Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 4: Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất - Chủ đề 2: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 4: Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất - Chủ đề 2: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Ước và Bội của một số nguyên Với a,b Z và b 0. Nếu có số nguyên q sao cho a bq thì ta nói a chia hết cho b. Ta còn nói a là bội của b và b là ước của a. 2. Nhận xét - Nếu a bq thì ta nói a chia cho b được q và viết a :b q . - Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào. - Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên. 3. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó. Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ƯC(a, b, c). 4. Ước chung lớn nhất - Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. 5. Các tính chất - ¦CLN(a,1) 1;BCNN a,1 a - Nếu aMb ¦CLN(a,b) b;BCNN a,b a - Nếu a, b nguyên tố cùng nhau (a,b) 1;a,b a.b - ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) và BC(a ,b) = B(BCNN(a, b)) a dm - Nếu ¦CLN(a,b) d; ¦CLN(m,n) 1; b dn 10 2.5 Ví dụ ¦CLN(10,15) 5; ¦CLN(2,3) 1 15 3.5 c am - Nếu BCNN a,b c; ¦CLN(m,n) 1; c bn
2. Vậy n 3;2n 5 1. * 4(3n 7)M7 12n 28Md b) Gọi ¦CLN(3n 3,4n 9) d(d N ) 3(4n 9)Md 12n 27Md 12n 28 12n 27 Md 12n 28 12n 27 Md 1Md d 1 Vậy ¦CLN 3n 3,4n 9 1 . Bài 2: Cho a, b là số tự nhiên lẻ, b N . Chứng minh rằng ¦CLN(a,ab 128) 1. Lời giải: aMd Đặt d ¦CLN(a,ab 128) và d lẻ 128Md và d lẻ ab 128Md 27 Md và d lẻ 2Md và d lẻ d 1. Vậy (a,ab 128) 1 Bài 3: Chứng tỏ rằng nếu 17n2 1M6(n N * ) thì ¦CLN(n,2) 1;¦CLN(m,3) 1. Lời giải: +) Theo đầu bài ta có: 17n2 1M6 17n2 1M2 17n2 1 chẵn n lẻ nM 2 (n,2) 1 +) Vì 17n2 1M6 17n2 1M3 nM 3 (n,3) 1 (nếu nM3 17n2 M3 17n2 1M3 lo¹i nM 3 ). Bài 4: Cho hai số nguyên tố cùng nhau a và b . Chứng tỏ rằng 11a 2b và 18a 5b hoặc là số nguyên tố cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 19. Lời giải Gọi d (11a 2b,18a 5b) 5(11a 2b) 2(18a 5b)Md
3. Do đó ¦C 2n 1,3n 1 là ước của d, hay là ước của 1 Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp Vậy ¦C 2n 1,3n 1 ¦ 1 1;1 . Bài 7: Tìm ƯCLN của 9n 24 và 3n 4 . Lời giải: Gọi ¦CLN 9n 24,3n 4 d d N* 9n 24Md 9n 24Md Khi đó ta có: 3n 4Md 9n 12Md 9n 24 9n 12 d 12Md d ¦ 12 1; 2; 3; 4; 6; 12 Do 3n 4 Md, mà 3n 4 không chia hết cho 3, nên d 3;6;13 (loại) Do đó d 1;2;4 - Để d 2 thì n phải chẵn - Để d 4 thì n phải chia hết cho 4 - Để d 1 thì n là số lẻ Vậy n 4k 2 k N thì ¦CLN 9n 24,3n 4 2 n 4k k N thì ¦CLN 9n 24,3n 4 4 n 2k 1 k N thì ¦CLN 9n 24,3n 4 1. Bài 8: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 21n 5 và 14n 3 Lời giải: a) Gọi ¦CLN 21n 5,14n 3 d N*
4. a bMd 2bMd d ¦ 2 hoặc d ¦ b a bMd a bMd và 2aMd hoặc d ¦ 2 hoặc d ¦ a a bMd mà a,b 95, nên d 95 hoặc d 2 Vậy a b,a b 2 hoặc d 95. Bài 12: Cho m, n là hai số tự nhiên. Gọi A là tập hợp các ước số chung của m và n , B là tập hợp các ước số chung của 11m 5n và 9m 4n . Chứng minh rằng A B Lời giải: Gọi d ¦CLN 11m 5n,9m 4n d N* 11m 5nMd 9 11m 5n Md 99m 45nMd Khi đó ta có: 9m 4nMd 11 9m 4n Md 99m 44nMd 99m 45n 99m 44n Md nMd (1) 11m 5nMd 4 11m 5n Md 44m 20nMd Tương tự ta có: 9m 4nMd 5 9m 4n Md 45m 20nMd 45m 20n 44m 20n mMd (2) Từ (1) và (2) ta có : d ¦C(m,n) d ¦(A) và B ¦ d ¦ A . Vậy A B Bài 13: Tìm ƯC của 2n 1 và 3n 1 với n N Lời giải: Gọi d ¦CLN 2n 1,3n 1 d N* Khi đó ta có :
5. Mà là các số dương nên ta có : d 1 hoặc d 17 Vậy ¦CLN 2n 1, 9n 4 1 hoặc 17 Dạng 2: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau I. Phương pháp giải Bài toán: Chứng minh hai số a, b nguyên tố cùng nhau: ¦CLN a,b 1 Phương pháp giải: Giả sử d ¦CLN a,b Cách 1: Chỉ ra d 1 Cách 2: +) Giả sử d 1(d 2) (phương pháp phản chứng) +) Gọi p là ước nguyên tố của d +) Chỉ ra rằng p 1 (vô lý) +) Kết luận d 1 II. Bài toán Bài 1: Chứng minh rằng hai số n 1 và 3n 4 n N là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi d ¦CLN n 1,3n 4 d N* , nên ta có: n 1Md 3n 3Md 3n 4 3n 3 Md 1Md 3n 4Md 3n 4Md Vậy hai số n 1 và 3n 4 là hai số nguyên tố cùng nhau với n N . Bài 2: Chứng minh rằng 2n 1 và 2n 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi d ¦CLN 2n 1,2n 3 d N*
6. Gọi ¦CLN 8a 3,5b 1 d d N* 8a 3bMd 5(8a 3b)Md 40a 15bMd 5a bMd 8(5a b)Md 40a 8bMd 40a 15b 40a 7b 7bMd 8a 3bMd 8a 3bMd và 3 5a b Md 15a 3bMd 15a 3b 8a 3b Md 7aMd Vì ¦CLN a,b 1 nên d 1 hoặc d 7 . Bài 6: Chứng minh rằng 2n 1 và 6n 5 là hai số nguyên tố cùng nhau Lời giải: Gọi d ¦CLN 2n 1,6n 5 , d N* Khi đó ta có : 2n 1Md 3 2n 1 Md 6n 3Md 6n 5Md 6n 5Md 6n 5Md 6n 5 6n 3 Md 2Md d ¦(2)= 1;2 Do 2n 1Md , mà 2n 1 lại là số lẻ nên d 2 loại, do đó d 1 Vậy hai số 14n+3 và 21n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau Bài 7: Chứng minh rằng với mọi n N thì các số 7n 10 và 5n 7 ngyên tố cùng nhau Lời giải: Gọi d ¦CLN 7n 10,5n 7 , d N* Khi dó ta có : 35n 50 35n 49 Md 1Md Do đó d 1 Vậy hai số 7n 10 và 5n 7 là hai số nguyên tố cùng nhau
7. Lời giải: a) Giả sử a2 và a b cùng chia hết cho số nguyên tố d Khi đó aMd , do đó bMd a,b cùng chia hết cho số nguyên tố d , trái với giả thiết ¦CLN a;b =1 Vậy a2 và a b là hai số nguyên tố cùng nhau b) Giả sử ab và a b cùng chia hết cho số nguyên tố d Suy ra tồn tại một trong hai số a hoặc b chia hết cho d Khi aMd bMd , hoặc bMd aMd a và b cùng chia hết cho d , trái với a, b 1 Vậy ab và a b nguyên tố cùng nhau Dạng 3: Tìm điều kiện để hai số nguyên tố cùng nhau Bài 1: Tìm n N để: 7n 10 và 5n 7 là hai số sau ngyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi d 7n 10;5n 7 d N * Khi dó ta có: 7n 10Md 5 7n 10 Md 35n 50Md 5n 7Md 7 5n 7 Md 35n 49Md 35n 50 35n 49 Md 1Md Do đó d 1 Vậy với mọi n N hai số 7n 10 và 5n 7 là hai số nguyên tố cùng nhau Bài 2: Tìm n N để: 2n 3 và 4n 8 là hai số sau ngyên tố cùng nhau Lời giải : Gọi d 2n 3;4n 8 d N *
8. 7n 3Md 8 7n 3 Md 56n 24Md 8n 1Md 7 8n 1 Md 56n 7Md 56n 24 56n 7Md 31Md d 1 hoặc d 31. Để d 1 thì d 31 hay 7n 3M31 7n 3 31M31 7n 28M31 7 n 4 M31 n 4M31 Hay n 4 31k n 31k 4 ( k là số tự nhiên) Vậy để 7n 3 và 8n 1 là hai số nguyên tố cùng nhau thì n 31k 4 ( k là số tự nhiên) Bài 4: Tìm n để 9n 24 và 3n 4 là hai số nguyên tố cùng nhau (n N). Lời giải: Gọi d ¦CLN 9n 24,3n 4 9n 24Md 9n 24Md 3n 4Md 3(3n 4)Md 9n 24 9n 12 Md 12Md d 1; 2; 3; 4; 6; 12 Nếu d 2; 4; 6; 12 9n 24 chẵn và, 3n 4 chẵn d 2; 4; 6; 12 loại Nếu d 3 3n 4M3 Vô lý d=3(loại) Nếu d 1 9n 24,3n 4 là số lẻ 9n 24 lẻ n lẻ và 3n 4 lẻ n lẻ Vậy n lẻ Bài 5: Tìm số tự nhiên n để 4n 3 và 2n 3 nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi ƯCLN( 4n+3; 2n+3) =d, d N* 4n 3Md 4n 3Md 2n 3Md 4n 6Md
9. Bài 8: Chứng minh rằng: có vô số số tự nhiên n để n 15 và n 72 là 2 số nguyên tố cùng nhau Lời giải: Gọi d ¦C n 15,n 72 57Md , do n 15Md,57Md , Nên tồn tại n sao cho n 15 57k 1 thì d 1, với k 1;2;3; Vậy có vô số n  HẾT