Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 3: Phép chia hết và phép chia có dư - Chủ đề 2: Dùng các dấu hiệu để chứng minh bài toán chia hết (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 3: Phép chia hết và phép chia có dư - Chủ đề 2: Dùng các dấu hiệu để chứng minh bài toán chia hết (Có lời giải chi tiết)

1. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Chủ đề 2: Dùng các dấu hiệu để chứng minh bài toán chia hết PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Phép chia hết Với a, b là số TN và b khác 0. Ta nói a chia hết b nếu tồn tại số TN q sao cho a b.q 2. Tính chất chung 1) a ⋮ b và b ⋮ c thì a ⋮ c 2) a ⋮ a với mọi a khác 0 3) 0 ⋮ b với mọi b khác 0 4) Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1 3. Tính chất chia hết của tổng, hiệu - Nếu a, b cùng chia hết cho m thì a + b chia hết cho m và a - b chia hết cho m. - Tổng của 2 số chia hết cho m và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m. - Nếu 1 trong 2 số a, b chia hết cho m số kia không chia hết cho m thì tổng, hiệu của chúng không chia hết cho m. 4. Tính chất chia hết của 1 tích - Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m. - Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n. - Nếu a chia hết cho b thì: an ⋮ bn *) Chú ý: an bn M(a b)n 2 an bn M(a b)n chẵn 5. Dấu hiệu chia hết a) Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn. b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9) - Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ của số số đó chia hết cho 3 (hoặc 9). - Chú ý: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại. c) Dấu hiệu chia hết cho 5 - Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc 5. d) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25) - Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 (hoặc 25). e) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125) - Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8 (hoặc 125). f) Dấu hiệu chia hết cho 11
2. b) Ta có 423x7yM45 M5,9 y 0;5 x 2;6 c) Ta có 1x8y2M36 M4,9 y2M4 y 1;3;5;7;9 x 6;4;2;0;9;7 có 6 cặp số x; y thỏa mãn bài toán d) Ta có 21xyM60 hay 2100 xyM60 xy 00; xy 60 Bài 2: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp trong đó có một số chia hết cho 9, biết rằng tổng của hai số đó thỏa mãn các điều kiện sau a) Là số có ba chữ số b) Là số chia hết cho 5 c) Tổng của chư x số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là số chia hết cho 9 d) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng chữ số hàng chục là số chia hết cho 4 Lời giải: Tổng của hai số tự nhiên chia hết cho 5 nên tận cùng là 5 Mà tổng của chữ số hàng trăm và hàng đơn vị bằng 9 nên chữ số hàng trăm phải bằng 4 Vậy tổng hai số tự nhiên có dạng: 4a5 Mà a 4M4 a 0;4;8 Tổng của hai số đó là: 405 202 203;445 222 333;485 242 243 Bài 3: Tìm các chữ số a, b sao cho a56b M 45 Lời giải: Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1 để a56b M 45 a56bM5; 9 Xét a56b M 5 b 0; 5 Nếu b 0 ta có số a56b M9 a 5 6 0 M9 a 11 M9 a 7 Nếu b 5 ta có số a56b M9 a 5 6 5 M9 a 16 M9 a 2 Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560
3. Vậy: x = 1 và y = 6 ta có số 34156 x = 4 và y = 2 ta có số 34452 b) 2x78 = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)M17 x = 2 Bài 7: Cho số N = dcba CMR a. N M 4 a 2b M 4 b. N M16 a 2b 4c 8d M16 với b chẵn c. N M 29 a 3b 9c 27 d M 29 Lời giải: a. Ta có: N M 4 ba M 4 10b a M 4 8b 2b a M4 2b M4 b. N M16 1000d 100c 10b a M16 992d 96c 8b 8d 4c 2b a M16 a 2b 4c 8d M16 với b chẵn c.Ta có: 100 d 3c 9b 27 a dbca M 29 1000; 29 1; dbca M 29 d 3c 9b 27 a M 29 Bài 8: Tìm tất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các chữ số của số đó. Lời giải: Gọi ab là số có 2 chữ số Theo bài ra ta có: ab 10a b 2ab(1) abM 2 b 0; 2; 4; 6;8 Thay vào (1) a 3; b 6 Bài 9: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta được số A 192021 7980 . Hỏi số A có chia hết cho 1980 không ? Vì sao? Lời giải: Có 1980 2 2.32.5.11 Vì 2 chữ số tận cùng của a là 80M4 và 5 A M 4; 5
4. b) B 391001 211000 M10 Lời giải: Ta có A (210 1)11 102511 M25 Bài 4: Giả sử S(a) là tổng các chữ số của số tự nhiên a. Chứng minh rằng a) a S(a)M9 b) Nếu S a S 2a thì a chia hết cho 9, điều ngược lại có đúng không? Lời giải: n a) Đặt a anan 1 a1a0 an.10 a1.10 a0 S(a) an an 1 an 2 a1 a0 a S(a) a .(10n 1) a .(10n 1 1) 9a n  n 1  1 M(10 1) M(10 1) M9 a S(a)M9 b. S(a) S(2a) a 2a S(2a) a S(a)   M9 M9 aM9 Ví dụ: a 18 S(a) 9 a S(a) 9M9;2a 36 S(2a) 9 Bài 5: Số tự nhiên a có 26 chữ số, người ta đổi chỗ các chữ số của A để được 1 số B lớn gấp 3 lần số A. Chứng minh rằng BM27 Lời giải: B 3A BM3 S(A)M3 S(A)M3 AM3 B 3A Mà  BM9 S(B)M9 S(A)M9 AM9 AM3  B 3A Và  BM27 đpcm. AM9  Bài 6: Viết các số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 99 ta được số A. Số A có chia hết cho 99 không? Lời giải: Ta có 90 số thảo mãn bài toán: 10,11, ;99 Tổng các chữ số hàng đơn vị là: (0 1 2 9).9 45.9 405 Tổng các chữ số hàng chục là: (1 2 9).10 45.10 450 Tổng các chữ số của A là: 405 450 855M 9 AM 9 Bài 7: Chứng minh với mọi n là STN lẻ thì số A n2 4n 5M/ 8
5. 201cdM67 b, Ta có : abcM27 abc0M27 1000a bc0M27 999a a bc0M27 27.37a bcaM27 Nên bcaM27 Bài 4: Chứng minh rằng: a, Nếu (ab cd eg)M11 thì abcdegM11 b, Nếu abc degM37 thì abc degM37 c, Nếu abcdM99 thì ab cdM99 Lời giải: a, Ta có : abcdeg 10000.ab 100cd eg 9999ab 99cd (ab cd eg)M11 b, Ta có : abcdeg 1000abc deg 999abc (abc deg)M37 c, Ta có : abcd 100.ab cd 99.ab ab cd M99 ab cdM9 Câu 5: Chứng minh rằng: với n ¢ . 2 A n3 n2 7 36n M7 Lời giải 2 Ta có: A n3 n2 7 36n 2 2 n n n 7 6 n n 7 6 n n3 7n 6 n3 7n 6 n n3 n 6n 6 n3 n 6n 6 2 2 n n 1 6 n 1 n n 1 6 n 1 n n 1 n2 n 6 n 1 n2 n 6 n n 1 n 2 n 3 n 1 n 2 n 3 Do đó A là tích của 7 số nguyên liên tiếp AM7 n ¢
6. 2 2 a b a 2ab b 3ab a b a b 2 3ab Vì a b chia hết cho 3 nên a b 2 3ab chia hết cho 3 Do vậy a b a b 2 3ab chia hết cho 9 Câu 9: Chứng minh n3 17n chia hết cho 6 với mọi n ¢ Lời giải n3 17n n3 n 18n n n 1 n 1 18n Vì n n 1 n 1 là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, 2,3 1 nên chia hết cho 6 18nM6 , suy ra điều phải chứng minh Câu 10: Chứng minh rằng: A 1 3 32 33 311 chia hết cho 40. Lời giải A 1 3 32 33 311 1 3 32 33 34 35 36 37 38 39 310 311 1 3 32 33 34. 1 3 32 33 38 1 3 32 33 40 34. 40 38. 40 40. 1 34 38 40 Vậy AM 40 Câu 11: a) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9 b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì A 5n 2 26.5n 82n 1 M59 Lời giải a) Ta phải chứng minh A n3 n 1 3 n 2 3 M9 với n ¢ A n3 n3 3n2 3n 1 n3 6n2 12n 8 3n3 9n2 15n 9 3n3 3n 9n2 18n 9 3n n 1 n 1 9 n2 2n 1 Nhận thấy n n 1 n 1 M3 3n n 1 n 1 M9và 9 n2 2n 1 M9 Vậy AM9 b) 5n 2 26.5n 82n 1 25.5n 26.5n 8.82n
7. 3 3 3 Câu 15: Cho các số nguyên a1,a2 ,a3 an . Đặt S a1 a2 an và P a1 a2 an . Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6. Lời giải HD: Xét hiệu: S P Chứng minh: a3 a a 1 a a 1 M6 với mọi số nguyên a . Sau đó sử dụng tính chât chia hết của một tổng suy ra đpcm. Câu 16: Chứng minh rằng: 2130 3921 chia hết cho 45 Lời giải Chứng minh rằng: 2130 3921 chia hết cho 45. HD: Đặt M 2130 3921 Nhận xét 45 = 5.9 mà 5 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau (1) Vậy để c/m M M45 ta cần c/m M M5 và M M9 Thật vậy, M 2130 3921 2130 130 3921 1 M5 (2) (Vì 2130 130 M 21 1 M5 và 3921 1 M 39 1 M5) Mặt khác, 21M3 2130 M9 và 39M3 3921 M9 . Do đó, M M9 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm. * Chú ý: an bn M a b Câu 17: Chứng minh rằng: B n3 6n2 19n 24 chia hết cho 6 Lời giải Chứng minh rằng: B n3 6n2 19n 24 chia hết cho 6 Ta có: B n3 6n2 19n 24 n3 n 6n2 18n 24 n n2 1 6 n2 3n 4 n 1 n n 1 6 n2 3n 4 Vì n 1 n n 1 M6 và 6 n2 3n 4 M6 nên B n3 6n2 19n 24 chia hết cho 6 (đpcm) Câu 18: Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: A 20n 16n 3n 1 chia hết cho 6 chia hết cho 323 chia hết cho 6 Lời giải n n n Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: A 20 16 3 1 chia hết cho 323 Ta có: 323 17.19 và 17;19 1. Ta cần c/m: AM17;19
8. Câu 21: Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết cho 5 không ? Lời giải Vì số thứ nhất chia cho 5 dư 1 nên có dạng 5a 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2 nên có dạng 5b 2 ( a,b ¢ ) Ta có tổng bình phương hai số đó là: 5a 1 2 5b 1 2 25a2 10a 1 25b2 10b 4 5 5a2 5b2 2a 2b 1 M5 Vậy tổng bình phương của hai số chia hết cho 5 Câu 22: Chứng minh rằng 20092008 20112010 chia hết cho 2010 Lời giải Ta có: 20092008 20112010 20092008 1 20112010 1 Vì 20092008 1 2009 1 20092007 M2010 (1) 20112010 1 2011 1 20112009 M2010 (2) Từ (1) và (2) ta có dpcm. Câu 23: Chứng minh rằng: A 1 3 32 33 311 chia hết cho 40 Lời giải A 1 3 32 33 311 1 3 32 33 34 35 36 37 38 39 310 311 1 3 32 33 34. 1 3 32 33 38. 1 3 32 33 40 34.40 38.40 40. 1 34 38 M40 Vậy AM40 Câu 24: Chứng minh rằng 1110 1chia hết cho 100 Lời giải 1110 1 11 1 119 118 11 1 10. 119 118 11 1 Vì 10M10 Và 119 118 11 1 có chữ số tận cùng bằng 0 Nên 119 118 11 1 chia hết cho 10 Vậy 1110 1chia hết cho 100.
9. 2n 1 5 n 2 2n 1 1 n 0 2n 1 1 n 1 2n 1 5 n 3 Vậy n 2;0;1;3 thì 2n3 n2 7n 1M2n 1 Câu 28: Cho số tự nhiên n 3. Chứng minh rằng nếu 2n 10a b a,b ¥ ,0 b 10 thì tích ab chia hết cho 6 Lời giải Ta có: 2n 10a b bM2 abM2 (1) Ta chứng minh abM3 (2) Thật vậy , từ đẳng thức 2n 10a b 2n có chữ số tận cùng là b Đặt n 4k r k,r ¥ ,0 r 3 ta có: 2n 16k.2r Nếu r 0 thì 2n 2r 2r. 16k 1 M10 2n tận cùng là 2r Suy ra b 2r 10a 2n 2r 2r. 16k 1 M3 aM3 abM3 Từ 1 và 2 suy ra abM6 Câu 30: Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng 16n 15n 1chia hết cho 225. Lời giải Với n = 1 ta có: 16 15 1 0M225 Giả sử bài toán đúng với n = k tức là ta có: 16k 15k 1M225 Ta chứng minh bài toán đúng với n k 1 Thật vậy: 16k 1 15 k 1 16.16k 15k 15 1 16 15 1 15k 15 1 16k 15k 1 15 15k 1 16k 15k 1 15A k M225 Vậy 16n 15n 1chia hết cho 225 với mọi n là số nguyên dương. Câu 31: Chứng minh rằng 22008 22009 22010 chia hết cho 7 Lời giải 22008 22009 22010 22008. 1 2 4 7.22008 M7  HẾT 