Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 5: Số nguyên tố, hợp số - Chủ đề 2: Phương pháp dãy số để tìm số nguyên tố (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 5: Số nguyên tố, hợp số - Chủ đề 2: Phương pháp dãy số để tìm số nguyên tố (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 5-SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ ĐỂ TÌM SỐ NGUYÊN TỐ PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. SỐ NGUYÊN TỐ -Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1,chỉ có 2 ước là 1 và chính nó. -Số nguyên tố nhỏ nhất vừa là số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2. -Không thể giới hạn số nguyên tố cũng như tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố là vô hạn. -Khi 2 số nguyên tố nhân với nhau thì tích của chúng không bao giờ là một số chính phương. -Ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên được coi là số nguyên tố. -Để kết luận số tự nhiên a là một số nguyên tố ( a 1),chỉ cần chứng minh a không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a. ap -Nếu tích abp (p là số nguyên tố) bp -Đặc biệt nếu a n p ap (p là số nguyên tố) -Mọi số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng: 4n 1(n N* ) -Mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng: 6n 1(n N* ) -Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị. PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tìm số nguyên tố để một hay nhiều biểu thức đồng thời là số nguyên tố. I. Phương pháp giải -Dựa vào các dấu hiệu chia hết và các tính chất về số nguyên tố ,hợp số, để giải các bài toán về chứng minh hoặc giải thích. - Trong n số tự nhiên liên tiếp chỉ có một và chỉ một số chia hết cho n. - Nắm chắc các tính chất đặc trưng của số nguyên tố để giải bài toán. II. Bài toán Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố. a, p 10,p 14 b, p 2,p 6,p 8,p 12,p 14 Lời giải: a, - Với p 2 p 2 4 là hợp số, nên p 2 không thỏa mãn đề bài. - Với p 3 p 10 13, p 14 17 đều là số nguyên tố. Do đó p 3 thỏa mãn đề bài. - Với p 3 , p là số nguyên tố nên p có dạng p 3k 1hoặc p 3k 2, k N
2. Ta thấy p1 ,p1 2,p1 4 là 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp. Theo câu 2 p1 3 p p1 2 5. Thử lại: p 5 5 2 3 7 2. Vậy số cần tìm là 5. Bài 4: Tìm k N để dãy số k 1,k 2, ,k 10 chứa nhiều số nguyên tố nhất. Lời giải: -Nếu k 0 Ta có dãy số 1;2;3; ;10 có các số nguyên tố là 2;3;5;7 Có 4 số nguyên tố. -Nếu k 1 Ta có dãy số 2;3;4; ;11có các số nguyên tố là 2;3;5;7;11 Có 5 số nguyên tố. -Nếu k 2 Ta có dãy số 3;4;5; ;12 có các số nguyên tố là3;5;7;11 Có 4 số nguyên tố. -Nếu k 3 Dãy số k 1,k 2, ,k 10 đều gồm các số lớn hơn 3 và bao gồm 5 số lẻ liên tiếp và 5 sô chẵn liên tiếp. Vì các số trong dãy đều lớn hơn 3 nên suy ra 5 số chẵn liên tiếp đều là hợp số và trong 5 số lẻ liên tiếp tồn tại ít nhất một số chia hết cho 3 và số này cũng là hợp số. Vậy k 1là giá trị cần tìm. Bài 5: Tìm số nguyên tố p sao cho: p 94, p 1994cũng là số nguyên tố. Lời giải: - Với p 2 là số nguyên tố nên p 94 96 là hợp số. Do đó p 2 không thỏa mãn đề bài. - Với p 3 là số nguyên tố p 94 97, p 1994 1997 đều là số nguyên tố. Do đó p 3 thỏa mãn đề bài. - Với p 3 , p là số nguyên tố nên p có dạng p 3k 1hoặc p 3k 2, k N,k 0 + Nếu p 3k 1 p 1994 3k 1 19943 là hợp số p 3k 1 không thỏa mãn đề bài. + Nếu p 3k 2 p 94 3k 2 943 là hợp số p 3k 2 không thỏa mãn đề bài. Vậy p 3 là số nguyên tố cần tìm. Bài 6: Tìm số nguyên tố p sao cho p 18, p 24, p 26, p 32 cũng là số nguyên tố. Lời giải: - Với p 2 ta có p 94 96 là hợp số p 2 không thỏa mãn đề bài. - Với p 3 ta có p 94 97, p 1994 1997 đều là số nguyên tố, do đó p 3 thỏa mãn đề bài. - Với p 3 , p là số nguyên tố nên p có dạng p 3k 1hoặc p 3k 2, k N,k 0 + Nếu p 3k 1 p 1994 3k 1 19943 là hợp số p 3k 1 không thỏa mãn đề bài. + Nếu p 3k 2 p 94 3k 2 943 là hợp số, do đó p 3k 2 không thỏa mãn đề bài. Vậy p 3 là số nguyên tố cần tìm. Bài 7: Tìm số nguyên tố p sao cho: p 2, p 8, p 16 đều là số nguyên tố. Lời giải: - Với p 2 là số nguyên tố p 94 96 là hợp số p 2 không thỏa mãn đề bài.
3. Bài 10: Tìm tất cả các số nguyên tố p , q sao cho 7 p q và pq 11 cũng là số nguyên tố Lời giải: Nếu pq 11 là số nguyên tố thì nó phải là số lẻ vì nó là số nguyên tố lớn hơn 2 Suy ra pq là số chẵn, khi đó ít nhất 1 trong 2 số p hoặc q bằng 2 Giả sử p 2 7 p q 14 q là số nguyên tố + Nếu q 2 7 p q 7.2 2 16 là hợp số, p 2,q 2 không thỏa mãn. + Nếu q 3 p.q 11 2.3 11 17 và 7 p q 7.2 3 17 đều là các số nguyên tố, p 2,q 3 thỏa mãn đề bài. + Nếu q 3 , q là số nguyên tố nên có dạng q 3k 1 hoặc q 3k 2, k N * + Với q 3k 1 7 p q 14 3k 13 là hợp số q 3k 1 không thỏa mãn. + Với q 3k 2 pq 11 2q 11 2 3k 2 11 6k 153 là hợp số q 3k 2 không thỏa mãn. Vậy p 2,q 3 . Xét tiếp TH q 2 làm tương tự ta được p 3 . Vậy p 2,q 3 hoặc p 3,q 2 . Bài 11: Tìm số nguyên tố p sao cho 5p 7 là số nguyên tố. Lời giải: - Nhận thấy p 2 là số nguyên tố, và 5p 7 17 cũng là số nguyên tố - Với p 2 và p là số nguyên tố thì p có dạng p 2k 1, k N * Nếu p 2k 1 5p 7 5 2k 1 7 10k 122 là hợp số, nên p 2k 1 không thỏa mãn. Vậy p 2 là số nguyên tố cần tìm. Bài 12: Ta gọi p,q là hai số tự nhiên liên tiếp, nếu giữa p và q không có số nguyên tố nào khác. Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p,q,r sao cho p2 q2 r 2 cũng là số nguyên tố. Lời giải: Nếu 3 số nguyên tố p,q,r đều khác 3 thì p,q,r đều có dạng 3k 1 suy ra p2 q2 r 2 chia cho 3 đều dư 1. Khi đó p2 q2 r 2 3 và p2 q2 r 2 3 nên p2 q2 r 2 là hợp số. Vậy p 3,q 5,r 7 , khi đó p2 q2 r 2 32 52 72 83 là số nguyên tố. Bài 13: Tìm các số nguyên tố a sao cho 6a 13 là số nguyên tố và 25 6a 13 45 Lời giải: Ta có : Từ 25 đến 45 có 5 số nguyên tố là : 29;31;37;41;43 Nên ta có bảng sau : 6a 13 29 31 37 41 43 8 14 a 3 4 5 3 3 Mà a là số nguyên tố nên a 3hoặc a 5 . Vậy a 3hoặc a 5 . Bài 14: Tìm các số nguyên tố a,b,c sao cho a.b.c 3(a b c) . Lời giải: Vì a.b.c 3(a b c) abc3
4. ( Loại2q vìq q2 là3 số nguyên tố nên q2 3 r 3 ) +Nếu q 3 thì r 32 23 17 là số nguyên tố ( Thỏa mãn ). Vậy (p,q,r) (2,3,17);(3,2,17) . Bài 17: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố liên tiếp sao cho tổng bình phương của ba số này cũng là số nguyên tố. Lời giải: Gọi bộ ba số nguyên tố liên tiếp đó là p,s,r, (p s r) Nếu p,s,r đều không chia hết cho 3 thì p2 ,s2 ,r2 đều chia 3 dư 1 p2 s2 r2 3 Mà p2 s2 r2 3 nên p2 s2 r2 là hợp số ( Trái với GT, loại ) Do đó có ít nhất một trong 3 số p,s,r chia hết cho 3. + Nếu p 3 thì s 3,r 5 Khi đó p2 s2 r2 32 52 72 83 là số nguyên tố ( Thỏa mãn ) + Nếu s 2 thì p 2,r 5 Khi đó p2 s2 r2 22 32 52 28 không là số nguyên tố ( Trái với GT, loại ) +Nếu r 3 thì s 2;p 2 (Vô lí vì p là số nguyên tố, loại ) Vậy 3 số nguyên tố cần tìm là : 3;5;7 Bài 18: Tìm tất cả các bộ ba số a,b,c sao cho abc ab bc ac Lời giải: Vì a,b,c có vai trò như nhau nên giả sử a b c khi đó ab bc ac 3bc abc 3bc a 3 a 2 vì a là số nguyên tố. Với a 2 thì ta có 2bc 2b 2c bc bc 2(b c) 4c b 2 b 4 ( vì p là số nguyên tố ) b 3 + Nếu b 2 thì 4c 4 4c thỏa mãn với c là số nguyên tố bất kì + Nếu b 3 thì 6c 6 5c c 6 c 3;5 Vậy các cặp số (a,b,c) cần tìm là (2,2,p);(2,3,3);(2,3,5) và các hoán vị của chúng, với p là số nguyên tố.
5. Với p 3 ta có p2 2 p ( p2 1) (2 p 1) . Vì p lẻ và p không chia hết cho 3 nên ( p2 1)3 và (2 p 1)3 , do đó 2 p p2 là hợp số. Vậy với p 3 thì 2 p p2 là số nguyên tố. Dạng 2 : Các bài toán chứng minh về số nguyên tố. Bài 24: Chứng minh rằng với n N,n 2 thì 2n 1,2n 1 không thể đồng thời là số nguyên tố. Lời giải: Xét dãy số: 2n 1;2n ;2n 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp. Vì (2,3) 1 (2n ,3) 1 Vì dãy số: 2n 1;2n ;2n 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3. Mà (2n ,3) 1 nên một trong hai số 2n 1;2n 1 chia hết cho 3. Suy ra n N,n 2 thì 2n 1,2n 1 không thể đồng thời là số nguyên tố. Bài 25: Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n,(n 1) luôn tìm được n số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số. Lời giải: Chọn số tự nhiên a 2.3.4 n. n 1 Khi đó ta có n số tự nhiên liên tiếp là a 2,a 3,a 4, ,a n,a n 1 đều là hợp số vì n số trên lần lượt chia hết cho 2,3,4, ,n,n 1 ( điều phải chứng minh). Bài 26: Chứng minh rằng nếu a,a m,a 2m đều là các số gnuyeen tố lớn hơn 3 thì m chia hết cho 6. Lời giải: Các số nguyên tố lớn hơn 3 đều là số lẻ. Nếu m là số lẻ thì a m là số chẵn lớn hơn 3 nên không là số nguyên tố. Suy ra m là số chẵn. Đặt m 2 p,( p N * ) . Nếu p 3k 1,(k N) thì ba số đã cho là: a,a 6k 2,a 12k 4 Nếu a chia cho 3 dư 1 thì a 6k 23, không thỏa mãn đề bài. Nếu a chia cho 3 dư 2 thì a 12k 43, không thỏa mãn đề bài. Vậy p không có dạng p 3k 1,(k N) Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được p không có dạng p 3k 2,(k N) Do đó p 3k,(k N) m 6k m6 Vậy m chia hết cho 6. Bài 27: a) Chứng minh rằng số dư trong phép chia của một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên tố. Khi chia cho 60 thì kết quả ra sao?
6. Dạng p 3k 1không xảy ra vì nếu p 3k 1thì p 2 3k 33là hợp số (Loại) p 3k 2 p 1 3k 33 (2) Từ (1) , (2) p 16 ĐPCM Bài 31: Chứng minh rằng số dư trong phép chia một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên tố. Lời giải: Giả sử p là số nguyên tố và p có dạng p 30k r 2.3.5.k r(k N* ,r N* ,0 r 30) Nếu r là hợp số thì r có ước nguyên tố q sao cho q2 30 q 2,3,5 Nhưng với q 2,3,5 thì p lần lượt chia hết cho 2,3,5 ( Vô lý ) Vậy r 1 hoặc r là số nguyên tố. Bài 32: Cho dãy số nguyên dương a1,a2 , ,an được xác định như sau: a1 2,an là ước nguyên tố của a1a2a3 an 1 1với n 2 . Chứng minh rằng ak 5,k N *. Lời giải: Ta có a1 2,a2 3 , giả sử với n 3 nào đó mà có số 5 là ước nguyên tố lớn nhất của số m A 2.3.a3 an 1 1 thì A không thể chia hết cho 2, cho 3. Vậy chỉ có thể xảy ra A 5 với m 2 . Suy ra A 1 5m 14 . Mà A 1 2.3.a3 an 1 không chia hết cho 4 do a3 an 1 là các số lẻ (vô lí). Vậy A không có ước nguyên tố của 5, tức là a 5,k N *. Bài 33: Trong dãy số tự nhiên có thể tìm được 1997 số liên tiếp nhau mà không có số nguyên tố nào hay không ? Lời giải: Chọn dãy số: a1 1998! 2 a1 2 a 2 1998! 3 a 2 3 a3 1998! 4 a3 4 . a1997 1998! 1998 a1997 1998 Như vậy: Dãy số a1;a 2 ;a3 ; ;a1997 gồm có 1997 số tự nhiên liên tiếp không có số nào là số nguyên tố.
7. Suy ra a {1;2;7} . Vậy abcd {1979;2979;7979} . Bài 3: Cho các số p bc a,q ab c,r ca b là các số nguyên tố. Chứng minh trong 3 số p,q,r có ít nhất 2 số bằng nhau. ( Trích đề HSG lớp 6 TP Bắc Ninh năm học 2018-2019) Lời giải: Trong 3 số a,b,c có ít nhất 2 số cùng tính chẵn lẻ. Giả sử hai số cùng tính chẵn lẻ là a và b . Suy ra p bc a là số nguyên tố chẵn nên p 2 . Suy ra a b 1. Khi đó q c 1 và r c 1 nên q r . Vậy trong ba số p,q,r có ít nhất 2 số bằng nhau. Bài 4: Giả sử p và p 2 là các số nguyên tố. Chứng tỏ p3 p2 1 cũng là số nguyên tố. ( Trích đề HSG lớp 6 Gia Bình năm học 2018-2019) Lời giải: +) Với p 2 thì p2 2 8 không là số ngàyên tố. +) Với p 3 thì p2 2 11 và p3 p2 1 37 đều là số nguyên tố. +) Với p 3 p 3k 1(k N,k 2) p2 2 (3k 1)2 2 9k 2 6k 3 3(3k 2 2k 1)3 nên p2 2 là hợp số. Vậy chỉ có p 3 thì p2 2 và p3 p2 1 đều là số nguyên tố. Bài 5: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p20 1 chia hết cho 100. ( Trích đề HSG lớp 9 huyện Lục Nam năm học 2018-2019) Lời giải: Ta có p20 1 ( p4 1)( p16 p12 p8 p4 1) . Do p là sốnguyên tố lớn hơn 5 nên p là một số lẻ. p2 1 và p2 1 là các số chẵn. p4 1 chia hết cho 4. p20 1 chia hết cho 4. Vì p là số nguyên tố lớn hơn 5 p là một số không chia hết cho 5.
8. Khi đó ta được (2k 1)2 2q2 1 4k 2 4k 1 2q2 1 2k(k 1) q2 . Do đó q2 là số chẵn nên q là số chẵn. Mà q là số nguyên tố nên q 2 . Thay vào p2 2q2 1 ta suy ra được p 3 . Vậy cặp sô nguyên tố ( p,q) (3,2) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài 9: Tìm số nguyên tố có hai chữ số khác nhau có dạng xy(x y 0) sao cho hiệu của số đó với số viết theo thứ tự ngược lại cuả số đó là số chính phương. ( Trích đề HSG lớp 6 huyện Thái Thụy năm học 2018-2019) Lời giải: Theo đề bài ra ta có: xy yx là số chính phương. Khi đó 10x y (10y x) 10.(x y) (x y) 9(x y) là số chính phương. Suy ra x y là số chính phương. Vì x y 0 nên x, y {1,2, ,9}. Ta xét các trường hợp sau: + TH1: x y 1 và xy là số nguyên tố nên xy 43 . + TH2: x y 4 và xy là số nguyên tố nên xy 73 . + TH3: x y 9 và xy là số nguyên tố nên không có số nào thỏa mãn. Vậy xy {43;73} Bài 10: Tìm các số nguyên tố p,q và số nguyên x thỏa mãn x5 px 3q 0 . ( Trích đề HSG lớp 6 huyện Kiến Xương năm học 2016-2017) Lời giải: Ta có x5 px 3q 0 x(x4 p) 3q . Vì q là số nguyên tố và x là số nguyên nên từ phương trình trên ta suy ra x { 1; 3; q; 3q}. Ta xét các trường hợp sau: + Nếu x 1, khi đó từ phương trình trên ta được 1 p 3q . Do q là số nguyên tố nên: - Khi q 2 thì ta được p 5 . - Khi q 2 thì 3q là số lẻ nên p là số nguyên tố chẵn. Do đó p 2 nên q 1 không phải là số nguyên tố. + Nếu x 3, khi đó từ phương trình trên ta được p 81 q . Do đó p là số nguyên tố chẵn và q là số nguyên tố lẻ. Từ đó ta được p 2;q 83.
9. Lời giải: 2 1 1 1 7 Từ giả thiết suy ra . Để không giảm tính tổng quát giả sử a b c 1. 3 a b c 10 2 3 Suy ra 2c 9 , do đó c 2;3 . 3 c 2 1 1 1 7 1 1 1 1 1 2 1 1 Với c 2 suy ra và . 3 2 b c 10 6 a b 5 6 b b 5 Do đó b 7;11 . 1 1 1 1 1 1 2 + Với b 7 , khi đó từ suy ra a 19;23;29;31;37;41 . 6 a b 5 42 a 35 1 1 1 1 5 1 6 + Với b 11 từ suy ra a 13 do a b . 6 a b 5 66 a 55 1 1 1 11 1 2 Với c 3 từ giả thiết suy ra b 6 b 5 (do b c ). 3 a b 30 3 b 1 1 1 11 15 Thay b 5 vào ta được 6 a a 7 . 3 a b 30 2 Vậy các bộ ba số nguyên tố khác nhau a;b;c thỏa mãn là: 19;7;2 , 23;7;2 , 29;7;2 , 31;7;2 , 37;7;2 , 41;7;2 , 13;11;2 , 7;5;3 và các hoán vị của nó. Bài 14: Tìm tất cả các bộ ba nguyên tố ( p;q;r) sao cho pqr p q r 160 . ( Trích đề HSG lớp 9 Ninh Bình năm học 2018-2019). Lời giải: Không mất tính tổng quát giả sử p q r . Với p 2 thì 2qr q r 162 4qr 2q 2r 324 . 2q(2r 1) (2r 1) 325 (2q 1)(2r 1) 325 52.13 . 3 2q 1 2r 1 9 (2q 1)2 (2r 1)(2q 1) 9 (2q 1)2 325 3 2q 1 18. Do 2q 1 là ước của 52.13 nên 2q 1 5;13 . Nếu 2q 1 5 q 3 r 33 ( loại). Nếu 2q 1 13 q 7 r 13( thỏa mãn). pqr p q r 160 p(qr 1) q r 160 . (qr 1)( p 1) qr 1 q r 160 (qr 1)( p 1) q(r 1) (r 1) 2 160 . (qr 1)( p 1) (q 1)(r 1) 162 .