Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 2: Dùng các tính chất chia hết và số dư để chứng minh một số không phải là số chính phương (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 2: Dùng các tính chất chia hết và số dư để chứng minh một số không phải là số chính phương (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 6-SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 2: DÙNG CÁC TÍNH CHẤT CHIA HẾT VÀ SỐ DƯ ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4 . 2. Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 3. Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25 4. Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16. ➢ Tổng quát: Số chính phương chia hết cho p2n 1 thì chia hết cho p2n 2 ( p là số nguyên tố, n ¥ ) * Phương pháp chứng minh một số không là số nguyên tố bằng quan hệ chia hết: 2 Ta có: AM p và p là số nguyên tố mà AM p A không phải là số chính phương. * Để chứng minh N không phải một số chính phương ta có thể: • Chứng minh N có tận cùng 2;3;7;8 hoặc N tận cùng là 2k 1 chữ số 0 . • Chứng minh N chứa số nguyên tố với số mũ lẻ. • Xét số dư khi N chia cho 3 hoặc 4 hoặc 5 hoặc 8 , Chẳng hạn N chia 3 dư 2 hoặc chia 4 dư 2 ; hoặc chia 5 dư 3 thì N không là số chính phương. • Chứng minh N nằm giữa hai số chính phương liên tiếp. PHẦN II. CÁC BÀI TẬP Các dạng bài chứng minh một số không phải là số chính phương DẠNG 1: A chia hết cho số nguyên tố p nhưng A không chia hết p2 Bài 1: Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không là số chính phương? Lời giải Số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 , do đó số có tỏng các chữ số là 2004 không thể là số chính phương. Bài 2: Tổng các chữ số của một số chính phương có thể là 1983 không? Lời giải Tổng các chữ số của một số là 1983 thì số đó chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 , nên không tồn tại số chính phương có tổng các chữ số là 1983. Bài 3: Cho các số tự nhiên: 1,2,3,4,5,6 . Lập được tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số bao gồm tất cả các chữ số trên. Trong các số đã lập có số nào là số chính phương không? Lời giải Tổng các chữ số của các số là 21 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 .
2. 4aM2 Ta có:  SM2 (1) 6M2  4aM4  S M 4 (2) 6M 4  Từ (1) và (2) S không là số chính phương Vậy tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương. Bài 9: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 101 thành một số A . Chứng minh A không là số chính phương. Lời giải Ta có: A 1234 100101 Ta có tổng các chữ số của A là: 1 2 3 4 100 101 1 101 .101:2 5151 Ta thấy: 5151M3 AM3 5151M 9 AM 9 Do đó A không là số chính phương. Bài 10: Số A 11 112 113 có phải là số chính phương không? Lời giải: Ta có: A 11 112 113 Suy ra: A.11 11.11 112 .11 113 .11 112 113 114 A.11 A 112 113 114 11 112 113 A 112 112 113 113 114 11 0 0 114 11 114 11 AM11  Ta thấy: 2 2  A không là số chính phương A 11 1 11 11M11  Bài 11: Viết liên tiếp từ 1 đến 12 được số H 12341112 . Số H có thể có 81 ước được không? Lời giải Giả sử số H có 81 ước. Vì số lượng các ước của H là 81 (là số lẻ) nên H là số chính phương 1 mặt khác, tổng của các chữ số của H là: 1 2 3  9 (1 0) (1 1) (1 2) 51.Vì 51M3; 51M 9 ; nên H chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 , do đó H không là số chính phương mâu thuẫn với 1 . Vậy H không thể có 81 ước. Bài 12: Một số tự nhiên gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 có thể là một số chính phương không?
3. Bài 3: Chứng minh rằng ababab không là số chính phương. Lời giải Ta có: n2 ababab ab.10101 ab.3.7.13.37 Vì 3,7,13,37 là số nguyên tố nên abM10101 (Vô lý). Do đó ababab không là số chính phương. DẠNG 4: Chứng minh A chia 3 dư 2 , chia 4 dư 2 ; 3 ; chia 5 dư 2 , 3 ; chia 8 dư 2 ;3 ; 5 ; 6 Bài 1: a. Chứng minh rằng với n N thì 2n2 2n 3 không là số chính phương b. Chứng minh rằng với n N thì 3n 1002 không là số chính phương Lời giải 2n2 2n 3 2n(n 1) 3 a.  chia 4 dư 3 nên không là số chính phương M4 b. - n 0 3n 1002 1003 không là số chính phương - n 1 3n 1002 1005M3, !9 không là số chính phương - n 2 3n 1002M3, ! 9 không là số chính phương Bài 2: Chứng minh rằng một số có tổng các chữ số của nó là 2006 không phải là một số chính phương Lời giải Số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. Số trên có tổng các chữ số là 2006 nên chia 3 dư 2 , vậy không phải là số chính phương. Bài 3: Một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 thì có thể là số chính phương được không? Tại sao? Lời giải Gọi số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 là n . Ta có: 2018 3m 2, m ¥ nên số tự nhiên n chia 3 dư 2 , do đó số n có dạng 3k 2 với k là số tự nhiên. Mặt khác số chính phương không có dạng 3k 2 suy ra số tự nhiên n không là số chính phương. Bài 4: Chứng minh rằng A 20124n 20134n 20144n 20154n không phải là số chính phương với mọi số nguyên dương n . Lời giải Ta có: 20124n  0(mod 2) ; 20134n 1(mod 2) ; n ¥ * 20144n  0(mod 2) ; 20154n 1(mod 2) Do đó: A 2  0(mod 2) . Ta lại có: 2012 0(mod 4) 20124n  0(mod 4)
4. Do đó: 2N 1 không là số chính phương. +) Ta có: 2N 2.1.3.5.7 2011 2N chẵn Do đó: N lẻ N M 2 và 2NM2 nhưng 2N M 4 Ta thấy 2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 hoặc dư 3 Vậy 2N không là số chính phương +) Ta có: 2N 1 2.1.3.5.7 2011 1 Ta thấy 2N 1 lẻ nên 2N 1M 4 2N M 4 nên 2N 1 không chia cho 4 dư 1 Do đó: 2N 1 không là số chính phương. Bài 8: Chứng minh số A 235 2312 232003 không là số chính phương. Lời giải Ta có: 23 chia 3 dư 2 nên 235 chia 3 dư 2 2312 chia 3 dư 1 232003 chia 3 dư 2 Suy ra: A 235 2312 232003 chia 3 dư 2 Vậy A không là số chính phương. Bài 9: Chứng minh C 44 4444 444444 44444444 15 không là số chính phương. Lời giải Ta có: 4 chia hết cho 4 nên 44 chia hết cho 4 44 chia hết cho 4 nên 4444 chia hết cho 4 444 chia hết cho 4 nên 444444 chia hết cho 4 4444 chia hết cho 4 nên 44444444 chia hết cho 4 Suy ra: 44 4444 444444 44444444 chia hết cho 4 Mà: 15 chia 4 dư 3 Do đó: C 44 4444 444444 44444444 15 chia 4 dư 3 Vậy C không là số chính phương. Bài 10: Chứng minh D 20044 20043 20042 23 không là số chính phương. Lời giải Ta thấy: 2004M3 20044 M3 Tương tự 20043 M3 , 20042 M3
5. Do đó A không là số chính phương. Bài 15: Chứng minh 3n 63 không phải là số chính phương với n ¥ ;n 0;4 Lời giải: Xét n lẻ. Đặt n 2k 1; k ¥ Ta có: 32k 1  1 2k 1 mod 4  1 mod 4 633 mod 4 32k 1 63 2 mod 4 32k 1 63 không là số chính phương Xét n chẵn. Đặt n 2k ; k 0 Vì yM3 nên ta đặt y 3t t ¥ Khi đó, ta có: 32k 63 9t 2 32k 2 7 t 2 2 t 2 3k 1 7 t 3k 1 t 3k 1 7 t 3k 1 1 k 1 t 3 7 2.3k 1 6 3k 1 3 k 2 n 4 (trái với giả thiết đề bài) Vậy: 3n 63 không phải là số chính phương với n 0;4 Bài 16: Chứng minh n7 34n 5 không là số chính phương. Lời giải: Bổ đề: x2 i mod 7 ;i 0;1;2;4 Theo định lí Fermat, ta có: n7  n mod 7 n7 34n 535n 5 mod 7 n7 34n 56 mod 7 Giả sử n7 34n 5 x2 , x ¥ Suy ra: x2 5 mod 7 (vô lý) Do đó: n7 34n 5 không là số chính phương.
6. Số này có hai chữ số tận cùng là 25 nên chia cho 3 dư 1 và chia cho 4 cũng dư 1, nên không thể áp dụng bằng cách trên. Lời giải: Cách 1: Ta thấy: 20032 401209 ; 20042 4016016 . Nên 20032 4014025 20042 . Chứng tỏ số 4014025 không phải là số chính phương. Cách 2: Ta có: 4014025 25.160561 Muốn 4014025 là số chính phương thì 160561 phải là số chính phương Ta lại có: 4002 160000 4012 160801 Mà: 160000 160561 160801 160561 không là số chính phương. Do đó số 4014025 không là số chính phương PHẦN III. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số m ¥ thì số A 1 92m 802m 19802m không là số chính phương. Lời giải Bất kì số chính phương nào cũng có dạng 4n hoặc 4n 1, n ¥ . Ta có: A 1 92m 802m 19802m có dạng 4q 2 , q ¥ Suy ra: A không là số chính phương. Bài 2: Chứng minh rằng bình phương của hai số lẻ bất kì không phải là số chính phương. Lời giải Gọi hai số lẻ bất kì là a và b . Vì a và b lẻ nên a 2k 1; b 2m 1; k ;m ¥ Suy ra: a2 b2 2k 1 2 2m 1 2 4k 2 4k 1 4m2 4m 1 4 k 2 k m2 m 2 4t 2; t ¥ Do đó: a2 b2 không là số chính phương. Bài 3: Chứng minh rằng A n5 1999n 2017; n ¥ không là số chính phương.
7. A không là số chính phương * TH4: Nếu n chia 5 dư 3 thì n6 chia 5 dư 36 ; 36 729 chia 5 dư 4 n6 chia 5 dư 4 , n2 chia 5 dư 32 ; 32 9 chia 5 dư 4 n2 chia 5 dư 4 n6 n2 3 chia 5 dư 4 4 3 3 A chia 5 dư 3 A không là số chính phương * TH5: Nếu n chia 5 dư 4 thì n6 chia 5 dư 46 ; 46 4096 chia 5 dư 1 n6 chia 5 dư 1, n2 chia 5 dư 42 ; 42 16 chia 5 dư 1 n2 chia 5 dư 1 n6 n2 3 chia 5 dư 1 1 3 3 A chia 5 dư 3 A không là số chính phương Vậy A không là số chính phương với mọi n ¥ . Bài 6: Cho p là tích của 2016 số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng p 1 và p 1 không là số nguyên tố. (Đề HSG Hương Sơn năm học 2015 - 2016) Lời giải: Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho 2 và không chia hết cho 4 Ta chứng minh p 1 là số chính phương Giả sử p 1 là số chính phương. Đặt p 1 m2 . Vì p chẵn nên p 1 lẻ m lẻ m2 lẻ Đặt m 2k 1. Ta có: m2 4k 2 4k 1 p 1 4k 2 4k 1 p 4k 2 4k 4k k 1 chia hết cho 4 Ta chứng minh p 1 là số chính phương Ta có: p 2.3.5 chia hết cho 3 p 1 3k 2 Vì không có số chính phương nào có dạng 3k 2 nên p 1 không phải số chính phương Vậy nếu p là tích của 2016 số nguyên tố đầu tiên thì p 1 và p 1 không phải số chính phương.