Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 5: Số nguyên tố, hợp số - Chủ đề 1: Định nghĩa, tính chất, số nguyên tố, hợp số (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 5: Số nguyên tố, hợp số - Chủ đề 1: Định nghĩa, tính chất, số nguyên tố, hợp số (Có lời giải chi tiết)

1. b, Gọi A là một số tự nhiên lớn hơn 3.Khi đó A sẽ có dạng 6n,6n 1,6n 2,6n 3( n N * ) -Nếu A 6n hay A 6n 3 thì A3và A là hợp số. -Nếu A 6n 2 thì A2 và A là hợp số. Suy ra nếu A là số nguyên tố thì A sẽ có dạng 6n 1,6n 5 Vì 6n 5 6n 6 1 6(k 1) 1 nên suy ra mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng: 6n 1( n N * ) (đpcm) Bài 2: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số này là số chẵn hay số lẻ? Lời giải: Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số nguyên tố lẻ. Do đó tổng 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn. Bài 3: Tổng 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 được không ? Lời giải: Ta thấy 2003 là một số lẻ nên nếu 2003 là tổng của hai số nguyên tố thì một trong hai số phải là số chẵn và bằng 2. Vậy số còn lại là 2001 nhưng 2001 lại không là số nguyên tố vì 2001 69.29 Vậy tổng của hai số nguyên tó không thể bằng 2003. Bài 4: Cho p và p 2 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tổng của chúng chia hết cho 12. Lời giải: Ta thấy p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 6n 1,( n N * ) * TH1: p 6n 1,( n N ) thì p 2 6n 3 3( 2n 1)3 Mà p 2 là số lớn hơn 3 nên p 2 là hợp số ( Trái với GT, loại ) TH2: p 6n 1( n N * ) thì p 2 6n 1 Khi đó p p 2 6n 1 6n 1 12n12 ĐPCM Bài 5: Cho p là số nguyên tố và một trong hai 8p 1,8p 1 là số nguyên tố .Hỏi số còn lại là số nguyên tố hay hợp số. Lời giải: -Nếu p 2 thì 8p 1 8.2 1 15là hợp số -Nếu p 3 thì 8p 1 8.3 1 25 là hợp số
2. * TH1: p 6n 1,( n N ) thì p 8 6n 9 3( 2n 3)3 Mà p 8 là số lớn hơn 3 nên p 8 là hợp số ( Trái với GT, loại ) TH2: p 6n 1( n N * ) thì p 8 6n 7 Khi đó p 100 6n 1 100 6n 99 3(2n 33)3 Mà p 100 là số lớn hơn 3 nên p 100 là hợp số. Bài 10: Cho p và 2 p 1 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi 4 p 1 là số nguyên tố hay hợp số ? Lời giải: Ta thấy p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 6n 1,( n N * ) * TH1: p 6n 1,( n N ) thì 2 p 1 2(6n 1) 1 12n 3 3(4n 1)3 Mà 2 p 1 là số lớn hơn 3 nên 2 p 1 là hợp số ( Trái với GT, loại ) TH2: p 6n 1(n N * ) thì 2 p 1 2(6n 1) 1 12n 1 Khi đó 4 p 1 4(6n 1) 1 24n 3 3(8n 1) Mà 4 p 1 là số lớn hơn 3 nên 4 p 1 là hợp số. Bài 11: Chứng minh rằng số dư trong phép chia một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên tố. Lời giải: Giả sử p là số nguyên tố và p có dạng p 30k r 2.3.5.k r(k N *,r N *,0 r 30) Nếu r là hợp số thì r có ước nguyên tố q sao cho q2 30 q 2,3,5 Nhưng với q 2,3,5thì p lần lượt chia hết cho 2,3,5 ( Vô lý ) Vậy r 1 hoặc r là số nguyên tố. Bài 12: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư là r .Tìm r biết rằng r không là số nguyên tố. Lời giải: Gọi số nguyên tố là p ( p N * ) Ta có: p 30k r 2.3.5.k r(k N *,r N *,0 r 30) Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2,3,5. Số nguyên dương không là số nguyên tố nhỏ hơn 30 và không chia hết cho 2,3,5 chỉ có số 1.
3. Như vậy: Dãy số a1;a2 ;a3; ;an gồm có n số tự nhiên liên tiếp không có số nào là số nguyên tố. Bài 16: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số này là số chẵn hay số lẻ? Lời giải: Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số nguyên tố lẻ. Do đó tổng 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn. Bài 17: Chứng minh rằng nếu tổng của n lũy thừa bậc 4 của các số nguyên tố lớn hơn 5 là một số nguyên tố thì (n,30) 1 Lời giải: Số nguyên tố p khi chia cho 30 chỉ có thể dư là: 1,7,11,13,17,19,23,29 Với r 1 thì p2 1( mod30) tương tự với r 11, r 9 , r 19 Với r 7 thì p2 19( mod30) tương tự với r 13, r 17 , r 23 Suy ra p2 1( mod30) Giả sử p1, p2 , , pn là các số nguyên tố lớn hơn 5 4 4 4 Khi đó q p1 p2 pn  n(mod30) p 30k n(k N * ) là số nguyên tố nên (n,30) 1) . Dạng 2:Tìm số nguyên tố p để thỏa mãn điều kiện. I.Phương pháp giải - Trong n số tự nhiên liên tiếp chỉ có một và chỉ một số chia hết cho n . - Nắm chắc các tính chất đặc trưng của số nguyên tố để giải bài toán. II.Bài toán Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố: a, p 10, p 14 b, p 2, p 6, p 8, p 12, p 14 Lời giải: a, Vì p 10, p 14 là số nguyên tố và 10;14 là hợp số p 2 p có dạng 3k,3k 1,3k 2(k N * ) . -Nếu p 3k 1 p 14 3k 15 3(k 5)3 là hợp số (Loại) -Nếu p 3k 2 p 10 3k 12 3(k 4)3 là hợp số (Loại)
4. Ta có: p p 1 2 p3 2 p3 p1 4 . Ta thấy p1, p1 2, p1 4 là 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp. Theo câu a p1 3 p p1 2 5 . Thử lại: p 5 5 2 3 7 2. Vậy số cần tìm là 5. Bài 4:Tìm k N để dãy số k 1,k 2, ,k 10 chứa nhiều số nguyên tố nhất. Lời giải: -Nếu k 0 Ta có dãy số 1;2;3; ;10 có các số nguyên tố là 2;3;5;7 Có 4 số nguyên tố. -Nếu k 1 Ta có dãy số 2;3;4; ;11có các số nguyên tố là 2;3;5;7;11 Có 5 số nguyên tố. -Nếu k 2 Ta có dãy số 3;4;5; ;12 có các số nguyên tố là3;5;7;11 Có 4 số nguyên tố. -Nếu k 3 Dãy số k 1,k 2, ,k 10 đều gồm các số lớn hơn 3 và bao gồm 5 số lẻ liên tiếp và 5 sô chẵn liên tiếp. Vì các số trong dãy đều lớn hơn 3 nên suy ra 5 số chẵn liên tiếp đều là hợp số và trong 5 số lẻ liên tiếp tồn tại ít nhất một số chia hết cho 3 và số này cũng là hợp số. Vậy k 1là giá trị cần tìm. Bài 5: Ta gọi p,q là 2 số nguyên tố liên tiếp nếu giữa p và q không có số nguyên tố nào khác. Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p,q,r sao cho p2 q2 r 2 cũng là số nguyên tố. Lời giải: +Nếu p,q,r đều khác 3 mà p,q,r là các số nguyên tố. p,q,r chia 3 dư 1 hoặc dư 2 ( hay dư -1 ). p2 ,q2 ,r 2 chia 3 dư 1. p2 q2 r 2 chia hết cho 3. Vậy tồn tại 1 số bằng 3. 2 2 2 TH1: Ba số nguyên tố đó là 2, 3, 5 Khi đó 2 3 5 38 là hợp số ( Loại ) TH2: Ba số nguyên tố đó là 3, 5, 7 Khi đó32 52 72 83là số nguyên tố ( Thỏa mãn ) Vậy 3 số nguyên tố liên tiếp cần tìm là: 3,5,7 . Bài 6: Tìm 3 số nguyên tố p,q,r sao cho: pq q p r .
5. Lời giải: Ta thấy tổng số nguyên tố hai số cần tìm là số lẻ nên một trong hai số cần tìm phải là số nguyên tố chẵn và bằng 2. Khi đó số còn lại là 2003 ( là số nguyên tố, thỏa mãn) Vậy hai số cần tìm là 2 và 2003. Bài 9: Tìm 2 số nguyên tố có tổng bằng 309. Lời giải: Ta thấy tổng số nguyên tố hai số cần tìm là số lẻ nên một trong hai số cần tìm phải là số nguyên tố chẵn và bằng 2. Khi đó số còn lại là 307 ( là số nguyên tố, thỏa mãn) Vậy hai số cần tìm là 2 và 307. Bài 10: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong 3 số. Lời giải: Trong ba số nguyên tố có tổng bằng 1012, phải có một số chẵn, là số 2. Đó là số nhỏ nhất trong ba số. Bài 11: Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4 p 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30. Lời giải: Vì p là số nguyên tố nên p 2 4 p 11 19 Mà 4 p 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30 nên 4 p 11 19;23;29  + Nếu 4 p 11 19 thì p 2 là số nguyên tố ( Thỏa mãn, lấy ) + Nếu 4 p 11 23 thì p 3 là số nguyên tố ( Thỏa mãn, lấy ) 9 + Nếu 4 p 11 29 thì p không là số nguyên tố ( Trái với GT, loại ) 2 Vậy số nguyên tố cần tìm là 2 và 3. Bài 12: Tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn x2 2y2 1 0 Lời giải: x2 2y2 1 0 ( x 1)( x 1) 2y2 Do y là số nguyên tố và x 1 x 1 nên chỉ xảy ra các trường hợp sau: x 1 2y x 3 TH1: x 1 y y 2
6. Dạng 3: Các bài toán chứng minh số nguyên tố,hợp số I.Phương pháp giải -Dựa vào các tính chất đặc trưng của số nguyên tố và hợp số để giải các bài toán về chứng minh số nguyên tố, hợp số. II.Bài toán Bài 1: Cho p và p 4 là các số nguyên tố ( p 3 ).Chứng minh rằng p 8 là hợp số . Lời giải: Ta có: p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k 1,3k 2( k N * ) +Nếu p 3k 2 thì p 4 3k 63 là hợp số ( Trái với GT,loại ) Vậy p có dạng 3k 1, khi đó p 8 3k 9 3(k 3)3 là hợp số ĐPCM Bài 2: Cho p và 8p 1 là các số nguyên tố. Chứng minh rằng 8p 1 là hợp số. Lời giải: Ta xét các trường hợp: p 3k; p 3k 1; p 3k 2( k N * ) TH1: p 3k 2 thì 8p 1 8(3k 2) 1 24k 15 3(8k 5)3 là các hợp số ( Trái với giả thiết,loại ) TH2: p 3k p 3( vì p là số nguyên tố ) 8p 1 23 là số nguyên tố Và khi đó 8p 1 25 là hợp số (1) TH3: p 3k 1thì 8p 1 24k 7 Và khi đó 8p 1 24k 9 3(8k 3)3 là hợp số (2) Từ (1) , (2) ta suy ra 8p 1 là hợp số ĐPCM Bài 3: Chứng minh rằng ( p 1)! chia hết cho p nếu p là hợp số, không chia hết cho p nếu p là số nguyên tố. Lời giải: +TH1: p là hợp số: Nếu p là hợp số thì p là tích các thừa số nguyên tố nhỏ hơn p và số mũ các lũy thừa này không thể lớn hơn số mũ của chính các lũy thừa ấy trong ( p 1)!. Vậy: ( p 1)! p ( ĐPCM ) +TH2: p là số nguyên tố:
7. a) Tổng các chữ số của A là: 1 1 1 1 20013 A3 mà A 3nên A là hợp số ( ĐPCM ) b) B 1010101 101.10001là hợp số ( đpcm ) c) Vì 1! 2! 33 và 3! 4! 100! luôn chia hết cho 3 nên C3 Mà C 3nên C là hợp số (ĐPCM ) d) D 311141111 311110000 31111 31111(10000 1)31111 D là hợp số (ĐPCM ) 5125 1 Bài 8: Chứng minh rằng số N là hợp số. 525 1 Lời giải: Đặt 525 a , khi đó a5 1 N a4 a3 a2 a 1 a 1 ( a4 9a2 1 6a3 6a 2a2 ) (5a3 10a2 1) ( a2 3a 1)2 5a( a2 2a 1) ( a2 3a 1)2 5.525 ( a 1)2 2 2 13 2 ( a 3a 1) 5 .( a 1) 2 13 2 13 a 3a 1 5 ( a 1) a 3a 1 5 ( a 1) . N là tích của hai số nguyên lớn hơn 1 nên N là hợp số ( ĐPCM ) 2n 1 Bài 9: Chứng minh với mọi số tự nhiên lớn hơn 0 thì 22 3 là hợp số. Lời giải: Với 22 4 1( mod3) 22n 1( mod3),( n N * ) 22n 13 nên 22n 1 2 2( 22n 1)6 Hay 22n 1 6k 2( k N ) 2n 1 22 3 ( 26 )k .22 3  22 3  0( mod 7) 2n 1 Tức là 22 37( n N * ) 2n 1 2n 1 Mà 22 3 7( n N * ) nên 22 3 là hợp số. ( ĐPCM )
8. Đặt a a1t,c c1t;(a1,c1) 1 ab cd a1bt c1dt a1b c1d Mà (a1,c1) 1 bc1 * Đặt b c1k d a1k,(k N ) , Ta có n n n n n n n n n n n n n n n n A a b c d a1 t c1 k c1 t a1 k (a1 c1 )(k t ) Vì a ,c ,t,k là số nguyên dương nên A là hợp số. 1 1 Bài 14: Chứng minh rằng có vô số nguyên tố có dạng: 3x 1( x N *, x 1) Lời giải: Mọi số tự nhiên không nhỏ hơn 2 có 1 trong 3 dạng:3x;3x 1;3x 1( x N * ) +Những số có dạng 3x mà x 1nên là hợp số. +Xét 2 số có dạng 3x 1:đó là số (3n 1) và (3m 1) Xét tích (3m 1)(3n 1) 9mn 3m 3n 1 3x 1 Tích trên có dạng 3x 1 + Lấy một số nguyên tố p có dạng 3x 1 (với p là số nguyên tố bất kỳ ) ta lập tích của p với tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn p rời trừ đi 1 ta có: M 2.3.5.7 9 1 3( 2.3.5.7 p ) 1 M có dạng: 3x 1 Có 2 khả năng xảy ra: *Khả năng 1: M là số nguyên tố có dang 3x 1 p ,bài toán được chứng minh. *Khả năng 2: M là hợp số: Ta chiaM cho 2,3,5, , p đều tồn tại một số dư khác 0 nên các ước số nguyên tố của M đều lớn hơn p , trong các ước này không có số nào có dạng 3x 1(đã chứng minh trên). Do đó ít nhất một trong các ước nguyên tố của M phải có dạng 3x ( hợp số ) hoặc 3x 1. Vậy có vô số nguyên tố có dạng: 3x 1( x N, x 1) Bài 15: Chứng minh có vô số số nguyên tố có dạng 4x 3( x N ) Lời giải: Các số nguyên tố lẻ không thể có dạng 4x và 4x 2 .
9. p 1 ( p 1)!a  ( p 1)!(mod p) Vì ( p 1)!;p 1 a p 1 1( mod p) Bài 2: Chứng minh rằng tổng 1100 2100 3100 1981100 1982100 200283 Lời giải: Vì 200283 1983.101mà (1983;101) 1 nên chỉ cần chứng minh S1983và S101 * Chứng minh chia hết cho 1983 S (1100 1982100 ) (2100 1981100 ) (3100 1980100 ) (4100 1979100 ) (991100 992100 ) 1983 991 ( 1)k 1 k100 (1983 k )100 1983  k 1 Ta có : k100 (1983 k )100 k100 (k100 1983m) ( m nguyên ) Vậy hiệu này chia hết cho 1983. Từ đó suy ra S chia hết cho 1983. (1) * Chứng minh chia hết cho 101 Trừ các số chia hết cho 101 là 101100 ;202100 ; ;1919100 trong tổng S còn lại các số có dạng a100 với (a,101) 1. Mà 101 là số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ, thì các số này chia 101 dư 1. Số các số hạng mang dấu cộng bằng số số hạng mang dấu trừ. Từ đó suy ra S chia hết cho 101 (2) Từ (1) , (2) suy ra S chia hết cho 200283. n Bài 3: Nhà toán học Pháp Fermat đã đưa ra công thức 22 1 để tìm các số nguyên tố với mọi số tự nhiên n . 1. Hãy tính giá trị của công thức này khi x 4 . 2. Với giá trị này hãy chứng tỏ ba tính chất sau: a) Tổng hai chữ số đầu và cuối bằng tổng các chữ số còn lại. b) Tổng bình phương các chữ số là số chính phương. c) Hiệu giữa tổng các bình phương của hai chữ số đầu và cuối với tổng các bình phương của các chữ số còn lại bằng tổng các chữ số của số đó. Lời giải: 1. Ta thay x 4 vào công thức Fermat và được: 4 22 1 65537 là số nguyên tố.
10. 4n 1 4n 1 Vậy 23 32 5 là hợp số với mọi số tự nhiên n khác 0. Bài 6: Tìm số nguyên tố p để ( 2 p 1) p Lời giải: Vì p là số nguyên tố mà ( 2 p 1) p p 2 . Ta thấy p không chia hết cho 2 vì p 2 . Theo định lí Fermat nhỏ ta có 2 p 1 1 p mà ( 2 p 1) p ( Giả thiết ) 2.2 p 1 2 3 p 2( 2 p 1) 3 p 3 p ( vì 2 p 1 1 p ) p 3( vì p là số nguyên tố ) Vậy số nguyên tố cần tìm là 3. Bài 7: Cho p là số nguyên tố p lớn hơn 2. Chứng minh rằng có vô số số tự nhiên n thỏa mãn (n.2n 1) p Lời giải: Ta có: 2 p 1 1( mod p ) , ta tìm n ( p 1) sao cho n.2n 1( mod p ) . Ta có: n.2n  m.( p 1).2m( p 1) ( mod p ) n.2n  m 1( mod p) m kp 1,( k N * ). Vậy, với n ( kp 1)( p 1),( k N * ) thì ( n.2n 1) p . Bài 8: Cho p là số nguyên tố,chứng minh rằng số 2 p 1chỉ có ước nguyên tố có dạng là: 2 pk 1. Lời giải: Gọi q là ước nguyên tố của 2 p 1 thì q lẻ, nên theo định lý Fermat: 2q 1 1q ( 2 p 1,2q 1 1) 2( p.q 1) 1q q 1 p ,vì nếu ( q 1, p ) 1 thì 1q ,vô lý. Mặt khác q 1chẵn q 12 p q 2 pk 1. Bài 9: Chứng minh rằng dãy số 2003 23k với k 1,2,3, chứa vô hạn số là lũy thừa của cùng một số nguyên tố. Lời giải: Gỉa sử tồn tại số nguyên tố sao cho: 2003 23k pn (1) Trong đó k,n là các số nguyên dương nào đó. Từ (1) dễ thấy p không chia hết cho 23 nên (23, p) 1.
11. d (a 1;a p 1 a p 2 a a) p d p vì d không chia hết cho p (a 1)(a p 1 a p 2 a 1) pn mà a p 1 a p 2 a 1 p(mod p2 ) a 1 pn 1 a 1(mod pn 1). Bài 12: Chứng minh rằng A 3p 2p 142p ( với p là số nguyên tố lớn hơn 7 ) Lời giải: Ta có: 3p 1 0(mod2) A2 2p 1 0(mod3) A3. vì p là số nguyên tố lớn hơn 7 nên p chỉ có thể có dạng 6n 1(n N*) Nếu p 6n 1 A 36n 1 26n 1 1 3(36n 1) 2(26n 1). 36 1(mod 7) 36 17 Vì A7. 6 6 2 1(mod 7) 2 17 Nếu p 6n 5 A 35 (36t 1) 25 (26t 1) 35 25 1 Ta cũng có: t 35 25 1 0(mod7) A7 Vậy A chia hết cho 7 Mặt khác theo định lí Fermat nhỏ ta có: 3p  39(mod p) và 2p  2(mod p) nên A  0( mod p ) 2,3,7, p đôi một nguyên tố cùng nhau nên t A(2.3.7.p) A42 p ( đpcm ) Bài 13: Cho p,q là hai số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng: pq 1 q p 1 1 pq chia hết cho Lời giải: Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta có: (pq p)q p(pq 1 1)q do p,q là số nguyên tố). (1) Vì p,q là các số nguyên tố nên ( p,q) 1 Từ (1) suy ra (pq 1 1)q (2)
12. Lời giải: Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là: n,n 1(n N * ) Đặt d (n,n 1),(d N * ) nd n 1 nd 1d d 1. n 1d Vậy n và n 1 là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 3: Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi 2 số lẻ liên tiếp là: 2k 1,2k 3(k N) . Đặt (2k 1;2k 3) d(d N * ) 2k 1d 2k 3 2k 1 2d 2k 3d d 1;2 Mà d là ước số lẻ nên d 1. Vậy hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 4: Chứng minh rằng : 2n 1và 3n 1là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: (2n 1,3n 1) d(n N) 2n 1d 3(2n 1)d 6n 3d 6n 3 6n 2 1d d 1. 3n 1d 2(3n 1)d 6n 2d Vậy 2n 1 và 3n 1là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 5 : Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng hai số sau là hai số nguyên tố cùng nhau: a và a b . Lời giải: Đặt (a,a b) d(d N * ) ad bd a bd Mà a và b là 2 số nguyên tố cùng nhau nên d 1 Vậy a và a b là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )
13. Vậy b và a b là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM ) Bài 9: Chứng minh rằng nếu nếu c nguyên tố cùng với a và b thì c nguyên tố cùng nhau với tích ab Lời giải: Gọi p là ước chung nguyên tố của c và ab . cd abd + TH1: ad Mà a và c là 2 số nguyên tố cùng nhau nên d 1 Vậy ab và c là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM ) + TH2: bd Mà c và b là 2 số nguyên tố cùng nhau nên d 1 Vậy ab và c là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM ) Bài 10: Tìm số tự nhiên n để các số 9n 24 và3n 4 là các số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Giả sử 9n 24 và3n 4 cùng chia hết cho số nguyên tố d thì 9n 24 3(3n 4)d 12d d 2,3. Điều kiện để (9n 24;3n 4) 1 là d 2;d 3.Hiển nhiên d 3vì 3n 4 không chia hết cho 3.Muốn d 2 phải có ít nhất một trong 2 số 9n 24 và3n 4 không chia hết cho 2.Ta thấy: + Nếu 9n 24là số lẻ 9n lẻ n lẻ, + Nếu 3n 4 là số lẻ 3n lẻ n lẻ. Vậy điều kiện để hai số 9n 24 và3n 4 là các số nguyên tố cùng nhau là n lẻ. Bài 11: Tìm số tự nhiên n để các số 18n 3 và 21n 7 là các số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Giả sử 18n 3 và 21n 7 cùng chia hết cho số nguyên tố d thì 6(21n 7) 7(18n 3)d 21d d 1;3;7;21. Điều kiện để (18n 3;21n 7) 1 là d 3;d 7;d 21.Hiển nhiên d 3;d 21vì 21n 7 không chia hết cho 3. Muốn d 7 thì số 18n 3 không chia hết cho 7 (vì 21n 7 luôn chia hết cho 7 ) 18n 37 18n 3 217 18(n 1)7 n 17.
14. Lời giải: Gọi d (2n 3;4n 8) 2n 3d 4n 8d 2(2n 3)d 4n 8d 4n 6d 4n 8d 4n 8 4n 6d 2d d 1 Vì 2n 3 là số lẻ. Vậy hai số 2n 3 và 4n 8 là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n. Bài 15: Chứng minh rằng hai số 3n 2 và5n 3 là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n. Lời giải: Gọi d (3n 2;5n 3) 3n 2d 5n 3d 5(3n 2)d 3(5n 3)d 15n 10d 15n 9d 15n 10 15n 9d 1d d 1 Vậy hai số 3n 2 và5n 3 là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n. PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. Bài 1: Tìm số tự nhiên n để A n2018 n2002 1 là số nguyên tố. (HSG Tỉnh Quảng Ngãi 2015 – 2016).
15. Theo bảng số nguyên tố ta tìm được các cặp số nguyên tố abb và aab thỏa mãn điệu kiện thứ nhất sau đây: 223;233 , 227;277 , 331;311 , 443;433 , 449;499 , 557;577 , 773;733 , 881;811 , 887;877 , 991;911 , 997;977 Tương ứng với 100a b là các số sau: 203 2.29 ; 207 9.23; 301 7.43 ; 403 13.31; 409 là số nguyên tố; 507 3.132 ; 703 19.37 ; 801 32.89 ; 807 2.269 ; 901 17.53 ; 907 là số nguyên tố. Vậy N 8877 3.11.269 Bài 5: Tìm số tự nhiên p sao cho p và p 3 đều là số nguyên tố. Lời giải: Một số tự nhiên bất kì có 1 trong hai dạng: 2n;2n 1 với n N . Nếu p 2n 1 thì p 3 2n 4 chia hết cho 2. Ta có p 3 3 và p 3 chia hết cho 2. Nên p 3 là hợp số trái đề bài. Do đó: p 2n . Nhưng p nguyên tố nên p 2 và p 3 5 nguyên tố. Vậy p 2 . Bài 6: Tìm số nguyên tố p sao cho p 4 và p 8 đều là số nguyên tố. Lời giải: Bất kì số tự nhiên nào cũng có một trong ba dạng: 3n;3n 1;3n 2;n N . Nếu p 3n thì p 8 3n 93 , vô lí. Nếu p 3n 2 thì p 4 3n 6, vô lí. Do đó p 3n . Nhưng p nguyên tố nên p 3; p 4 7; p 8 11 nguyên tố. Vậy p 3 . Bài 7: Tìm các số nguyên tố x, y, Z thỏa mãn x y 1 Z Lời giải: Vì x, y là các số nguyên tố x 2, y 2 Z 5 Z là số nguyên tố lẻ x y là số chẵn x chẵn x 2 thay vào ta có Z 2 y 1 Nếu y lẻ 2 y 13 ( an bn a b lẻ) Z 3 vô lí Do đó y là số chẵn y 2 Thay x 2, y 2 Z 5 Vậy x 2, y 2 Z 5 Bài 8: Tìm n N * để n4 4 là số nguyên tố Lời giải: a) n4 4 n4 4n2 4 4n2
16. p 3 2 33 2 29 là số nguyên tố Vậy nếu p và p 2 2 là các số nguyên tố thì p 3 2 cũng là số nguyên tố. Bài 12:Cho A 3 32 33 3100 là số nguyên tố hay hợp số? vì sao? (trích đề thi HSG Nam Trực) Lời giải: A 3 32 33 3100 (3 32 ) (33 34 ) (399 3100 ) 3(1 3) 33 (1 3) 399 (1 3) 3.4 33.4 399.4 4(3 33 399 )4 Mà A 4 Nên A 3 32 33 3100 là hợp số Bài 13: Cho n là số nguyên tố. Hỏi n10 1là số nguyên tố hay hợp số? (trích đề thi HSG Bá Thước) Lời giải: Ta có n là số nguyên tố suy ra n chia 2 dư 1 n10 chia 2 dư 1 n10 1chia hết cho 2 Vậy n10 1 là hợp số Bài 14: Tìm số tự nhiên n sao cho p (n 2)(n 2 n 5) là số nguyên tố. (Trích đề thi HSG Hiệp Hòa) Lời giải: Vì p (n 2)(n 2 n 5) nên n 2 và n2 n 5 Ư ( p) Vì p là số nguyên tố nên n 2 1hoặc n2 n 5 1 + Nếu n 2 1 n 3 thì p (3 2)(32 3 5) 1.7 7 (thỏa) + Nếu n2 n 5 1 n2 n 6 n(n 1) 6 2.3 n 2 thì p (2 2)(22 2 5) 0 không phải là số nguyên tố, loại Vậy n 3thì p (n 2)(n 2 n 5) là số nguyên tố. Bài 15: Tìm các số tự nhiên n để 3n 6 là số nguyên tố. (trích đề thi HSG Hưng Hà).