Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 3: Phương pháp phản chứng giải bài toán số chính phương (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 3: Phương pháp phản chứng giải bài toán số chính phương (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 6 - SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG GIẢI BÀI TOÁN SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. ĐỊNH NGHĨA Số chính phương là số tự nhiên viết được dưới dạng bình phương đúng của một số nguyên. Ví dụ: 4 22 ; 16 42 . 2. SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHẴN, SỐ CHÍNH PHƯƠNG LẺ Một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu nó là bình phương của một số chẵn, là số chính phương lẻ nếu nó là bình phương của một số lẻ. (Nói một cách khác, bình phương của một số chẵn là một số chẵn, bình phương của một số lẻ là một số lẻ). 3. CÁC TÍNH CHẤT CHUNG CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG a) Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 không thể có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8. Như vậy để chứng minh một số không phải số chính phương ta chỉ ra số đó có hàng đơn vị là 2; 3; 7 hoặc 8. b) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các TSNT với số mũ chẵn, không chứa TSNT với số mũ lẻ. 2 4 2 2 Ví dụ: 3600 60 2 .3 .5 Để chứng minh một số không phải SCP ta chỉ ra số đó khi phân tích ra TSNT thì tồn tại thừa số nguyên tố chứa số mũ lẻ. c) Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng 3n hoặc 3n 1 a2  0,1 mod3 , không có SCP nào có dạng 3n 2 n ¥ * . d) Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng 4n hoặc 4n 1 a2  0,1 mod 4 , không có SCP nào có dạng 4n 2 hoặc 4n 3 n ¥ . e) Số các ước số của một số chính phương là số lẻ, ngược lại một số có số lượng các ước là lẻ thì đó là số chính phương. f) Nếu số chính phương chia hết cho p thì chia hết cho p2 . g) ✓ Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn (121, 49, ). ✓ Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2. ✓ Số chính phương tận cùng là 4 thì chữ số hàng chục là chẵn. ✓ Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ.
2. Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì n2 2 không là số chính phương. Lời giải: Giả sử n2 2 là số chính phương. Khi đó đặt n2 2 m2 m ¥ * . m2 n2 2 1 . m n . m n 2 1 . Như vậy, trong hai số m n và m n phải có ít nhất một số chẵn 2 . Mặt khác m n m n 2m chẵn. Suy ra hai số m n và m n cùng tính chẵn lẻ 3 . Từ 2 và 3 suy ra m n và m n là hai số chẵn. m n M2 m n M2 m n . m n M4 m2 n2 M4 mà 2M 4 , so sánh điều này với 1 , ta thấy đây là điều vô lý. Vậy với mọi số nguyên dương n thì n2 2 không là số chính phương. Bài 3: Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương. Lời giải: Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp lần lượt là n , n 1, n 2 , n 3 và n 4 n ¥ * Đặt S n n 1 n 2 n 3 n ¥ * Ta đi chứng minh S không là số chính phương. Giả sử S m2 0 m ¥ * 1 . n n 1 n 2 n 3 m2 . n2 3n n2 3n 2 m2 . Đặt n2 3n a a N * . a a 2 m2 . a2 2a m2 . a2 2a 1 m2 1. 2 a 1 m2 1. a 1 m a 1 m 1
3. Vậy nếu số tự nhiên abc là số nguyên tố thì b2 4ac không là số chính phương. Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 thì 2n 1 không là số chính phương. Lời giải: Với n 2 2n 1 3 không là số chính phương. Với n 2 : Giả sử 2n 1 là số chính phương. 2 Mà 2n 1 là số lẻ nên 2n 1 2k 1 2n 1 4k 2 4k 1. 2n 4k 2 4k 2 * . Vì n 2 nên 2n M4 1 . Mà 4k 2 4k 4k k 1 M4 . Nên 4k 2 4k 2M 4 2 . So sánh 1 và 2 với * , ta thấy mâu thuẫn với nhau. Vậy với mọi số tự nhiên n 2 thì 2n 1 không là số chính phương. Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 thì A n4 2n3 2n2 2n 1 không là số chính phương. Lời giải: Với n 1: Giả sử A là số chính phương. A k 2 n4 2n3 2n2 2n 1 k 2 . n2 (n2 2n 1) (n2 2n 1) k 2 . n2 (n 1)2 (n 1)2 k 2 (n2 1)(n 1)2 k 2 . (n2 1) là số chính phương với mọi n 1 (vô lí). Vậy với mọi số tự nhiên n 1 thì A n4 2n3 2n2 2n 1 không là số chính phương. Bài 9: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì B n3 n 2 không là số chính phương. Lời giải: Với n = 0 thì B n3 n 2 2 không là số chính phương. Giả sử với mọi số tự nhiên n 1, B là số chính phương. B k 2 n3 n 2 k 2 k ¥ * .
4. 2 2 Vì với n ¥ * thì n2 2n 2 n 1 1 n 1 và n2 2n 2 n2 2 n 1 n2 n 1 2 n2 2n 2 n2 n2 2n 2 không là số chính phương. Vậy với mọi số tự nhiên n 1thì D n6 n4 2n3 2n2 không là số chính phương. Bài 12: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 thì E n2 n 1 không là số chính phương. Lời giải: Giả sử E là số chính phương. Khi đó: E k 2 n2 n 1 k 2 k ¥ * . Mà n2 n2 n 1 (n 1)2 n2 k 2 (n 1)2 . n k n 1 (vô lí). Vậy với mọi số tự nhiên n 1thì E n2 n 1 không là số chính phương. Bài 13: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n lẻ (n 1) thì F n3 1 không là số chính phương. Lời giải: Giả sử F là số chính phương. Khi đó: F k 2 k ¥ ,k 1 n3 1 k 2 . n3 k 2 1 n3 (k 1)(k 1) . Vì n là số tự nhiên lẻ nên n3 cũng là số lẻ k 1, k 1 là hai số tự nhiên lẻ liên tiếp và chúng nguyên tố cùng nhau nên k 1 a3 3 với a, b lẻ và a>b. k 1 b 2 a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) 6 (*). Vì a b 2 và a2 ab b2 3 nên (*) vô lí. Vậy với mọi số tự nhiên n 1thì E n2 n 1 không là số chính phương. Bài 14: Chứng minh rằng tổng S 2 với S 2 22 23 220 không là số chính phương. Lời giải: Giả sử S 2 là số chính phương. S 2 k 2 . Ta có: S 2 22 23 220 . 2S 22 23 220 221 . 2S S (22 23 220 221) (2 22 23 220 ) .
5. Ta có: k 2 (n2 d) n2k 2 k 2d n2k 2 2n2k n2 (k 2 2k) là số chính phương. k 2 2k là số chính phương (*). Mà k 2 k 2 2k (k 1)2 nên (*) vô lí. Vậy với n là số nguyên dương và d là một ước nguyên dương của 2n2 thì n2 d không phải là số chính phương. Bài 18: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số tự nhiên lẻ bất kì không phải là số chính phương. Lời giải: Gọi a , b là các số tự nhiên lẻ. Giả sử tổng bình phương của hai số a và b là số chính phương, tức a2 b2 là số chính phương 1 . Vì a và b đều lẻ nên đặt a 2m 1 , b 2n 1. a2 b2 (2m 1)2 (2n 1)2 [4(m2 n2 m n) 2]M2 2 Từ 1 và 2 a2 b2 M4 3 Mà a2 b2 4(m2 n2 m n) 2M 4 4 3 và 4 mâu thuẫn với nhau. Vậy tổng bình phương của hai số tự nhiên lẻ bất kì không phải là số chính phương. Bài 19: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n2 2002 không phải là số chính phương. Lời giải: Giả sử n2 2002 là số chính phương. n2 2002 k 2 . n2 k 2 2002 (n k)(n k) 2002 (*) . 2002 (2.7.11.13)M2 Mà nên (n k)(n k)M2 n k, n k chia hết cho 2. 2002 (2.7.11.13)M 4 Hơn nữa, (n k) (n k) 2k nên cả hai số n k, n k đều chia hết cho 2. (n k)(n k)M4 . Nên (*) là điều mâu thuẫn hay không bao giờ xảy ra hay vô lý. Vậy với mọi số tự nhiên n thì n2 2002 không phải là một số chính phương. 4 Bài 20: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n 1 n4 1 không phải là số chính phương. Lời giải:
6. Giả sử A là số chính phương. Ta có A 1 2 22 23 24 25  230 231 232 233 3 22. 1 2 22 23  230. 1 2 22 23 3 2.30  229.30 3 2  229 .3.10. Ta thấy A có chữ số tận cùng bằng 3 (vô lí). Vậy A không là số chính phương. Bài 24: Chứng minh rằng A n2004 1 không phải là số chính phương khi n lẻ. Lời giải: Giả sử n2004 1 là số chính phương với n là số lẻ. Ta có: n2004 1 a2 a ¥ * . 2 a2 n1002 1. a n1002 a n1002 1 1M a n1002 a n1002 1 điều này vô lí vì a n1002 2 với n là số lẻ. Vậy n2004 1 không là số chính phương với n là số lẻ. Bài 25: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p 1 và p 1 không thể là các số chính phương. Lời giải: Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên pM2 và pM 4 1 . *Giả sử p 1 là số chính phương. Đặt p 1 m2 m ¥ . Vì p chẵn nên p 1 lẻ, suy ra m2 lẻ, suy ra m lẻ. Đặt m 2k 1 k ¥ . Ta có m2 4k 2 4k 1. p 1 4k 2 4k 1. p 4k 2 4k 4k k 1 M4, điều này mâu thuẫn với 1 . Suy ra p 1 không là số chính phương. * Giả sử p 1 là số chính phương.
7. Mặt khác m + n + m – n = 2m. Suy ra hai số m n và m n cùng tính chẵn lẻ 3 Từ 2 và 3 suy ra m n và m n là hai số chẵn Suy ra m n . m n M4 nhưng 2010 không chia hết cho 4, so sánh với 1 , ta thấy đây là điều vô lý hay mâu thuẫn với nhau. Vậy không tồn tại số tự nhiên nào để 2010 n2 là số chính phương. Bài 28: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n nào để 2014 n2 là số chính phương. Lời giải: Giả sử 2014 n2 là số chính phương thì 2014 n2 m2 m N . m2 n2 2014 . m n . m n 2014 1 Như vậy, trong hai số m n và m n phải có ít nhất một số chẵn 2 Mặt khác m n m n 2m . Suy ra hai số m n và m n cùng tính chẵn lẻ 3 Từ 2 và 3 suy ra m n và m n là hai số chẵn. Suy ra m n . m n M4 nhưng 2014 không chia hết cho 4, so sánh với 1 , ta thấy đây là điều vô lý hay mâu thuẫn với nhau. Vậy không tồn tại số tự nhiên nào để 2014 n2 là số chính phương. Bài 29: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n nào để 2018 n2 là số chính phương. Lời giải: Giả sử 2018 n2 là số chính phương thì 2018 n2 m2 m N . m2 n2 2018. m n . m n 2018 1 Như vậy, trong hai số m n và m n phải có ít nhất một số chẵn 2 Mặt khác m n m n 2m . Suy ra hai số m n và m n cùng tính chẵn lẻ 3 Từ 2 và 3 suy ra m n và m n là hai số chẵn. Suy ra m n . m n M4 nhưng 2018 không chia hết cho 4, so sánh với 1 , ta thấy đây là điều vô lý hay mâu thuẫn với nhau. Vậy không tồn tại số tự nhiên nào để 2018 n2 là số chính phương. Bài 30: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n nào với k chẵn và k M 4 k ¥ để k n2 là số chính phương.