Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 4: Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất - Chủ đề 4: Các bài toán quy về tìm ƯCLN và BCNN (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 4: Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất - Chủ đề 4: Các bài toán quy về tìm ƯCLN và BCNN (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 4 – ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CHỦ ĐỀ 4: CÁC BÀI TOÁN QUY VỀ TÌM ƯCLN VÀ BCNN PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Ước và Bội của một số nguyên Với a,b Z và b 0. Nếu có số nguyên q sao cho a bq thì ta nói a chia hết chob . Ta còn nói a là bội của b và b là ước của a . 2. Nhận xét - Nếu a bq thì ta nói a chia chob được q và viết a :b q - Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0 . Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào. - Các số 1 và 1 là ước của mọi số nguyên. 3. Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết. Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b được số dư là k thì số a k b 4. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó. Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ¦C a, b, c . 5. Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó. Bội chung của các số a, b, c được kí hiệu là: BC a, b, c . 6. Ước chung lớn nhất. Bội chung nhỏ nhất - Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. - Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác không trong tập hợp các bội chung của các số đó. 7. Các tính chất - (a,1) 1;a,1 a - Nếu ab (a,b) b;a,b a - Nếu a, b nguyên tố cùng nhau (a,b) 1;a,b a.b - ¦ C a, b ¦ ¦ CLN a, b và BC a ,b B BCNN a, b a dm - Nếu (a,b) d vôùi m,n 1 b dn c am - Nếu a,b c vôùi (m,n) 1 c bn - ab (a,b).a,b 8. Phương pháp giải
2. 150 2.3.52 ÖCLN(125,100,150) 52 25 x 25 Vậy x 25 Bài 2.Tìm số tự nhiên x lớn nhất biết rằng 480 x, 600 x Lời giải Vì 480 x, 600 x và x lớn nhất nên x ÖCLN(480,600) Ta có: 480 25.3.5 600 23.3.52 ÖCLN(480,600) 23.3.5 120 x 120 Vậy x 120 Bài 3. Lan có một tấm bìa hình chữ nhật, kích thước 75 cm và 105 cm, Lan muốn cắt tấm bìa thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết không còn thừa mảnh nào,Tính độ dài lớn nhất cạnh hình vuông? Lời giải Gọi độ dài lớn nhất cạnh hình vuông là a (cm) Theo bài ra ta có: 75 a, 105 a và a lớn nhất nên a ÖCLN(75,105) Ta có: 75 3.52 105 3.5.7 ÖCLN(75,105) 3.5 15 a 15 Vậy độ dài lớn nhất cạnh hình vuông là 15cm . Bài 4. Phần thưởng cho học sinh của một lớp học gồm128 vở, 48 bút chì, 192 nhãn vở. Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu phần thưởng như nhau, mỗi phần thưởng gồm bao nhiêu vở, bút chì, nhãn vở? Lời giải Gọi số phần thưởng được chia là a (phần thưởng), a N * Theo bài ra ta có: 128 a, 48 a,192 a và a lớn nhất nên a ÖCLN(128,48,192) Ta có: 128 27 48 3.24 192 26.3
3. Theo bài ra ta có:84 a, 63 a, 105 a và a lớn nhất nên a ÖCLN(84,63,105) Ta có: 84 22.3.7 63 32.7 105 3.7.5 ÖCLN(84,63,105) 3.7 21 a 21 Vậy có thể xếp được nhiều nhất 21 hàng dọc. Bài 8.Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a 15, a 20 Lời giải Vì a 15, a 20 và a nhỏ nhất khác 0 nên a BCNN(15, 20) Ta có: 15 3.5 20 22.5 BCNN(15,20) 22.3.5 60 a 60 Vậy a 60 Bài 9. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a chia hết cho15 và a chia hết cho18 . Lời giải Vì a 15, a 18 và a nhỏ nhất khác 0 nên a BCNN(15, 20) Ta có: 15 3.5 18 32.2 BCNN(15,20) 2.32.5 90 a 90 Vậy a 90 Bài 10. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a chia hết cho15,18 và 25 Lời giải Vì a 15, a 18,a 25 và a nhỏ nhất khác 0 nên a BCNN(15, 20,25) Ta có: 15 3.5 18 32.2 25 52 BCNN(15,20,25) 22.3.52 300 a 300
4. a 36 Vậy sau 36 ngày hai bạn lại cùng trực nhật. Bài 14. Ba con tàu cập bến theo cách sau: Tàu I cứ 15 ngày cập bến một lần, tàu II cứ 20 ngày cập bến một lần, tàu III cứ 12 ngày cập bến một lần. Lần đầu cả ba tàu cùng cập bến vào một ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày cả ba tàu lại cùng cập bến ? Lời giải Gọi số ngày ít nhất để ba tàu lại cùng cập bến là a ( ngày ), a N * Vì a 15, a 20, a 12 và a nhỏ nhất khác 0 nên a BCNN(15,20,12) Ta có: 15 3.5 20 22.5 12 22.3 BCNN(15,20,12) 22.3.5 60 a 60 Vậy sau 60 ngày ba tàu lại cùng cập bến. Bài 15. : Ba ô tô chở khách cùng khởi hành lúc 6h sáng từ 1 bến xe đi theo ba hướng khác nhau, xe thứ nhất quay về bến sau 1h5 phút và sau 10 phút lại đi, xe thứ hai quay về bến sau 56 phút và lại đi sau 4 phút, xe thứ ba quay về bến sau 48 phút và sau 2 phút lại đi, hãy tính khoảng thời gian ngắn nhất để 3 xe cùng xuất phát lần thứ hai trong ngày và đó là lúc mấy giờ? Lời giải. Đổi 1h5 phút = 65 phút Gọi thời gian ngắn nhất để ba xe cùng xuất lần thứ 2 trong ngày là a ( phút ), a N * Thời gian xe thứ nhất đi chuyến thứ 2 là 65 10 75 ( phút) Thời gian xe thứ hai đi chuyến thứ 2 là 56 4 60 ( phút) Thời gian xe thứ ba đi chuyến thứ 2 là 48 2 50 ( phút) Vì a 75, a 60, a 50 và a nhỏ nhất khác 0 nên a BCNN(75,60,50) Ta có: 75 3.52 60 22.3.5 50 2.52 BCNN(75,60,50) 22.3.52 300 a 300 ( phút) 5 (giờ) Vậy sau 5 giờ thì ba xe lại cùng xuất phát lần thứ 2 . Lúc đó là 11h trưa. Dạng 2. Bài toán đưa về tìm BCNN của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước. I. Phương pháp giải.
5. Vì số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ nên x 10, x 12, x 18 x BC(10,12,18) Ta có: 10 2.5 12 22.3 18 2.32 BCNN(10,12,18) 22.32.5 180 BC(10,12,18) B 180 0; 180; 360; 540;  Vì 200 x 500 nên x 360 Vậy số sách cần tìm là 360 cuốn. Bài 4. Một trường tổ chức cho khoảng 800 đến 900 học sinh đi tham quan. Tính số học sinh biết nếu xếp 35 hoặc 40 học sinh lên xe thì vừa đủ. Lời giải Gọi số học sinh cần tìm là x ( học sinh) ,800 x 900, x N * Vì xếp 35 hoặc 40 học sinh lên xe thì vừa đủ nên x 35, x 40 x BC(35,40) Ta có: 35 5.7 40 23.5 BCNN(35,40) 23.5.7 280 BC(35,40) B 280 0; 280; 560; 840;1120;  Vì 800 x 900 nên x 840 Vậy trường đó có 840 học sinh. Bài 5. Một trường tổ chức cho khoảng 700 đến 800 học sinh đi tham quan. Tính số học sinh biết nếu xếp 40 người hoặc 45 người lên xe ô tô thì vừa đủ. Lời giải Gọi số học sinh của trường là: n n N * Theo bài ta có: 700 n 800 Vì n45;n40 n BC(40,45) n B(BCNN(40,45)) Ta có: 40 23.5 2 45 3 .5 3 2 n B(360) BCNN(40,45) 2 .3 .5 360 n 700 700 n 800
6. n 65 8k 728 n 65 31m 9331 BCNN(8,31) 8.31 248 BC(8,31) B 248 0; 248; 496; 744;992;1240;  Vì n là số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số nên n 65 992 n 927 Vậy n 927 Bài 9. Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 500 , sao cho chia nó cho15 ; cho35có số dư lần lượt 8 và 13. Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x N , x 500 Vì x chia cho 15 ; 35có số dư lần lượt 8 và 13 nên x 15k 8 với k,m N x 35m 13 x 232 15k 240 15 x 232 35m 245 35 x 232 BC 15;35 Ta có: 15 3.5 35 5.7 BCNN(15,35) 3.5.7 105 BC(15,35) B 105 0; 105;210;315;420;525;630;735;  Vì 0 x 500 nên 232 x 232 732 x 232 315;420;525;630 x 83;188;293;398 Vậy x 83;188;293;398 Bài 10. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 12 , cho 18,cho 23 có số dư theo thứ tự là 11,17,9. Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm là: a ( a N ) Theo bài ta có: a 12k 11 18q 17 2.3.p 9 (k, p,q N) a 37 12k 4812;a 37 18q 5418;a 37 23p 4623 a 37 BC(12,18,23) Vì a nhỏ nhất a 37 BCNN(12,18,23);12 22.3;18 2.32 ;23 23 BCNN(12,18,23) 22.32.23 828
7. Vì x nhỏ nhất, x chia hết cho 23 nên x = 598. Vậy x = 598 Bài 13. Một đội thiếu niên khi xếp hàng 2,3,4,5 đều thừa 1 người, Tính số đội viên biết số đó nằm trong khoảng 100 đến 150 ? Lời giải Gọi số đội viên cần tìm là x ( đội viên) , 100 x 150 , x N * Đội thiếu niên khi xếp hàng 2,3,4,5 đều thừa 1 người nên x chia cho 2,3,4,5đều dư 1 x 1 2,x 1 3, x 1 4, x 1 5 x 1 BC(2,3,4,5) BCNN(2,3,4,5) 22.3.5 60 BC(2,3,4,5) B 60 0; 60; 120; 180;  Vì 100 x 150 nên x 120 Vậy số đội viên là 120 đội viên Bài 14. Số học sinh khối 6 của một trường THCS trong khoảng từ 200 đến 400 , khi xếp hàng12,15 và 18 đều thừa 5 học sinh. Tính số học sinh của trường đó. Lời giải Gọi số học sinh của trường đó là x ( học sinh), 200 x 400 , x N * Khi xếp hàng 12,15,18 đều thừa 5 học sinh nên x chia cho 12,15,18 đều dư 5 x 5 12, x 5 15, x 5 18 x 5 BC(12,15,18) Ta có: 12 22.3 15 3.5 18 2.32 BCNN(12,15,18) 22.32.5 180 BC(12,15,18) B 180 0; 180; 360; 540;  Vì 200 x 400 nên x 360 Vậy số học sinh của trường đó là 360 học sinh. Bài 15. Một trường học có số lượng học sinh không quá 1000. Khi xếp hàng 20,25,30 thì đều dư 15 . Nhưng khi xếp hàng 41 thì vừa đủ. Tính số học sinh của trường đó. Lời giải Gọi số học sinh của trường đó là: n ( n N * )
8. BCNN(2,3,4,5,6) 22.3.5 60 BC(2,3,4,5,6) B 60 0; 60; 120; 180;240;300;  x 1 60; 120; 180;240;300;  x 59; 119; 179;239;299;  Khối học sinh xếp hàng 7 thì vừa đủ nên x chia hết cho 7 và x 300 nên x 119 Vậy số học sinh của khối đó là 119 Bài 18. Số học sinh tham gia nghi thức đội là một số có ba chữ số lớn hơn 800. Nếu xếp hàng 20 thì dư 9 em, nếu xếp hàng 30 thì thiếu 21em và xếp hàng 35 thì thiếu 26 em. Hỏi có tất cả bao nhiêu học sinh tham gia? Lời giải Gọi số học sinh tham gia nghi thức đội là x ( học sinh), x N * , 800 x 999 Nếu xếp hàng 20 thì dư 9 em, nếu xếp hàng 30 thì thiếu 21em và xếp hàng 35 thì thiếu 26 em nên x 9 20 x 21 30 x 2635 x 20k 9 x 30m 21 với k,m,n N x 35n 26 x 9 20k 20 x 9 30m 3030 x 9 35n 3535 x 9 BC(20,30,35) Ta có: 20 22.5 30 2.3.5 35 5.7 BCNN(20,30,35) 22.3.5.7 420 BC(20,30,35) BC(420) 0;420;840;1260;  x 9 0;420;840;1260;  x 9;429;849;1269;  Vì 800 x 999 nên x 849 Vậy số học sinh tham gia nghi thức đội là 849 em
9. Gọi số tự nhiên cần tìm là a a N,a 3 Khi chia a cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2 a 2 BC 3;4;5;6 60;120;180;240;  Nên a nhận các giá trị 62;122;182;242; Mặt khác a là số nhỏ nhất chia cho 7 thì dư 3tức là a 3 là số nhỏ nhất chia hết cho 7 a 122 (vì a 62 thì 62 3 59 không chia hết cho 7 ). Vậy số cần tìm là122. Bài 23. Hai lớp 6A; 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1bạn thu được 26 kg còn lại mỗi bạn thu được 11kg. Lớp 6B có 1bạn thu được 25 kg còn lại mỗi bạn thu được 10 kg. Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200 kg đến 300 kg. Lời giải Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x kg x 26 11 và x 25 10 Do đó x 15 BC 10;11 và 200 x 300 x 15 220 x 235 Số học sinh lớp 6A là: 235 26 :11 1 20 (học sinh) Số học sinh lớp 6B là: 235 25 :10 1 22 (học sinh) Vậy lớp 6A có 20 học sinh Lớp 6B có 22 học sinh. Bài 24. Số học sinh khối 6 của một trường chưa đến 400 bạn, biết khi xếp hàng 10;12;15đều dư 3 nhưng nếu xếp hàng 11thì không dư. Tính số học sinh khối 6 của trường đó. Lời giải Gọi số học sinh là a a N * Vì số học sinh khi xếp hàng 10;12;15 đều dư 3 a 3 BC 10;12;15 Mà BCNN 10;12;15 60 a 3 60k k N * a 60k 3 Ta có bảng sau: k 1 2 3 4 5 6 7 a 63 123 183 243 303 363 423 Vì số học sinh chưa đến 400 bạn và khi xếp hàng 11thì không dư nên a 400 và a11 Trong các giá trị trên, chỉ có a 363 thỏa mãn bài toán Vậy số học sinh cần tìm là 363 học sinh. Dạng 3. Bài toán đưa về tìm ƯCLN của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước. I. Phương pháp giải.
10. 270 2.33.5 ÖCLN(144,270) 2.32 18 ÖC(144,270) Ö 18 1;2;3;6;9;18 a 1;2;3;6;9;18 Vì a 12 nên a 18 Vậy a 18 Bài 3. Tìm số tự nhiên n biết 288 chia n dư 38 và 414 chia n dư 14. Lời giải Vì 288 chia n dư 38 và 414 chia n dư 14 nên 288 38n và n 38 414 14n và n 14 250n 400n n ÖC(250,400) Ta có : 250 2.53 400 24.52 ÖCLN(250,400) 2.52 50 ÖC(250,400) Ö 50 1;2;5;10;25;50 n 1;2;5;10;25;50 Vì n 38 nên n 50 Vậy n 50 Bài 4. Tìm số tự nhiên b lớn nhất biết rằng chia 326 cho b thì dư 11, còn chia 553 cho b thì dư 13. Lời giải Vì chia 326 cho b thì dư 11, còn chia 553 cho b thì dư 13 nên 326 11b và b 11 553 13b và b 13 315b 540b b ÖC(315,540) Ta có : 315 32.5.7 540 22.33.5
11. Vậy a 42 Bài 7. Tìm số tự nhiên a biết rằng 264 chia a dư 24 và 363 chia a dư 43. Lời giải Vì 264 chia a dư 24 và 363 chia a dư 43 nên 264 24 a và a 24 363 43 a và a 43 240 a 320 a a ÖC(240,320) Ta có : 240 24.3.5 320 26.5 ÖCLN(240,320) 24.5 80 ÖC(240,320) Ö 80 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20;40;80 Vì a 43 nên a 80 Vậy a 80 Bài 8. Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia111 cho a thì dư 15 còn khi chia 180 cho a thì dư 20. Lời giải Vì chia111 cho a thì dư 15 còn khi chia 180 cho a thì dư 20 nên 111 15 a và a 15 180 20 a và a 20 96 a 160 a a ÖC(96,160) Ta có : 96 25.3 160 25.5 ÖCLN(96,160) 25 32 ÖC(96,160) Ö 32 1; 2; 4; 8;16; 32 Vì a 20 nên a 32 Vậy a 32 Bài 9. Nếu ta chia 2 số 3972 và 170 cho cùng một số thì sẽ được số dư tương ứng là 4 và 42. Hỏi số chia là bao nhiêu? Lời giải
12. 130n 182n n ÖC(130,182) Ta có : 130 2.5.13 182 2.7.13 ÖCLN(130,182) 2.13 26 ÖC(130,182) Ö 26 1;2;13;26 Vì n 17 nên n 26 Vậy n 26 Bài 12. Tìm số tự nhiên a biết rằng 351 chia cho a dư 15 còn 321 chia cho a dư 27. Lời giải Vì 351 chia a dư 15 và 321 chia a dư 27 nên 351 15 a và a 15 321 27 a và a 27 336 a 294 a a ÖC(336,294) Ta có : 336 24.3.7 294 2.3.72 ÖCLN(336,294) 2.3.7 42 ÖC(336,294) Ö 42 1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42 Vì a 27 nên a 42 Vậy a 42 Bài 13. Tìm số tự nhiên b biết rằng chia 327 cho b thì dư 12 còn chia 557 cho b thì dư 17. Lời giải Vì chia 327 cho b thì dư 12 còn chia 557 cho b thì dư 17 nên 327 12b và b 12 557 17b và b 17 315b 540b b ÖC(315,540) Ta có : 315 32.5.7
13. Bài 16. Một số chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7 . Hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu? Lời giải Gọi số đã cho là A. Theo bài ra ta có: A 7a 3 17b 12 23c 7 Mặt khác: A 39 7a 3 39 17b 12 39 23c 7 39 7 a 6 17 b 3 23 c 2 Như vậy A 39 đồng thời chia hết cho 7 , 17 và 23 . Nhưng ƯCLN(7, 17, 23) = 1 A 39 7.17.23 A 39 2737 A 39 2737.k A 2737k 39 2737 k 1 2698 Do 2698 2737 nên 2698 là số dư của phép chia số A cho 2737 a 1 b 1 Bài 17. Cho a, b là các số tự nhiên khác 0 sao cho là số tự nhiên. Gọi d là ƯCLN của b a a, b Chứng minh rằng: a b d 2 Lời giải Ta có : a dm d (a,b) với m,n 1 b dn a 1 b 1 a2 b2 a b a2 b2 a bab N a2 b2 a bd 2 2 2 b a ab ab d .m.nd a2 d 2m2 d 2  a bd 2 a b d 2 đpcm 2 2 2 2  b d n d  PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. Bài 1: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 11dư 6 , chia cho 4 dư 1và chia cho 19 dư 11 ( HSG huyện Quế Võ – Năm 2020 – 2021) Lời giải Theo đề bài số cần tìm là n (n ), theo đề ra ta có: n :11 dư 6 n 611 n 6 33 n 27 chia hết cho 11 (Do 3311 ) n : 4 dư 1 n 14 n 1 28 n 27 chia hết cho 4 (Do 284 ) n :19 dư 11 n 1119 n 11 38 n 27 chia hết cho 19 (Do 3819 ) Suy ra n 27 chia hết cho các số 4; 11; 19 mà n là số tự nhiên nhỏ nhất nên n 27 BCNN(4; 11; 19) 836 Vậy n 836 27 809
14. a : 6 dư 5 a 56 a 5 6 a 1 chia hết cho 6 (Do 66 ) Suy ra a 1 cùng chia hết cho 2;3;4;5;6 Ta có: BCNN 2;3;4;5;6 60 a 1 BC(2,3,4,5,6) B(60) 0,60,120,360, ,960,1020,  Vì a là số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số nên a 1 960 Vậy a 960 1 959 Bài 5: Số học sinh của trường THCS A nếu xếp mỗi hàng 10 học sinh thì thừa ra 3 học sinh, nếu xếp mỗi hàng 12 thì thừa ra 5 học sinh, nếu xếp mỗi hàng 15thì thừa ra 8 học sinh, nếu xếp mỗi hàng 19 thì vừa đủ . Hỏi trường THCS A có bao nhiêu học sinh tất cả , biết số học sinh của trường đó lớn hơn 800 và nhỏ hơn 1000. ( OLYMPIC Toán 6 – Năm 2020 – 2021) Lời giải Gọi số học sinh của trường THCS A là x ( x N*, 800<x<1000, häc sinh) Theo đề ra ta có: Xếp mỗi hàng19 học sinh thì vừa đủ nên x19 , suy ra đặt x 19k (k N*) khi đó vì: Xếp mỗi hàng10 học sinh thừa3 học sinh nên x :10 dư 3 , suy ra19k :10 dư 3 hay 19k 3 10 19k 710 (vì 1010 ) Xếp mỗi hàng12 học sinh thì thừa 5học sinh nên x :12 dư 5 , suy ra 19k :12 dư 5 hay 19k 5 12 19k 712 (vì 1212 ) xếp mỗi hàng15học sinh thì thừa8 học sinh nên x :15 dư 8 , suy ra 19k :15 dư 8 hay 19k 8 15 19k 715 (vì1515) Do đó 19k 7 BC(BCNN(10,12,15)) 19k 7 BC(60) 0;60;120;180;240;300;360;420;480;540;600;660;720;780;840;900;960;1020;  Vì x N*, 800<x<1000, häc sinh) nên 19k 7 840;900;960 Lập bảng: 19k 7 840 900 960 k 833 47 (Thỏa mãn) 953 (loại) (loại) 19 19 a 19.47 893 (học sinh) Vậy số học sinh của trường THCS A là 893 học sinh. Bài 6: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất biết a chia cho 104dư 51, achia cho 96 dư 27 . ( HSG Kim Sơn – Năm 2020 – 2021). Lời giải
15. 450 18a 432a a ¦ (¦ CLN 360;432) ¦ (72) 1;2;3;4;6;8;9;12;18;24;36;72 Vì a 38 nên a 72 Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết khi chia số đó cho 36,40,42 lần lượt được các số dư là 34, 38, 40. (OLYMPIC toán 6 Quốc Oai – Năm 2020 – 2021) Lời giải Gọi số cần tìm là a , a  , theo đề ra ta có: a :36 dư 34 a 3436 a 34 36 a 2 chia hết cho 36 (Do 3636 ) a : 40 dư 38 a 3840 a 38 40 a 2 chia hết cho 40 (Do 4040 ) a : 42 dư 40 a 4042 a 40 42 a 2 chia hết cho 42 (Do 4242 ) Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất nên: a 2 BCNN(36;40;42) 2520 Vậy a 2520 2 2518 Bài 11: Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3chữ số, sao cho khi chia số đó cho 8 dư 7 và chia số đó cho 31 dư 28 . ( HSG Lục Nam – Năm 2020 – 2021) Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x N Vì x chia cho 8 dư 7 , chia cho31dư 28 nên x 8k 7 với k,m N x 31m 28 x 65 8k 72 8 x 65 31m 93 31 x 65 BC 8;31 BCNN(8,31) 8.31 248 BC(8,31) B 248 0; 248;496;744;992;1240;  Vì x là số tự nhiên lớn nhất có 3chữ số nên x 65 992 x 927 Vậy số cần tìm là 927 Bài 12: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25,28 và 35 thì được các số dư lần lượt là 5,8,15. ( HSG Bá Thước – Năm 2020 – 2021) Lời giải
16. x 2 12 x 2 15 x 218 x 2 BC(12,15,18) Ta có: 12 22.3 15 3.5 18 2.32 BCNN(12,15,18) 22.32.5 180 BC(12,15,18) BC(180) 0;180;360;  Vì x 200 nên x 2 180 x 182 Vậy số học sinh khối 6 của trường đó là 182 em Bài 15: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 3, cho 5, cho 7 được số dư theo thứ tự là 2,3,4 . ( HSG Thái Thụy – Năm 2019 – 2020) Lời giải Vì a chia cho 3, cho 5, cho 7 được số dư theo thứ tự là 2,3,4 nên a 3k 2 * a 5m 3 ( Với k,m,n N ) a 7n 4 2a 1 6k 33 2a 1 10m 55 2a 1 14n 77 2a 1 BC 3, 5,7 mà a nhỏ nhất 2a 1 BCNN 3,5,7 105 a 53 Vậy a 53 Bài 16: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết nó chia cho 23 thì dư 14 và chia cho 25 thì dư 16 . ( HSG Tiền Hải – Năm 2018 – 2019) Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x N , x 1000 Vì x chia cho 23 thì dư 14 và chia cho 25 thì dư 16 nên x 923 x 925
17. x 58;118;178;238;298;358;418;478;538;598;  Mà x13, x nhỏ nhất nên x 598 Vậy số cần tìm là 598 Bài 19: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 5 dư 1, chia cho 11dư 4, chia cho 13 dư 10. ( HSG Kiến Xương – Năm 2012 – 2013) Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x N , x nhỏ nhất. Vì x chia cho 5 dư 1, chia cho 11dư 4, chia cho 13 dư 10 nên x 5k 1 * x 11m 4 ( Với k,m,n N ) x 13n 10 x 29 5k 305 x 29 11m 3311 x 29 13n 3913 x 29 BC 5,11,13 mà x nhỏ nhất x 29 BCNN 5,11,13 5.11.13 715 x 686 Vậy số cần tìm là 686 Bài 20: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25;28;35 thì được số dư lần lượt là 5;8;15. ( HSG Kiến Xương – Năm 2011 – 2012) Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x 1000 Vì x chia cho các số 25;28;35 thì được số dư lần lượt là 5;8;15 nên x 2025; x 2028; x 2035 x 20 BC 25,28,35 BCNN 25,28,35 700 BC 25,28,35 B 700 0;700;1400;2100;2800;  x 20 700;1400;2100;2800;  x 680;1380;2080;2780;  Mà x 1000 nên x 680
18. môn bằng nhau. Hỏi có thể phân công học sinh đứng thành bao nhiêu hàng để số học sinh mỗi môn trong một hàng ít nhất. ( HSG Bắc Ninh – Năm 2020 – 2021) Lời giải Gọi số hàng được phân công là a (hàng), a N * Theo bài ra ta có: 96a; 120 a, 72 a nên a ÖC(96,120,72) Ta có: 96 25.3 120 23.3.5 72 32.23 ÖCLN(96,120,72) 23.3 24 a ÖC 24 1;2;3;4;6;8;12;24 Vì số học sinh mỗi môn trong một hàng ít nhất nên a 24 Vậy có thể phân công được 24 hàng