Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 5: Phương pháp kẹp trong bài toán số chính phương (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 5: Phương pháp kẹp trong bài toán số chính phương (Có lời giải chi tiết)

1. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 5: PHƯƠNG PHÁP KẸP TRONG BÀI TOÁN SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Không tồn tại số chính phương nằm giữa hai số chính phương liên tiếp. Cụ thể: Nếu có q2 k (q 1)2 (k ;q ¥ ) thì k không là số chính phương. PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI: Dạng 1: Chứng minh một số, một biểu thức số không là số chính phương. I. Phương pháp giải: 1. Để chứng tỏ một số k (k ¥ ) không là số chính phương ta tiến hành theo 3 bước: Bước 1: Chứng tỏ k q2 (q ¥ ) Bước 2: Chứng tỏ k (q 1)2 (q ¥ ) Bước 3: Từ 2 bước trên suy ra q2 k (q 1)2 (q ¥ ) k không là số chính phương 2. Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi biểu thức số: (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 II. Bài toán: Bài 1: Chứng minh rằng số 10224 không là số chính phương. Lời giải: Nhận thấy: 1012 10201 10224 1012 1022 10404 10224 1022 Suy ra 1012 10224 1022 Vậy 10224 không là số chính phương. Bài 2: Chứng minh rằng số 40725 không là số chính phương. Lời giải: Nhận thấy: 2012 40401 40725 2012 2022 40804 40725 2022 Suy ra 2012 40725 2022 Vậy 40725 không là số chính phương.
2. b) Ta có : A 20182018 20181000 2018999 20182 2018 5 2018 1009 2 A 2018 (2018 ) (1) Lại có: 20182018 20181000 20182 (2018 5) 20182018 20181000 20181000 (1000 số 20181000 ) A 20182018 1000.20181000 20182018 20181001 20182018 2.20181009 1 A (20181009 1)2 (2) Từ (1),(2) (20181009 )2 A (20181009 1)2 Suy ra A không là số chính phương (ĐPCM) Bài 6: Chứng minh rằng: M 20212020 2021100 202199 20212 20211 20210 không là số chính phương. Lời giải: Ta có : M 20212020 2021100 202199 20212 20211 20210 2020 1010 2 M 2021 (2021 ) (1) Lại có: 100 99 2 1 0 100 100 100 2021 2021 2021 (2021 2021 ) 2021 2021 (100 số 2021 ) 2021100 202199 20212 (20211 20210 ) 100.2021100 M 20212020 100.2021100 20212020 2021101 20212020 2.20211010 1 M (20211010 1)2 (2) Từ (1),(2) (20211010 )2 M (20211010 1)2 Suy ra M không là số chính phương (ĐPCM) Dạng 2: Chứng minh biểu thức A(n) không là số chính phương. I. Phương pháp giải: - Để chứng tỏ biểu thức A(n) n ¥ không là số chính phương ta tiến hành theo 3 bước: Bước 1: Chứng tỏ A(n)>B(n)2 Bước 2: Chứng tỏ A(n)<B(n)+12 Bước 3: Từ 2 bước trên suy ra B(n)2 A(n)<B(n)+12 A(n) không là số chính phương.
3. Vậy tích bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương. Bài 3: Chứng minh rằng tổng bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương. Lời giải: n Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n;(n 1);(n 2);(n 3) ¥ Đặt A n2 (n 1)2 (n 2)2 (n 3)2 A n2 (n2 2n 1) (n2 4n 4) (n2 6n 9) A 4n2 12n 14 A (4n2 12n 9) 5 2 2 A (2n) 2.2n.3 3 5 A (2n 3)2 5 A (2n 3)2 5 2 A (2n 3) (1) Mặt khác ta có: (2n 4)2 4n2 16n 16 (4n2 12n 9) 4n 7 (2n 3)2 4n 7 (2n 3)2 5 n ¥ A (2n 4)2 (2) Từ (1),(2) (2n 3)2 A (2n 4)2 A không là số chính phương. Bài 4: Chứng minh rằng n ¥ các số sau không là số chính phương a) n2 7n 10 b) 4n2 5n 2 Lời giải: a) Nhận thấy : (n 3)2 n2 6n 9 n ¥ Mà n2 7n 10 n2 6n 9 nên n2 7n 10 (n 3)2 (1) Cũng có (n 4)2 n2 8n 16 n ¥ Mà n2 7n 10 n2 8n 16 nên n2 7n 10 (n 4)2 n ¥ (2)
4. 2 2 2 3 2 B n . n 1 n n 1 2 n . n 1 n n 2 2 3 2 2 2 B n n 1 . n 1 n 1 n n 1 . n 1 n n 1 n 1 n 1 2 2 2 2 2 B n n 1 . n 1 n n 1 n 1 n n 1 . n 2n 2 2 2 Với n ¥ , n 1thì n2 2n 2 n2 2n 1 1 n 1 1 n 1 B n 1 2 (1) Mặt khác với n ¥ , n 1ta có n2 2n 2 n2 2n 2 n2 2 n 1 n2 B n2 (2) Từ (1) , (2) suy ra n 1 2 B n2 B không phải là một số chính phương. Vậy số có dạng n6 n4 2n3 2n2 trong đó n ¥ ;n 1không là số chính phương (ĐPCM) Bài 6: Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n2 . CMR: n2 m không là số chính phương. Lời giải: Giả sử: n2 m là số chính phương. Đặt: n2 m k 2 k ¥ (1) 2n2 Theo bài ra ta có: 2n2 mp p ¥ m p 2n2 2n2 Thay m vào (1) ta được: n2 k 2 p p n2 p2 2 pn2 p2k 2 n2 p2 2 p pk 2 Do n2 , pk 2 là các số chính phương nên p2 2 p là số chính phương. Mặt khác: p2 p2 2 p p 1 2 p2 2 p không là số chính phương (Mâu thuẫn với giả sử) Vậy n2 m không là số chính phương. Dạng 3: Tìm giá trị của n để biểu thức A(n) là một số chính phương.
5. Bài 3: Tìm số tự nhiên n để n2 3n là số chính phương Lời giải: Vì n là số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau: +) n 0 n2 3n 0 n2 3n là số chính phương +) n 1 n2 3n 4 n2 3n là số chính phương +) n 1: Ta có n2 3n n2 2n n n2 2n 1 (n 1)2 Cũng có n2 3n n2 2n n n2 4n 4 (n 2)2 (n 1)2 n2 3n (n 2)2 n2 3n không là số chính phương Vậy với n 0;1 thì n2 3n là số chính phương. Bài 4: Tìm số tự nhiên n để n4 3n 6 là số chính phương Lời giải: Vì n là số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau: +) n 0 n4 3n 6 6 n4 3n 6 không là số chính phương. +) n 1 n4 3n 6 4 n4 3n 6 là số chính phương. +) n 2 n4 3n 6 16 n4 3n 6 là số chính phương. +) n 2 : Ta có n4 3n 6 n4 (3n 6) n4 3(n 2) n4 (n2 )2 (1) Mặt khác ta có: (n2 1)2 n4 2n2 1 Xét hiệu: n4 3n 6 (n2 1)2 n4 3n 6 (n4 2n2 1) 2n2 3n 5 2n2 4n n 5 2n(n 2) n 5 0 n 2 4 2 2 4 2 2 n 3n 6 (n 1) 0 n 3n 6 (n 1) (2) Từ (1) , (2) (n2 1)2 n4 3n 6 (n2 )2
6. 2 n2 1 n4 n 2 n4 2n2 1 n4 n 2 2n2 n 1 0 2 n2 1 n4 n 2 (2) 2 2 Từ (1) và (2) n2 1 n4 n 2 n2 1 n4 n 2 n4 n 2 0 n 2 Vậy n 2 thì n4 n 2 là số chính phương Dạng 4: Tìm một số chính phương thỏa mãn các điều kiện cho trước. Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số B cũng là số chính phương. Tìm hai số A và B. Lời giải: Gọi A abcd k 2 , khi đó: B a 1 b 1 c 1 d 1 m2 k,m ¥ ,32 k m 100 Ta có : m2 k 2 a 1 b 1 c 1 d 1 abcd m2 k 2 1000 a 1 100 b 1 10 c 1 d 1 1000a 100b 10c d m2 k 2 1000a 1000 100b 100 10c 10 d 1 1000a 100b 10c d m2 k 2 1111 m k m k 11.101 (1) Nhận xét thấy tích với k,m ¥ ,32 k m 100 m k , m k là hai số nguyên dương. và m k m k 200 (2) m k 11 m 56 Từ (1), (2) m k 101 k 45 Vậy hai số A 2025, B 3136 Bài 2: Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm hai chữ số sau một đơn vị. Lời giải:
7. 1 a b 18 a b 11 Thay a b 11vào (1) ta được : n2 112 9a 1 9a 1 là số chính phương Bằng phép thử a từ 1 đến 9 ta thấy có a 7 là thỏa mãn b 4 Vậy số cần tìm là 7744 . Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương. Lời giải: Gọi số chính phương đó là: abcd Theo bài ra ta có abcd x2 y3 x, y ¥ Vì y3 x2 y cũng là một số chính phương. Mặt khác ta có : 1000 abcd 9999 1000 y3 9999 103 y3 213 10 y 21 Mà y là số chính phương nên y 16 abcd 163 abcd 4096 Vậy số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương là 4096 Bài 5: Tìm số có hai chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. Lời giải: Gọi số phải tìm là ab a,b ¥ ,1 a 9,0 b 9 2 Theo bài ra ta có: ab a b 3 10a b 2 a b 3 Khi đó ab là một lập phương và a b là một số chính phương Đặt ab t3 t ¥ ,a b m2 m ¥ Vì 10 ab 99 10 t3 99
8. n 21 2n 1 2 1681 2n 1 41 2 2n 1 43 2n 1 1849 2n 3 45 2n 3 2 2025 Vậy ba số chính phương lẻ liên tiếp cần tìm là 1681;1849;2025 Bài 7: Tìm số chính phương mà nó bằng bình phương của một số có hai chữ số và bằng lập phương của tổng hai chữ số của số có hai chữ số đó. Lời giải: Gọi số chính phương cần tìm là n 2 Theo bài ra ta có ab n a b 3 nên a b là số chính phương. 2 Đặt a b x2 x6 ab x3 ab mà 9 ab 100 9 x3 100 x 3;4 Nếu x 3 ab 27 (thỏa mãn) Nếu x 4 ab 64 (loại) 2 n ab 272 729 Vậy số chính phương cần tìm là 729 Bài 8: Tìm một số chính phương biết nó bằng tổng của một số có hai chữ số với số gồm hai chữ số đó viết theo thứ tự ngược lại. Lời giải: Gọi số chính phương đó có dạng n2 (n ¥ ) Theo bài ra ta có : n2 ab ba a,b ¥ ;0 a,b 9 n2 10a b 10b a 11(a b) n2 11 Mà 11 là số nguyên tố nên n2 112 11(a b)112 (a b)11 Mà a,b ¥ ;0 a,b 9 2 (a b) 18 (a b) 11 n2 11.11 121
9. n 10 n 10 101 n 10101 Vì 101 là số nguyên tố n 10101 Ta có : 1000 n2 10000 31 n 100 n 10101 n 91 abcd 912 8281 Bài 11: Tìm một số chính phương có 4 chữ số là số là một lập phương của một số tự nhiên. Lời giải: Gọi số chính phương đó là : abcd x2 y3 x, y N Vì y3 x2 y cũng là một số chính phương. Ta có : 1000 abcd 9999 1000 y3 9999 10 y 21 Mà y là số chính phương nên y 16 abcd 163 4096 Vậy số chính phương cần tìm là 4096 Bài 12: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố và số đó bằng bình phương của số có tổng các chữ số là một số chính phương. Lời giải: Gọi số phải tìm là : abcd với a,b,c,d N,1 a 9,0 b,c,d 9 Vì abcd là số chính phương nên d 0;1;4;5;6;9 mà d là số nguyên tố nên d 5 Đặt abcd k 2 1000 32 k 100 với k là 1 số có hai chữ số mà k2 có tận cùng là 5 k có tận cùng là 5 và tổng các chữ số của k là một số chính phương k 45 Vậy abcd 2025