Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 4: Dùng chữ số tận cùng để chứng minh một số không phải số chính phương (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 4: Dùng chữ số tận cùng để chứng minh một số không phải số chính phương (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 6-SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 4: DÙNG CHỮ SỐ TẬN CÙNG ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT -Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9 ; không thể có chữ số tận cùng là 2,3,7,8. Như vậy để chứng minh một số không phải số chính phương ta chỉ ra số đó có hàng đơn vị là 2,3,7,8. -Số chính phương tận cùng bằng 1;4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Ví dụ : 121;49; -Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2 . -Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ. -Nếu số chính phương có chữ số tận cùng là 0 thì số chính phương đó có một số chẵn chữ số 0 ở tận cùng. Chẳng hạn: 100, 10000, PHẦN II. CÁC BÀI TOÁN Bài 1: Chứng minh rằng các số sau không là số chính phương: a) A 1111 111111 11111111 b) B 100100 1010 8 10 c) C 10 17 Lời giải 11 111 1111 a) A 11 111 1111 11 Ta có: 11 có chữ số tận cùng là 1; 111111 có chữ số tận cùng là 1; 11111111 có chữ số tận cùng là 1 ; Vì 1 1 1 3 Suy ra A có chữ số tận cùng là 3 nên không là số chính phương. b) B 100100 1010 8 100 Ta có: 100 có chữ số tận cùng là 0 ; 1010 có chữ số tận cùng là 0 ; Vì 0 0 8 8 B 100100 1010 8 có chữ số tận cùng là 8 nên không là số chính phương. c) C 1010 17 Ta có: 1010 có chữ số tận cùng là 0 ; 17 có chữ số tận cùng là 7 ;
2. Bài 4: Chứng minh rằng tổng bình phương của năm số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương. Lời giải Gọi năm số tự nhiên liên tiếp là: n 2,n 1,n,n 1,n 2 (n ¥ ,n 2). Gọi S là tổng bình phương của năm số tự nhiên liên tiếp. Ta có: S (n 2)2 (n 1)2 n2 (n 1)2 (n 2)2 5n2 10 5(n2 2) . Vì n2 là số chính phương nên không thể có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8 nên n2 2 không chia hết cho 5 5 n2 2 không chia hết cho 25 . Ta thấy S chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 . Vậy S không là số chính phương. Bài 5: Chứng minh số n 20042 20032 20022 20012 không là số chính phương. Lời giải Vì chữ số tận cùng của các số 20042 ;20032 ;20022 ;20012 lần lượt là 6 ; 9 ; 4 ; 1. Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không là số chính phương. Bài 6: Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương. Lời giải Cách 1: Ta có 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0 ) nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90 ). Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương. Cách 2: Ta có 1234567890 chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng là 0 ), nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90 ) nên 1234567890 không là số chính phương. Bài 7: Cho n ¥ và n –1 không chia hết cho 4 . Chứng minh rằng 7n 2 không thể là số chính phương. Lời giải Do n 1 không chia hết cho 4 nên n 4k r k ¥ ,r 0,2,3 . Ta có 74 1 2400 100 . Ta viết 7n 2 74k r 2 7r 74k 1 7r 2. Vậy hai chữ số tận cùng của 7n 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7r 2 r 0,2,3 nên chỉ có thể là 03,51,45. Theo tính chất (1);(2);(3) thì rõ ràng 7n 2 không thể là số chính phương khi n 1 không chia hết cho 4. Bài 8: Tổng sau có là số chính phương hay không A 3 32 33  320 . Lời giải Ta biết rằng số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
3. Bài 13: Chứng minh rằng các số sau không là số chính phương: 12 12 12 a) A 12 13 14 b) B 7100 161 c) C 100100 98 6 Lời giải a) A có chữ số tận cùng là 3 nên không là số chính phương. 25 b) B 7100 161 74 161 125 1 1 1  2 mod10 B có chữ số tận cùng là 2 nên không là số chính phương. c) C 100100 98 6 100 Ta có: 100 có chữ số tận cùng là 0 ; 98 có chữ số tận cùng là 1; C có chữ số tận cùng là 0 1 6 7 C có chữ số tận cùng là 7 nên không là số chính phương. Bài 14: Cho N 1.3.5 2015 . Chứng minh rằng N 3 không là số chính phương. Lời giải Ta có N chia hết cho 5 và N lẻ nên chữ số tận cùng của N là 5. N 3 có chữ số tận cùng là 8 nên không phải là số chính phương. Bài 15: Các tổng sau có phải là số chính phương không ? Vì sao ? a) B 1120 1121 1122 . 10 b) C 1010 117 . Lời giải a) Tổng B 1120 1121 1122 có chữ số tận cùng là 3 nên không là số chính phương. 10 b) Tổng C 1010 117 có chữ số tận cùng là 7 nên không là số chính phương. Bài 16: Cho 4 chữ số 0,2,3,4 . Tìm số chính phương có 4 chữ số gồm cả 4 chữ số trên. Lời giải Gọi A là số chính phương có bốn chữ số cần tìm. A không có tận cùng là 2 hoặc 3 nên chữ số tận cùng của A là 0 hoặc 4 . +) Nếu chữ số tận cùng của A là 0 thì chữ số hàng chục là 0 , không thỏa mãn yêu cầu.
4. Lời giải Chữ số tận cùng của 20142014 là 6 ; Chữ số tận cùng của 20192019 là 9 ; 4 Chữ số tận cùng của 23 là 2 ; 4 Chữ số tận cùng của P 20142014 20192019 23 là chữ số tận cùng của tổng 6 9 2 17 là 7 . Vậy P không phải là số chính phương. PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HỌC SINH GIỎI Bài 1: Cho S 4 22 23 24 298 . Chứng tỏ rằng S không phải là số chính phương. (Trích Đề thi HSG lớp 9 huyện Cẩm Giàng năm 2018 -2019). Hướng dẫn Gọi M 2 22 23 24 298 S 2 M Ta có: M 2M M 22 23 24 299 2 22 23 298 299 2 24 S 299 24 .23 8.1624 Vì 1624 có chữ số tận cùng là 6 S có chữ số tận cùng là 8. Vậy S không là số chính phương. Cách 2: Gọi M 2 22 23 24 298 S 2 M Ta có M 2M M 22 23 24 299 2 22 23 298 299 2 S 299 Ta thấy thừa số nguyên tố 2 có số mũ lẻ . Vậy S không là số chính phương. Bài 2: Cho biểu thức M 5 52 53 580 . Chứng tỏ rằng M không phải là số chính phương. (Trích Đề thi HSG lớp 6 trường THCS Quỳnh Giang năm 2015 -2016). Hướng dẫn Ta thấy M 5 52 53 580 chia hết cho số nguyên tố 5 . Mặt khác 52 53 580 chia hết cho 52 (Vì các số hạng đều chia hết cho 52 ) M không chia hết cho 52 (Vì tổng M có một số hạng 5 không chia hết cho 52 )