Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 5: Số nguyên tố, hợp số - Chủ đề 3: Các bài toán về hợp số (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 5: Số nguyên tố, hợp số - Chủ đề 3: Các bài toán về hợp số (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ CHỦ ĐỀ 3:CÁC BÀI TOÁN VỀ HỢP SỐ PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.SỐ NGUYÊN TỐ -Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1,chỉ có 2 ước là 1 và chính nó. -Số nguyên tố nhỏ nhất vừa là số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2. -Không thể giới hạn số nguyên tố cũng như tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố là vô hạn. -Khi 2 số nguyên tố nhân với nhau thì tích của chúng không bao giờ là một số chính phương. -Ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên được coi là số nguyên tố. -Để kết luận số tự nhiên a là một số nguyên tố ( a 1),chỉ cần chứng minh a không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a. aM p -Nếu tích abM p (p là số nguyên tố) bM p -Đặc biệt nếu an M p aM p (p là số nguyên tố) -Mọi số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng: 4n 1(n N * ) -Mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng: 6n 1(n N * ) -Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị. 2.HỢP SỐ -Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước nguyên dương. -Để chứng tỏ một số tự nhiên a ( a 1) là hợp số,chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a. -Ước số nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phương lên không vượt quá nó. -Một hợp số bằng tổng các ước của nó (không kể chính nó) được gọi là: Số hoàn chỉnh. -Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất(không kể thứ tự các thừa số) 3.HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU -Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước chung lớn nhất bằng 1. a,b nguyên tố với nhau (a,b) 1;(a,b N * ) - Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau - Hai sô nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau - Các số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau - Các số a,b,c nguyên tố cùng nhau (a,b,c) 1
2. a) Ta có : 5.6.7 8.9 3 5.2.7 8.3 M3 tổng trên là hợp số b) Ta có : 5.7.9.11.13 2.3.7 7 5.9.11.13 2.3 M7 tổng trên là hợp số c) Ta có: 5.7.11 là 1 số lẻ và 13.17.19 cũng là 1 số lẻ, nên tổng là số chẵn M2 Là hợp số d) Ta có: 4253 1422 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5. Vậy tổng trên là hợp số Bài 3: Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số a) 17.18.19.31 11.13.15.23 b) 41.43.45.47 19.23.29.31 c)987654 54321 Lời giải a) Ta có: 17.18.19.31 11.13.15.23 3 17.6.19.31 11.13.5.23 M3 17.18.19.31 11.13.15.23 là hợp số b) Ta có: 41.43.45.47 là số lẻ, 19.23.29.31 là số lẻ, nên 41.43.45.47 19.23.29.31 là số chẵn nên 41.43.45.47 19.23.29.31 là hợp số c) Ta có: 987654 54321 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5 nên tổng trên là hợp số Bài 4: Các số tự nhiên abab; abcabc; ababab là số nguyên tố hay hợp số. Lời giải Ta có abab 101.ab có nhiều hơn hai ước số. abcabc 1001.abc 1.11.13.abc có nhiều hơn hai ước số. ababab 101o1.ab 3.7.13.37.ab có nhiều hơn hai ước số. Vậy các số tự nhiên abab; abcabc; ababab là hợp số. Bài 5: Nếu p là số nguyên tố thì a. p2 p 2 là số nguyên tố hay hợp số b. p2 200 là số nguyên tố hay hợp số Lời giải: a) Ta có: p2 p 2 p( p 1) 2 Vì p; p 1 là hai số liên tiếp nên p p 1 là số chẵn Nên p2 p 2 là số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số . b) - Với p 2 p2 200 là số chẵn lớn hơn 2 p2 200 là hợp số - Với p 3 p2 200 209M7 p2 200 là hợp số - Với p 3 p2 :3 dư 1; 200M3dư 2 p2 200 M3 p2 200 là hợp số Vậy p2 200 luôn là hợp số.
3. Bài 8: Cho p và p 8 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p 100 là số nguyên tố hay là hợp số? Lời giải: Ta thấy p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3n 1;3n 2,(n N * ) * TH1: p 3n 1,(n N ) thì p 8 3n 9 3(n 3)M3 Mà p 8 là số lớn hơn 3 nên p 8 là hợp số ( Vô lí vì p 8 là số nguyên tố ) TH2: p 3n 2(n N * ) thì p 8 3n 10 Khi đó p 100 3n 2 100 6n 102 3(2n 34)M3 Mà p 100 là số lớn hơn 3 nên p 100 là hợp số. Bài 9: Cho p và 8p 1 là các số nguyên tố ( p 3) . Chứng minh 4 p 1 là hợp số. Lời giải: Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p chia 3 dư 1 hoặc dư 2 p có dạng 3k 1;3k 2(k ¥ * ) Nếu p 3k 1 8p 1 24k 9 3 8k 3 M3 8p 1 là hợp số ( Vô lí vì 8p 1 là số nguyên tố) Vậy p 3k 2 khi đó 4 p 1 12k 9 3(4k 3)M3 và 12k 9 3 nên là hợp số. Vậy nếu p và 8p 1 là các số nguyên tố ( p 3) thì 4 p 1 là hợp số. Bài 10 : Cho p và 2 p 1 là các số nguyên tố ( p 3) . Chứng minh 4 p 1 là hợp số. Lời giải: Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p chia 3 dư 1 hoặc dư 2 p có dạng p 3k 1, p 3k 2 k ¥ * +) Nếu p 3k 1 thì 2 p 1 6k 3M3 và 6k 3 3nên là hợp số ( mâu thuẫn với giả thiết 2 p 1 là các số nguyên tố) Vậy p 3k 2 Khi đó 4 p 1 12k 9M3và12k 9 3 nên là hợp số. Vậy nếu p và 2 p 1 là các số nguyên tố ( p 3) thì 4 p 1 là hợp số.(đpcm) Bài 11: a) Cho p và p 2 là số nguyên tố ( p 3) . Chứng minh p 1 là hợp số và p 1M6 b) Cho p và p 4 là các số nguyên tố . Chứng minh p 2021 là hợp số. Lời giải: a) Với p 3 , ta có p, p 1, p 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp Do đó trong 3 số trên có 1 số chia hết cho 3 1 Mà p; p 2 là các số nguyên tố nên p 1M3và p 3 p 1 là hợp số Lại có số nguyên tố p 3 Nên p 1 là số chẵn p 1M2 2 Từ (1)(2) p 1M6
4. 1112111 1111000 1111 1111(103 1) n 111. 12111. 1 111. 1000. 0 1 1 1 111  1(1 0 0 1) 1 1 1(10 1) là hợp số n n n 1 n n 1 n 1 n n 1 Bài 16: Chứng minh rằng 1 1 122  2(n 2) là hợp số. n n Lời giải: Ta có: 1 1 122  2 1 1 100  0 22  2 n n n n n 1 1 122  2 1 1 1.100  0 2.11  1 n n n n n 1 1 122  2 1 1 1. 100  0 2 là hợp số n n n n Bài 17: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư là hợp số. Tìm số dư đó Lời giải: Gọi p là số nguyên tố theo đầu bài, khi đó: p 42.k r 2.3.7k r(0 r 42) Vì r là hợp số 2 r 42 Vì p là số nguyên tố r không chia hết cho 2,3,7 Mà r là hợp số nên r 25là giá trị cần tìm Vậy r 25 Bài 18: Một số nguyên tố chia cho 60 có số dư là r . Tìm số dư, biết rằng r có thể là hợp số hay là số nguyên tố không? Lời giải: Giả sử p là số nguyên tố: p 60k r(k N;0 r 60);60 22.3.5 p 22.3.5.k r r M 2,3,5 r 1 hoặc r là số nguyên tố hoặc là hợp số và không chia hết cho 2, 3, 5 r 1 r 1 hoặc r là số nguyên tố khác 2, 3, 5 hoặc r = 49 r 49 Bài 19: Cho p và p 2 là các số nguyên tố ( p 3 ).Chứng minh rằng tổng của hai số nguyên tố đó chia hết cho 12. Lời giải: Đặt A p p 2 2 p 2 2 p 1 Và p 2 p 1 3 Xét 3 số liên tiếp p 1, p, p 1 phải có 1 số chia hết cho 3
5. Bài 19: Cho F x ax3 bx2 cx d a ¢ , biết F 5 F 3 2010 . Chứng minh rằng: F 7 F 1 là hợp số. Lời giải Ta có 2010 F 5 F 3 53 33 a 52 32 b 5 3 c 98a 16b 2c 16b 2c 2010 98a F 7 F 1 73 13 a 72 12 b 7 1 c 342a 48b 6c 342a 3 16b 2c 342a 3 2010 98a 48a 6030 3. 16a 2010 M3 Vì a nguyên dương nên 16a 2010 1. Vậy F 7 F 1 là hợp số. Bài 20: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3, sao cho 14p + 1 cũng là số nguyên tố thì 7p + 1 là bội số của 6. Lời giải Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ không chia hết cho 2 và 3 Khi đó 7 p 1 là 1 số chẵn nên chia hết cho 2 Mặt khác vì p không chia hết cho 3 nên p có dạng p 3k 1, p 3k 2, k ¥ * Với p 3k 1 giả sử là số nguyên tố, 14 p 1 45k 15M3 nên p 3k 1 l Với p 3k 2 14 p 1 42k 29 giả sử là số nguyên tố, khi đó: 7 p 1 21k 15M3 Như vậy 7 p 1M6 Bài 21: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p 1 và p 1 không thể là các số chính phương Lời giải Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên pM2 và p không thể chia hết cho 4 (1) - Giả sử p + 1 là số chính phương, đặt p 1 m2 m N Vì p chẵn nên p 1 lẻ m2 lẻ => m lẻ Đặt m 2k 1 k N , ta có: m2 4k 2 4k 1 p 1 4k 2 4k 1 p 4k 2 4k 4k k 1 Mâu thuẫn với (1) => p + 1 không thể là số chính phương - Giả sử p 2.3.5 là M3 p 1 có dạng 3k+2 p 1 không là số chính phương Vậy nếu p là tích của n n 1 số nguyên tố đầu tiên thì p – 1 và p + 1 không là số chính phương Bài 22: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn : 10 p 1 cũng là số nguyên tố. CMR : 5p 1M6
6. c) Ta có : 4525 có chữ số tận cùng là 5 3715 có chữ số tận cùng là 3 4525 3715 có chữ số tận cùng là 8 4525 3715 là 1 số chẵn 4525 3715 là hợp số d) Ta có 95354 có chữ số tận cùng là 5 5125 có chữ số tận cùng là 1 95354 5125 có chữ số tận cùng là 6 95354 5125 là 1 số chẵn 95354 5125 là hợp số Bài 25: Chứng minh các số sau là hợp số a) 108 107 7 b) 175 244 1321 c) 42525 3715 Lời giải a)Ta có : 108 107 7 có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên là hợp số b) Ta có : 175 244 1321 là số chẵn nên là hợp số c) 42525 3715 là số chẵn nên là hợp số Bài 26: Chứng minh các số sau là hợp số 2n 1 4n 1 a) 1 27 311 513 717 1119 b) 195354 15125 c) 22 1,n ¥ d) 22 6,n ¥ Lời giải a) 1 27 311 513 717 1119 là số chẵn nên là hợp số. b) Ta có: 195354 15125 là số chẵn nên là hợp số 2n 1 n n 2 c) Ta có : 22n 1 22n.2 4n.2 22 24 .2 24 Ta có : n 24 có chữ số tận cùng là 6 n 2 24 có chữ số tận cùng là 6 2n 1 22 1có chữ số tận cùng là 5 2n 1 2n 1 22 1M5 22 1 là hợp số 2n 1 n n 2 d) Ta có : 24n 1 24n.2 16n.2 24 216 .2 216 Ta có :
7. b) B 1010101 c) C 1! 2! 3! 100! d) D 311141111 Lời giải: a) Tổng các chữ số của A là: 1 1 1 1 2022M3 AM3 mà A 3nên A là hợp số ( đpcm ) b) B 1010101 101.10001là hợp số ( đpcm ) c) Vì 1! 2! 3M3và 3! 4! 100! luôn chia hết cho 3 nên CM3 Mà C 3nên C là hợp số (đpcm ) d) D 311141111 311110000 31111 31111(10000 1)M31111 D là hợp số (đpcm ) 5125 1 Bài 31: Chứng minh rằng số N là hợp số. 525 1 Lời giải: Đặt 525 a , khi đó a5 1 N a4 a3 a2 a 1 a 1 (a4 9a2 1 6a3 6a 2a2 ) (5a3 10a2 1) (a2 3a 1)2 5a(a2 2a 1) (a2 3a 1)2 5.525 (a 1)2 2 2 13 2 (a 3a 1) 5 .(a 1) 2 13 2 13 a 3a 1 5 (a 1) a 3a 1 5 (a 1) N là tích của hai số nguyên lớn hơn 1 nên N là hợp số ( đpcm ) Bài 32: Cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn an M5 .Chứng minh rằng A an bn cn d n là hợp số. Lời giải: Giả sử (a,c) t(t ¥ * ) Đặt a a1t,c c1t;(a1,c1) 1 ab cd a1bt c1dt a1b c1d Mà (a1,c1) 1 bMc1 * Đặt b c1k d a1k,(k ¥ ) , Ta có
8. Ta tìm số dư trong phép chia 24n 1 và 34n 1 cho 10, tức là tìm chữ số tận cùng chúng. 24n 1 2.16n  2(mod10) 24n 1 10k 2,(k ¥ ) 34n 1 3.81n  3(mod10) 34n 1 10l 3,(l ¥ ) Mà 310 1(mod11) và 210 1(mod11) nên 4n 1 4n 1 23 32 5  310k 2 210l 3 5  32 23 5  0(mod11) 4n 1 4n 1 Mà 23 32 5 11 với mọi số tự nhiên n khác 0 4n 1 4n 1 Vậy 23 32 5 là hợp số với mọi số tự nhiên n khác 0. 9 p 1 Bài 35: Giả sử p là số nguyên tố lẻ và m . Chứng minh rằng m là hợp số lẻ không chia hết cho 3 8 và 3m 1 mod m . Lời giải: 9 p 1 3p 1 3p 1 3p 1 3p 1 Ta có m . a.b với a , b 8 2 4 2 4 Vì a,b là các số nguyên lớn hơn 1 nên m là hợp số. Mà m 9 p 1 9 p 2 9 1 và p là số nguyên tố lẻ nên m lẻ và m 1 mod 3 . 9 p 9 Theo định lí Fermat ta có 9 p 9M p và p, 8 1nên 9 p 9M8p m 1M M p 8 9 p 1 Vì m 1M2 nên m 1M2 p khi đó 3m 1 1M32 p 1M m (đpcm). 8 4n 1 Bài 36: Cho n ¥ , chứng minh rằng: 22 7 là hợp số. Lời giải: Với n ¥ ta có 24n 1 16n 1  0(mod5) 24n 2 2 2 24n 1 M10 24n 2 10k 2 k ¥ 4n 1 k 22 7 210 .22 7  22 7  0 mod11 24n 1 Mặt khác 2 7 11 n ¥ 4n 1 Vậy 22 7 là hợp số. PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. ( Khoảng 15 bài ) Bài 1: (HUYỆN BẠCH THÔNG NĂM 2018-2019) Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2015 hay không ? Vì sao ? Lời giải: Tổng của hai số nguyên tố bằng 2015 là số lẻ, nên một trong hai số nguyên tố phải là 2
9. Nếu p 5 và 2 p 1là các số nguyên tố thì 4 p 1 là số nguyên tố hay hợp số. Lời giải: Xét 3 số tự nhiên liên tiếp 4 p; 4 p 1; 4 p 2 , trong 3 số đó có 1 số là bội của 3 Mà p 5 và p là số nguyên tố nên p có dạng 3k 1hoặc 3k 2 k ¥ . Nếu p 3k 1thì 4 p 4 3k 1 3Q 1 p và 4 p 2 4 3k 1 2 p 3QM3 Mặt khác 4 p 2 2 2 p 1 3QM3 2 2 p 1 M3 mà 2;3 1nên 2 p 1M3 (trái với giả thiết). Nếu p 3k 2 4 p 1 4 3k 2 1 12k 9 3M M3 4 p 1 là hợp số. Vậy nếu p 5 và 2 p 1là các số nguyên tố thì 4 p 1 là hợp số. Bài 5: (HUYỆN THANH OAI NĂM 2017-2018) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: x2 45 y2 Lời giải: 2 2 2 x 45 y y 45, do đó . y .là số nguyên tố lẻ Suy ra x là số nguyên tố chẵn nên x 2.từ đó ta có: y2 4 45 49 y 7 Bài 6: (HSG NĂM 2018-2019) Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 2006 là số nguyên tố hay hợp số Lời giải: n là số nguyên tố nên n 3và không chia hết cho 3. Vậy n2 chia cho 3 dư 1 do đó n2 2006 3m 1 2006 3m 2007 3. m 669 M3 Vậy n2 2006 là hợp số. Bài 7: (HUYỆN HOÀNG HOÁ NĂM 2018-2019) Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 1chia hết cho 3 Lời giải: Xét số nguyên tố p khi chia cho 3. Ta có: p 3k 1hoặc p 3k 2 k ¥ * Nếu p 3k 1 p2 1 3k 1 2 1 9k 2 6kM3 Nếu p 3k 2 p2 1 3k 2 2 1 9k 2 12k 3M3 Vậy p2 1M3 Bài 8: (TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRỰC – KIM BÀI- NĂM 2017-2018) Cho P và P 4là các số nguyên tố với P 3.Chứng minh P 2014 là hợp số. Lời giải: Từ giả thiết ta có P 3k 1hoặc P 3k 2 k ¥ *
10. Lời giải: Với p là số nguyên tố Xét p 2 thì p 2 4 ; p 4 6 đều là hợp số (loại) Xét p 3 thì p 2 5 ; p 4 7 đều là số nguyên tố (nhận) Xét p 3 thì p có dạng 3k 1 hoặc 3k 2 , k là số nguyên dương - Với p 3k 1thì p 2 chia hết cho 3, p 2 3 nên p 2 là hợp số. - Với p 3k 2 thì p 4 là hợp số. Vậy p 3 Khi đó: p3 54 2x 1 2 2x 1 2 81 2x 1 9 x 5 (thỏa mãn) 2x 1 9 x 4 Bài 12: (PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOA LƯ) Cho B 9999931999 5555571997 . Chứng minh rằng B là hợp số. Lời giải: Số 9999931999 có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của 31999 499 Mà 31999 34 .33 81499.27 có chữ số tận cùng bằng 7 Số 5555571997 có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của 71997 499 Mà 71997 74 .7 2041499.7 có chữ số tận cùng bằng 7 B 9999931999 5555571997 có chữ số tận cùng bằng 0 BM5 và B 5nên B là hợp số. Bài 13: (PHÒNG GD&ĐT HUYỆN TIÊN DU) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3, sao cho 2 p 1 cũng là số nguyên tố thì 4 p 1 là hợp số. Lời giải: + Nếu p 3 thì p có dạng p 3k 1; p 3k 2 + Nếu p 3k 1ta có 2 p 1 2(3k 1) 1 6k 3chia hết cho 3 nên là hợp số (loại) + Nếu p 3k 2ta có 2 p 1 2(3k 2) 1 6k 5 (thõa mãn) 4 p 1 4(3k 2) 1 12k 9 chia hết cho 3 nên là hợp số Vậy 4 p 1 là hợp số. Bài 14: (UBND HUYỆN PHÚ XUYÊN)
11. Bài 17: (ĐỀ HSG LỚP 9) Tìm tất cả các số nguyên dương n để A n2021 n2020 1 là hợp số. Lời giải: Với n 1 A 3 không là hợp số. Với n 1 A n2021 n2020 1 n2021 n2 n2020 n n2 n 1 n2 n2019 1 n n2019 1 n2 n 1 3 Mà n2019 1 n673 1Mn3 1; n3 1M n2 n 1 n2019 1Mn2 n 1 AMn2 n 1 Mà n ¢ ,n 1nên A n2021 n2020 1 n2 n 1 1. Vậy A là hợp số với mọi số nguyên dương n 1. Bài 18: (ĐỀ HSG LỚP 9) Chứng minh rằng nếu a b c d 0 thì A a3 b3 c3 d 3 là hợp số. Lời giải: Ta có a b c d 0 a c b d 3 3 a c b d a3 c3 3ac a c b3 d 3 3bd b d a3 b3 c3 d 3 3ac a c 3bd b d a3 b3 c3 d 3 3ac b d 3bd b d a3 b3 c3 d 3 3 ac bd b d M3 Vậy nếu a b c d 0 thì A a3 b3 c3 d 3 là hợp số. Bài 19: (ĐỀ THI VÔ ĐỊCH TOÁN ANH) Chứng minh rằng A 19.8n 17 là hợp số với n ¥ . Lời giải: Xét các trường hợp n 2k, n 4k 1, n 4k 3. Nếu n 2k A 19.82k 17 18.82k 82k 18 1 Mà 82k 64k 63 1 k , 63 3.21nên 82k :3 dư 1 AM3. Nếu n 4k 1 A 19.84k 1 17 13.84k 1 6.8.642k 17 13.84k 1 39.642k 9. 1 65 2k 13 4 Chú ý rằng 65 135. 1 65 2k :3 dư 1 nên AM3.