Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 4: Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất - Chủ đề 1: Các tính chất cơ bản và bài toán ƯCLN và BCNN (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 4: Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất - Chủ đề 1: Các tính chất cơ bản và bài toán ƯCLN và BCNN (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6. CHUYÊN ĐỀ - ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CHỦ ĐỀ 1: CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ BÀI TOÁN ƯCLN VÀ BCNN PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. ĐỊNH NGHĨA VỀ ƯỚC VÀ BỘI Ước: Số tự nhiên d 0 được gọi là ước của số tự nhiên a khi và chỉ khi a chia hết cho d . Ta nói d là ước của a. Nhận xét: Tập hợp các ước của a là Ư a d ¥ : d | a Bội: Số tự nhiên m được gọi là bội của a 0 khi và chỉ khi m chia hết cho a hay a là một ước số m. Nhận xét: Tập hợp các bội của a a 0 là B a 0;a;2a; ;ka, k Z 2) Tính chất: - Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào. - Các số 1 và 1 là ước của mọi số nguyên. - Nếu Ư a 1;a thì a là số nguyên tố. - Số lượng các ước của một số : Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là a x .b y .cz thì số lượng các ước của A bằng x 1 y 1 z 1 Thật vậy ước của A là số có dạng mnp trong đó: m có x 1 cách chọn (là1, a, a2 , ,a x ) n có y 1 cách chọn (là1, b, b2 , ,b y ) p có z 1 cách chọn (là1, c, c2 , ,cz ), Do đó, số lượng các ước của A bằng x 1 y 1 z 1 II. Ước chung và bội chung 1) Định nghĩa Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư a và Ư b có những phần tử chung thì những phần tử đó gọi là ước số chung của a và b. Kí hiệu: ƯC a;b .
2. ● ka, kb k a,b; ● a;b. a;b a.b PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Các tính chất và bài toán cơ bản về ƯCLN và BCNN I. Phương pháp giải Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là a x .b y .cz thì số lượng các ước của A bằng x 1 y 1 z 1 Thật vậy ước của A là số có dạng mnp trong đó: m có x 1 cách chọn (là1, a, a2 , ,a x ) n có y 1 cách chọn (là1, b, b2 , ,b y ) p có z 1 cách chọn (là1, c, c2 , ,cz ), Do đó, số lượng các ước của A bằng x 1 y 1 z 1 II. Bài toán Bài 1: Tìm số ước của số 1896 . Lời giải: 96 Ta có : 1896 32.2 3192.296. Vậy số ước của số 1896 là 96 1 192 1 97.193 18721. Bài 2: Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 0 là số chính phương khi và chỉ khi số ước số của nó là số lẻ. Lời giải: Giả sử n pa1 .pa2 pak với p nguyên tố và a N*. 1 2 k i i n là số chính phương khi và chỉ khi a ,a , ,a là các số chẵn khi đó a 1 a 1 a 1 là số lẻ. 1 2 k 1 2 k Mặt khác a 1 a 1 a 1 là số các số ước của n, do đó bài toán được chứng minh. 1 2 k Bài 3: Một số tự nhiên n là tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng n không thể có đúng 17 ước số. Lời giải
3. abcba - 100a 10b(10b a) 99a10b a 99a10ak a 9910k 1 10k 1 11 c 0;b ak k 1 a b;c 0 Vì abcac abcbc đpcm b) abc aa0 110a11 đpcm Bài 4: Biết rằng a,b.(a,b) ab a. a,b 600;(a,b) nhỏ hơn 10 lần (a, b). Số thứ nhất là 120, tìm số thứ hai b. (a, b) = 12, [a, b] lớn gấp 6 lần (a, b). Số thứ nhất là 24, tìm số thứ hai c. Tổng cuả hai số bằng 60, tổng giữa UCLN và BCNN của chúng là 84. Tìm hai số đó Lời giải a. Ta có: (a,b) 600:10 60;(a,b).a,b ab 60.60 120.b b 300 b. Số thứ hai là 36 c. Gọi hai số phải tìm là: a và b (m,n) 1 ab d 2.m.n a dm;b dn (a,b) d, đặt * ; a,b dmn m,n N (a,b) d Có: d dmn 4 d(mn 1) 4(1) Vì tổng của hai bằng 60 nên d(m n) 60(2) Từ (1)(2) 1,2,3,4,6,12 d d 12(thoa.man) m 2;n 3  a 24;b 36 Hoặc m 3;n 2 a 36;b 24 Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết I. Phương pháp giải Tách số bị chia thành phần chứa ẩn số chia hết cho số chia và phần nguyên dư, sau đó để thỏa mãn chia hết thì số chia phải là ước của phần số nguyên dư, từ đó ta tìm được số nguyên n thỏa mãn điều kiện. II. Bài toán Bài 1: Tìm số tự nhiên n để 5n 14 chia hết cho n 2 . Lời giải: Ta có: 5n 14 5. n 2 4
4. 4n 5 7 Vì 2 là số nguyên nên để là số nguyên thì là số nguyên 2n 1 2n 1 Suy ra 2n – 1 Ư 7 –7;–1;1;7 2n –6;0;2;8 n –3;0;1;4 4n 5 Vậy với n –3;0;1;4 thì có giá trị là một số nguyên. 2n 1 Bài 5: Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau là số tự nhiên: 2n 2 5n 17 3n B n 2 n 2 n 2 Lời giải Ta có: 2n 2 5n 17 3n 2n 2 5n 17 3n 4n 19 4(n 2) 11 11 B 4 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 11 Để B là số tự nhiên thì là số tự nhiên n 2 11 n 2 n 2 Ư 11 11; 1;1;11 Do n 2 1 nên n 2 11 n 9 . Vậy n 9 thì B là số tự nhiên. k 1 2 Bài 6: Tìm k nguyên dương lớn nhất để ta có số n là một số nguyên dương. k 23 Lời giải 2 k 1 k 2 2k 1 k 23 k 21 484 484 Ta có: n k 1 ,k Z n là một số k 23 k 23 k 23 k 23 nguyên dương khi và chỉ khi k 23 | 484, k 23 23 k 23 121 k 98 Ta có 484 = 222 = 4.121= 44.21 k 23 44 k 21 Với k 98 , ta có n 81 Với k 21, ta có n 11 Vậy giá trị k lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là 98. Dạng 3: Tìm số tự nhiên khi biết điều kiện về tổng, tích, thương các số và dữ kiện về ƯCLN, BNCC. I. Phương pháp giải
5. Kết luận: Các số cần tìm là: 18;144 ; 36;126 ; 72;90 Bài 3: Tìm hai số nhỏ hơn 200, biết hiệu của chúng bằng 90 và ƯCLN là 15 Lời giải: Gọi hai số cần tìm là a;b a,b ¥ ;a,b 200 Ta có: a b 90; a,b 15 a 15m m, n 1 m, n 1 Đặt b 15n 15 m n 90 m n 6 15m 200 m 13 Lại có: a,b 200 15n 200 n 13 m n a b 13 7 195 105 11 5 65 75 7 1 85 15 Vậy: a,b 195;105 , 65;75 , 85;15 . Bài 4: Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 432 và ƯCLN bằng 6. Lời giải: Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a,b . Điều kiện: a,b ¥ . Ta có: ab 432; a,b 6 a b Đặt a 6m, b 6n với (m, n) = 1 và m ≤ n 36mn 432 mn 12 Ta được: m n a b 1 12 6 72 3 4 18 24 Vậy a, b 6;72 , 18, 24 . Bài 5: Tìm hai số a,b biết 7a 11b và ƯCLN a;b 45 . Lời giải Từ 7a 11b suy ra a b a 45a1 Từ ƯCLN a;b 45 a1;b1 1, a1 b1 b 45b1
6. đó vế phải của (1) chứa p với số mũ x y . Còn ở vế trái, [a, b] chứa p với số mũ x, (a, b) chứ p với số mũ y nên vế trái cũng chứa p với số mũ x y. Cách 2. Gọi d (a,b) thì a da ',b db (1) , trong đó (a ',b') 1. ab Đặt m 2 , ta cần chứng minh rằng a,b m . d Để chứng minh điều này, cần chứng tỏ tồn tại các số tự nhiên x, y sao cho m ax , m by và (x, y) = 1. b Thật vậy từ (1) và (2) suy ra m a. ab' , d a m b. ba'. Do đó, ta chọn x b' , y a' , thế thì x, y 1 vì a' ,b' 1. d ab Vậy a,b, tức là a,b. a,b ab. d Bài 7: Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯCLN của chúng bằng 10 , BCNN của chúng bằng 900. Lời giải Gọi các số phải tìm là a và b . Điều kiện: a,b ¥ . Giả sử a b . Ta có (a,b) 10 nên. a 10a' , b 10b' , (a' ,b' ) 1,a b'. Do đó ab 100a 'b' (1) . Mặt khác ab a,b.(a,b) 900.10 9000 (2). Từ (1) và (2) suy ra a 'b' 90. Ta có các trường hợp : a' 1 2 3 4 b' 90 45 18 10 Suy ra: a 10 20 50 90 b 900 450 180 100 Bài 5: Tìm hai số tự nhiên a,b sao cho tổng của ƯCLN và BCNN là 15. Lời giải Điều kiện: a,b ¥ . Giả sử a b . a d.a1 Gọi d = ƯCLN( a; b) a1 b1 , a1;b1 1 , và d < 15 b d.b1 Nên BCNN(a; b) = a1.b1.d Theo bài ra ta có: d a1.b1d 15 d 1 a1.b1 15 d U 15 1;3;5;15 , Mà d < 15, Nên a1 1 a 1 a1 2 a 2 TH1 : d 1 a1.b1 14 hoặc b1 14 b 14 b1 7 b 7
7. Biết BCNN a,b 72 m.n.d 72 2 d là ước chung của 42 và 72 d 1;2;3;6 Lần lượt thay các giá trị của d và (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có trường hợp d 6 thì m n 7 và mn 12 m 3;n 4 (thỏa mãn các điều kiện của m và n) Vậy d 6 và a 3.6 18;b 4.6 24 . Bài 11: Tìm hai số nguyên dương a,b biết ab 180 , BCNN a,b 60 . Lời giải Điều kiện: a,b ¢ Đặt ƯCLN a,b d a md;b nd với ƯCLN m,n 1 BCNN a,b m.n.d ab 180 Biết ab 180 m.n.d 2 180 d ¦CLN a,b 3 BCNN a,b 60 Từ đây bài toán đã biết ab 180 và ¦CLN a,b 3 a 3;b 60 hoặc a 12;b 15. a 4 Bài 12: Tìm a,b biết và BCNN a,b 140 . b 5 Lời giải Đặt ƯCLN a,b d . a 4 Vì , mặt khác ¦CLN 4,5 1 a 4d;b 5d b 5 Mà BCNN a,b 140 , nên ¦CLN a,b 7 a 4 Từ đây bài toán đã biết và ¦CLN a,b 7 b 5 a 28;b 35 . Bài 13: Tìm hai số tự nhiên a,b biết a b 7 và BCNN a,b 140 Lời giải Điều kiện: a,b ¥ .
8. Trường hợp 2: m 7;n 5 a 294;b 210 Vậy hai số cần tìm là a,b 462;42 ; 294;210 . Bài 16: Cho n ¥ , tìm số nguyên tố p có 2 chữ số sao cho p ƯC 2n 3;3n 15 Lời giải Vì số p ƯC 2n 3;3n 15 p cũng là ước của hiệu 2 3n 15 3 2n 3 39 Mà p là số nguyên tố có hai chữ số nên p 13 . Vậy số nguyên tố cần tìm là p 13 . Bài 17: Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 300 và ƯCLN bằng 5. Lời giải Gọi các số phải tìm là a và b . Điều kiện: a,b ¥ . Giả sử a b . Biết ƯCLN a,b 5 a 5.m;b 5.n m,n Z ; ƯCLN m,n 1 m n Mà ab 300 nên m.5.n.5 300 mn 12 Mà ƯCLN m,n 1 nên có các trường hợp của số m, n như sau Trường hợp 1: m 12;n 1 a 60;b 5 Trường hợp 2: m 4;n 3 a 20;b 15 Vậy hai số cần tìm là a,b 60;5 ; 20;15  . Bài 18: Tìm hai số tự nhiên a và b a b , biết: ƯCLN a,b 300;BCNN a,b 900 . Lời giải Điều kiện: a,b ¥ . Vì ƯCLN a,b 10 và a b a 10m;b 10n m,n Z ; ƯCLN m,n 1 m n BCNN a,b 10.m.n Mà BCNN a,b 900 nên mn 90. Khi đó có các trường hợp của số m, n như sau Trường hợp 1: m 5;n 18 a 50;b 180 (thỏa mãn) Trường hợp 2: m 9;n 10 a 90;b 100 (thỏa mãn)
9. BCNN a,b 5mn Mà BCNN a,b 300 5mn 300 mn 50 Vì ƯCLN m,n 1 nên ta có các trường hợp của số m, n như sau Trường hợp 1: m 60,n 1 a 300,b 5 Trường hợp 2: m 20,n 3 a 100,b 15 Trường hợp 3: m 12,n 5 a 60,b 25 Vậy hai số cần tìm là a,b 300;5 ; 100;15 ; 60;25 . Bài 22: Tìm hai số tự nhiên a và b , biết: BCNN a,b 180;¦CLN a,b 12 Lời giải Điều kiện: a,b ¥ . Giả sử a b. Biết ƯCLN a,b 12 a 12m;b 12n m,n ¢ ; ƯCLN m,n 1,m n BCNN a,b 12mn Mà BCNN a,b 180 mn 15 Vì ƯCLN m,n 1 nên ta có các trường hợp của số m,n như sau Trường hợp 1: m 15,n 1 a 180,b 12 Trường hợp 2: m 5,n 3 a 100,b 15 Trường hợp 3: m 12,n 5 a 60,b 25 Vậy hai số cần tìm là a,b 180;12 ; 100;15 ; 60;25  . Bài 23: Tìm hai số tự nhiên biết tổng ƯCLN và BCNN của chúng bằng 23 Lời giải Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a,b và giả sử a b Đặt ƯCLN a,b d a md;b nd với m,n Z ; ƯCLN m,n 1,m n BCNN a,b dmn Mà ƯCLN a,b BCNN a,b 23 nên d m.n 1 23 d là ước của 23 hay d 1;23 Xét d 1, ta có mn 1 23 mn 22 với ¦CLN m,n 1 nên ta có các trường hợp của m,n như sau:
10. a b 14 Nếu d 2 vô nghiệm. 2 2 a b 50 Tóm lại a,b 3;4 4;3  Bài 2: Tìm tất cả các cặp số a,b nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: i) a,b đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của a,b là 1 . ii) Số N ab ab 1 2ab 1 có đúng 16 ước số nguyên dương. (Trích đề học sinh giỏi toán Đăk Lăk năm học 2017-2018) Lời giải Ta có: N ab ab 1 2ab 1 chia hết cho các số: 1;a;b ab 1 2ab 1 ;b;a ab 1 2ab 1 ; ab 1 ; 2ab 1 ; ab 1 2ab 1 ;ab; ab ab 1 ;ab 2ab 1 ; N;a ab 1 ;a 2ab 1 ;b ab 1 ;b 2ab 1 Hay N ab ab 1 2ab 1 có 16 ước dương Nên để N chỉ có đúng 16 ước dương thì a;b;ab 1;2ab 1 là số nguyên tố. Do a,b 1 ab 1 2 Nếu a,b cùng lẻ thì ab 1 chia hết cho 2 nên là hợp số (vô lý). Do đó không mất tính tổng quát, giả sử a chẵn b lẻ a 2 . Ta cũng có nếu b không chia hết cho 3 thì 2ab 1 4b 1 và ab 1 2b 1 chia hết cho 3 là hợp số (vô lý) b 3. Vậy a 2;b 3. m 1 n 1 Bài 3: Cho hai số tự nhiên m và n thoả mãn là số nguyên. n m Chứng minh ước chung lớn nhất của m và n không lớn hơn m n . (Trích đề học sinh giỏi Hải Dương năm học 2004-2005) Lời giải Gọi d là ƯCLN m,n suy ra m2 ,n2 ,mn cùng chia hết cho d 2 . m 1 n 1 m2 n2 m n Do là số nguyên nên m2 n2 m n cũng chia hết cho d 2 . n m mn Suy ra m n chia hết cho d 2 m n d 2 m n d .
11. 2 11 5 4 2 1 4 11 44 1 10 5 50 5 11 10 2.5 2 5 10 25 3 1 54 1 54 1 55 54 2.3 2 27 2 27 b) Giải tương tự câu a) ta được: d a'b' 1 5 . Từ đó: d a'b' 1 a'b' a ' b ' a b 6 1 6 1 1 5 6 3 2 3 2 5 1 2 2 1 10 5 c) Có 6 cặp số (1, 36), (4, 9), (5, 40), (7, 42), (14, 21), (35, 70). Bài 6: Tìmn,n 1,n 2 Lời giải Đặt A n,n 1và B  A,n 2 . Áp dụng tính chất a,b,c a,b,c , ta có B n,n 1,n 2 Dễ thấy n,n 1 1 , suy ra n,n 1 n n 1 do a,b. a,b ab ab n n 1 n 2 Lại áp dụng tính chất a,b thế thì n,n 1,n 2 a,b n n 1 ,n 2 Gọi d n n 1 ,n 2 . Do n 1,n 2 1 nên d n,n 2 n,2 Xét hai trường hợp: n n 1 n 2 - Nếu n chẵn thì d 2 , suy ra n,n 1,n 2 2 - Nếu n lẻ thì d 1, suy ran,n 1,n 2 n n 1 n 2 Bài 7: Tìm n ¥ * biết n 30 để các số 3n 4 và 5n 1 có ước chung lớn hơn 1. Lời giải Gọi d là một ước chung của 3n 4 và 5n 1 d ¥ * Ta có 3n 4d và 5n 1d nên 5 3n 4 3 5n 1 d 17 d 1;17 Để 3n 4 và 5n 1 có ước chung lớn hơn 1, ta phải có 3n 417 Hay 3 n 10 17 mà ƯCLN 3,17 1 nên n 10 17
12. n n Vậy 22 1,22 1 1. m n Bài 10: Cho 1 m,n ¥ . Tìm 2 1,2 1 Lời giải Đặt d m,n . Khi đó tồn tại các số tự nhiên r,s sao cho rn sm d. m n Đặt d1 2 1,2 1 d1 lẻ. Ta có: 2n 12d 1 (vì nd ) 2m 12d 1 (vì md ) d Do đó d1 2 1 n rn 2 1d1 2 1d1 Mặt khác: 2rn 2sm 2sm 2rn sm 1 2sm 2d 1 d m sm 1 2 1d1 2 1d1 d Mà 2,d1 1 2 1d1 d Từ đó suy ra d1 2 1. Vậy 2m 1,2n 1 2 m,n 1. Bài 11: Cho a,m là các số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh rằng: 1 a a2 am 1,a 1 m,a 1 . Lời giải Giả sử d | 1 a am 1 và d | a 1 , suy ra: d | am 1 1 am 2 1 a 1 m d | m. Vậy d | m và d | a 1 . Ngược lại, nếu d | a và d | a 1 thì d mm 1 a 1 Vậy 1 a a2 am 1,a 1 m,a 1 .
13. Bài 14: Tổng các số tự nhiên a1,a2 , ,a49 bằng 999. Hỏi ước số chung lớn nhất của chúng có thể nhận giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu ? Lời giải 3 Giả sử d a1,a2 , ,a49 ,khi đó a1 a2 a49 999d , suy ra d là ước của 999 3 .37. 99 Vì d | a k 1,2, ,49 nên a d,k 999 a a a 49d d 21. Vậy d chỉ có thể k k 1 2 49 29 nhận các giá trị 1,3,9. Giá trị d lớn nhất bằng 9 khi a1 a2 a48 9;a49 567 (vì 9.48 567 999 ) Bài 15: Cho a,b 1. Tìm 11a 2b,18a 5b Lời giải Giả sử d 11a 2b,18a 5b , khi đó d |18a 5b và d |11a 2b, suy ra d |11 18a 5b 18 11a 2b 19b d |19 hoặc d | b. - Nếu d | b thì từ d | 5 11a 2b 3 18a 5b a 5b d | a d | a,b 1 d 1. - Nếu d |19 thì d 1 hoặc d 19. Vậy 11a 2b,18a 5b bằng 1 hoặc bằng 19.  HẾT 