b) (10.b a) 9.a 9.b chia hết cho 9. Bài 7: Chứng minh nếu ab cd11 thì abcd11. Hướng dẫn giải Ta có: abcd 100.ab cd 99.ab (ab cd)11 Bài 8: Biết abc27 chứng minh bca27. Hướng dẫn giải Ta có: abc27 abc027 1000.a bc027 999.a a bc027 27.37a bca27 Vì 27.37a27 nên bca27 Bài 9: Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba số trên. Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết cho 211. Hướng dẫn giải Tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba chữ 0, a, b là: a0b ; ab0 ; ba0 ; b0a . Tổng của các số đó là: a0b ab0 ba0 b0a 100.a b 100.a 10.b 100.b 10.a 100.b a
9. Bài toán luôn đúng với n 0 và n 1 Xét n 2 Đặt A n5 n n. n2 1 . n2 1 n. n2 1 . n 1 . n 1 Ta có A10 (vì n5 và n có chữ số tận cùng giống nhau) A3 (vì trong A có tích của 3 số tự nhiên liên tiếp n 1 .n. n 1 ) A3; A10 Mà UCLN 3;10 1 A3.10 30 Vậy A30 Bài 14: Cho 1 số có 3 chữ số có dạng abc . Chứng minh rằng: abc bca cab  a b c . Hướng dẫn giải Ta có: abc + abc bca cab 100.a 100.b 100.c 10.a 10.b 10.c a b c 111.a 111.b 111.c 111. a b c abc bca cab  a b c Bài 15: Chứng minh rằng abcdeg chia hết cho 23 và 29, biết rằng abc 2.deg. Hướng dẫn giải Ta có: abcdeg 1000.abc deg mà abc 2.deg abcdeg 2001.deg 23.29.3.deg abcdeg chia hết cho 23 và 29 Bài 16: Chứng minh rằng ab cd eg chia hết cho 11 thì abcdeg chia hết cho 11. Hướng dẫn giải Ta có: abcdeg 10000.ab 100.cd eg 9999.ab 99.cd ab cd eg Mà ab cd eg 111 và 9999.ab11 và 99.cd11 abcdeg chia hết cho 11