Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 7: Số nguyên - Chủ đề 1: Số nguyên và tập hợp số nguyên (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 7: Số nguyên - Chủ đề 1: Số nguyên và tập hợp số nguyên (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 7 - SỐ NGUYÊN. CHỦ ĐỀ 1: SỐ NGUYÊN VÀ TẬP HỢP SỐ NGUYÊN. PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. TẬP HỢP SỐ NGUYÊN. - Các số tự nhiên (khác 0) 1;2;3;4; còn được gọi là các số nguyên dương. - Các số 1; 2; 3; gọi là các số nguyên âm. - Tập hợp ¢ gồm các số nguyên âm, số 0, số nguyên dương gọi là tập hợp số nguyên. ¢ ; 3; 2; 1;0;1;2;3;  - Tập hợp các số nguyên được biểu diễn trên trục số. - Cho a,b ¢ . Trên trục số, các điểm a ; b cách đều điểm 0 thì a được gọi là số đối của b và ngược lại b cũng là số đối của a , số đối của 0 là 0. 2. THỨ TỰ TRONG ¢ - Trên trục số nằm ngang, chiều dương của trục số hướng từ trái qua phải, chiều ngược lại là chiều âm. - Điểm biểu diễn số nguyên a gọi là điểm a . - Cho a,b ¢ nếu điểm a nằm trước điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b (ký hiệu là a b ) - Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn 0, do đó nhỏ hơn mọi số nguyên dương. - Nếu a;b là hai số nguyên dương và a b thì a b * Nâng cao: Với a,b,c ¢ nếu a b ; b c thì a c (tính chất bắc cầu). 3. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ SỐ NGUYÊN. - Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng phần số tự nhiên của chúng với nhau rồi đặt dấu " " trước kết quả. - Hai số nguyên đối nhau thì có tổng bằng 0. - Muốn cộng hai số nguyên khác dấu (không đối nhau), ta tìm hiệu hai phần số tự nhiên của chúng (số lớn trừ số nhỏ) rồi đặt trước hiệu tìm được dấu của số có phần số tự nhiên lớn hơn. - Phép cộng số nguyên có các tính chất: * Giao hoán: a b b a * Kết hợp: a b c a b c * Cộng với 0: a 0 0 a a - Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b , ta cộng a với số đối của b a b a b - Quy tắc dấu ngoặc: * Khi bỏ dấu ngoặc có dấu " "đằng trước, ta giữ nguyên dấu của các số hạng trong ngoặc. * Khi bỏ dấu ngoặc có dấu " " đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc: dấu " " đổi thành dấu " " và dấu " " đổi thành dấu " "
2. Cách 2: B x ¢ | x 5 c) Cách 1: C 4; 3; 2; 1;0;1;2;  Cách 2: C x ¢ | x 5 Bài 3: Viết các tập hợp sau bằng hai cách: a) Tập hợp A các số nguyên lớn hơn -100 và nhỏ hơn 100. b) Tập hợp B các số nguyên có 1 chữ số. Lời giải: a) Cách 1: A 99; 98; 97; ;97;98;99 Cách 2: A x ¢ | 100 x 100 b) Cách 1: B 9; 8; 7; ;7;8;9 Cách 2: B x ¢ | 10 x 10 Bài 4: Các phần tử của các tập hợp sau được viết theo quy luật nào? Viết tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp. a) A 1;3;5;7;9;  b) B 2; 7; 12; 17;  Lời giải: a)Tập hợp A gồm các số tự nhiên khác 0; các phần tử lập thành dãy số: 1;3;5;7;9; Đây là dãy số cách đều, số hạng đầu là 1, khoảng cách là 2. Các số hạng của dãy là các số tự nhiên lẻ (chia 2 dư 1) nên có dạng 2n 1với n ¥ A x ¥ | x 2n 1;n ¥  b) Tập hợp B gồm các số nguyên âm; các phần tử lập thành dãy số: 2; 7; 12; 17; 1 Xét dãy số 2;7;12;17; 2 Dãy 2 là dãy số cách đều, số hạng đầu là 2, khoảng cách là 5. Các số này đều chia 5 dư 2 nên có dạng 5n 2 với n ¥ . Vậy các số hạng của dãy 1 có dạng là (5n 2) với n ¥ . B x ¥ | x (5n 2);n ¥  Bài 5: Các phần tử của các tập hợp sau được viết theo quy luật nào? Viết tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp. a) A 1; 5;9; 13;  b) B 1;4; 7;10;  Lời giải: a)Các phần tử của tập A lập thành dãy số 1; 5;9; 13; 1 Trong dãy 1 , các số đứng ở vị trí lẻ mang dấu ( ) , các số đứng ở vị trí chẵn mang dấu ( )
3. 65 11200 d) 53.5678910 53.5678909 53. 5678910 5678909 53.1 125 Bài 2: Tính giá trị các biểu thức sau: a) 2021. 2020 2022 2020. 2021 2022 b) 2021. 2022 179 2022. 2021 179 c) 2.31.12 4.6.42 8.27.3 d) 2021.74 2021.27 2021 Lời giải: c) 2.31.12 4.6.42 8.27.3 a) 2021. 2020 2022 2020. 2021 2022 2.12.31 4.6.42 8.3.27 2021.2020 2021.2022 2020.2021 2020.2022 24.31 24.42 24.27 2021.2020 2020.2021 2021.2022 2020.2022 24. 31 42 27 2022. 2021 2020 24.100 2400 2022 d) 2021.74 2021.27 2021 b) 2021. 2022 179 2022. 2021 179 2021.74 2021.27 2021 2021.2022 2021.179 2022.2021 2022.179 2021.74 2021.27 2021.1 2021.2022 2022.2021 2022.179 2021.179 179. 2022 2021 2021 74 27 1 179 2021.100 202100 Bài 3: Thực hiện phép tính: a) 1.2.3 9 1.2.3 8 1.2.3 7.82 b) 25 .68 34 . 250 c) x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 với x 7 d) 20212021. 2022 20222022. 2021 Lời giải: a) 1.2.3 9 1.2.3 8 1.2.3 82 c) x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 1.2.3 8.9 1.2.3 8.1 1.2.3 8.8 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 1.2.3 8. 9 1 8 5. x 6 0 Thay x 7 vào ta có 5. 7 6 65 b) 25 .68 34 . 250 d) 20212021. 2022 20222022. 2021 25 .2.34 34 . 250 2021.10001. 2022 2022.10001. 2021 50 .34 34.250 2021.10001.2022 2022.10001.2021
4. 50 Bài 5: Tính: a) A 1 2 3 4 5 6 7 8 2019 2020 2021 2022 b) B 100 98 96 94 2 99 97 95 93 1 Lời giải: a) A 1 2 3 4 5 6 7 8 2019 2020 2021 2022 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2018 2019 2020 2021 2022 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2018 2019 2020 2021 2022 Dãy các số tự nhiên liên tiếp 2;3;4;5; ;2021 có 2021 2 1 2020 số hạng, khi nhóm 4 số vào một nhóm ta được 505 nhóm. Ta có A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2018 2019 2020 2021 2022 1 0 0 0 2022 1 0.505 2022 2023 b) B 100 98 96 94 2 99 97 95 93 1 100 99 98 97 96 95 2 1 100 99 98 97 96 95 2 1 Từ 1 đến 100 có 100 số, khi nhóm 2 số vào một nhóm ta được 50 nhóm. Vậy B 1 1 1 1 1.50 50 Bài 6: Tính a) A 2 ( 4) 6 ( 8) 2018 ( 2020) 2022 b) B 2022 2020 2018 2016 2 2019 2017 2015 1 Lời giải: a) A 2 ( 4) 6 ( 8) 2018 ( 2020) 2022 Số số hạng của A bằng số số hạng của dãy 2;4;6; ;2022 A có 2022 2 : 2 1 1011 số hạng. Kể từ số hạng đầu tiên, khi nhóm hai số vào một nhóm thì ta được 505 nhóm và dư số 2022 đứng một mình. Ta có A 2 ( 4) 6 ( 8) 2018 ( 2020) 2022 A 2 ( 4) 6 ( 8) 2018 ( 2020) 2022 2 2 2 2022 2 .505 2022 1012 b) B 2022 2020 2018 2016 2 2019 2017 2015 1 2022 2020 2019 2018 2017 2016 2015 2 1 Từ 1 đến 2020 có 2020 số, khi nhóm 2 số vào một nhóm ta được 1010 nhóm. Vậy B 2022 1 1 1 1 2022 1.1010 3032
5. 23.13 23.23 23.33 23.93 23. 13 23 33 93 Vì 13 23 33 93 2025 nên thay vào ta có D 23.2025 16200 Vậy D 16200 Bài 8: Cho A 550 548 546 544 56 54 52 1 a) Thu gọn A . b) Tìm số tự nhiên n biết 26.A 1 5n . c) Tìm số dư trong phép chia A cho 100. Lời giải: a) A 550 548 546 544 56 54 52 1 550 548 546 544 56 54 52 1 548 52 1 544 52 1 54 52 1 1 52 1 24. 548 544 54 1 Đặt S 548 544 54 1 Ta có 54.S 54. 548 544 54 1 552 548 58 54 54 S S 552 548 58 54 548 544 54 1 552 1 624.S 552 1 S 624 552 1 552 1 Vậy A 24. 624 26 552 1 b) Theo ý a ta có A 26A 552 1 26A 1 552 26 Mặt khác theo đề bài ta có 26.A 1 5n nên suy ra 5n 552 n 52 Vậy n 52 c) Theo ý a ta có A 24. 548 544 54 1 24. 548 544 54 24 6.4.52 546 542 52 24 100.6. 546 542 52 24 A có dạng 100k 24 ; k ¥ A chia 100 dư 24 Bài 9: Cho x là tổng của tất cả các số nguyên có 2 chữ số; y là số nguyên âm lớn nhất. Tính S 2020.x2021 2021.y2020 Lời giải: Các số nguyên có 2 chữ số là: 99; 98; 97; ;97;98;99 Vì x là tổng của tất cả các số nguyên có 2 chữ số nên x 99 98 97 97 98 99
6. 1 2 3 4 97 98 99 x 100 1 1 1 99 x 100 1 .49 99 x 100 50x 100 x 2 Vậy x 2 2 b) 2016 : 25 3x 2 3 .7 2016 : 25 3x 2 63 25 3x 2 2016 : 63 25 3x 2 32 3x 2 25 32 3x 2 7 3x 9 x 3 Vậy x 3 c) x 2 x 3 0 x 2 0 x 2 x 3 0 x 3 Vậy x 2;3 d) x 2 2 5 x 2 0 x 2 . x 2 5 0 x 2 x 3 0 x 2 0 x 2 x 3 0 x 3 Vậy x 2; 3 Bài 2: Tìm x ¢ biết: a) x 5 x 10 x 15 x 60 450 b) 6x 11 3 3 2 .15 208 c) x 1 2 5x 5 0 Lời giải: a) x 5 x 10 x 15 x 60 450 x x x x 5 10 15 60 450 * Tính S 5 10 15 60 Số số hạng của S là 60 5 :5 1 12
7. Vậy x 7;8 b) x x 1 x 2 2020 2021 2021 Cách 1: x x 1 x 2 2020 2021 2021 x x 1 x 2 2 1 0 1 2 2020 0 * x 2020 x 1 2019 x 2 2018 2 2 1 1 0 0 x 2020 x 2020 x 2020 2 2 1 1 0 0 Ta có vế trái của * là tổng các số nguyên liên tiếp viết theo thứ tự tăng dần, khi nhóm như trên, trong từng ngoặc là các cặp số đối nhau x 2020 0 x 2020 Vậy x 2020 Cách 2: x x 1 x 2 2020 2021 2021 1 x x 1 x 2 2020 0 Vì x x 1 x 2 2020 là tổng của các số nguyên liên tiếp nên áp dụng công thức tính 2020 x .n tổng của dãy số cách đều ta có tổng này bằng 2 trong đó n là số các số hạng của 2 tổng. 2020 x .n Từ 1 và 2 suy ra 0 . 2 Lại có n 0 suy ra 2020 x 0, do đó x 2020 Vậy x 2020 Bài 4: Tìm x ¢ biết: x x+1 x+2 18 a) 2 .2 .2 =1 000. 0 :5 18 ch÷ sè b) x 3 x 2 x 1 10 11 11 Lời giải: x x+1 x+2 18 a) 2 .2 .2 =1 000. 0 :5 18 ch÷ sè 2x+ x 1 x 2 =1018 :518 23x+3=218 3x 3 18 3x 15 x 5 Vậy x 5 b) x 3 x 2 x 1 10 11 11 x 3 x 2 x 1 2 1 0 1 2 10 0 1
8. Bài 8: Tìm các số nguyên x , y thỏa mãn x 3 2020 y 2 2020 0 Lời giải: 2020 2020 Ta có x 3 0 ; y 2 0 với mọi x; y ¢ 2020 2020 2020 x 3 0 x 3 0 x 3 Lại có x 3 y 2 0 nên suy ra 2020 y 2 0 y 2 y 2 0 Vậy x 3, y 2 Bài 9: Cho 10 ô liên tiếp sau: Hãy điền số vào các ô trống để tổng 3 số ở các ô liên tiếp bất kỳ đều bằng 6. Lời giải: Gọi 4 số ở 4 ô liên tiếp bất kỳ là x1 ; x2 ; x3 ; x4 . Vì tổng 3 số ở các ô liên tiếp bằng nhau nên ta có x1 x2 x3 x2 x3 x4 x1 x4 . Như vậy các số cách nhau 2 ô thì bằng nhau, vậy ta điền được như sau: Vì tổng 3 số ở các ô liên tiếp bất kỳ đều bằng 6 nên suy ra số ở các ô còn lại là 9. Bài 10: Cho bảng vuông 3×3 ô. Có thể điền được hay không chín số nguyên vào chín ô của bảng sao cho tổng các số ở ba dòng lần lượt bằng 5; -3; 2 và tổng các số ở ba cột lần lượt bằng -1; 2; 2? Lời giải: Không thể điền được như vậy, vì không có 9 số nào mà cộng theo các dòng được 5 3 2 4 , cộng theo các cột được 1 2 2 3. PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. Bài 1: Tính: S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2011 2012 2013 2014 2015 Lời giải: S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2011 2012 2013 2014 2015
9. Vậy S 1 .1010 2022 2023 5055 Bài 4: Tính: a) A 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 b) B 2 4 6 8 10 12 14 2014 2016 2018 2020 Lời giải: a) A 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13 0 0 0 13 b) B 2 4 6 8 10 12 14 2014 2016 2018 2020 2 4 6 8 10 12 14 16 2010 2012 2014 2016 2018 2020 2 4 6 8 10 12 14 16 2010 2012 2014 2016 2018 2020 Dãy các số 2;4;6;8; ;2016 có 2016 2 : 2 1 1008 số hạng, khi nhóm 4 số vào một nhóm ta được 252 nhóm. Ta có B 2 4 6 8 10 12 14 16 2010 2012 2014 2016 2018 2020 0 0 0 2018 2020 2 Bài 5: Tính: a) S 1 1 . 1 2 . 1 3 . 1 4 1 2021 b) T 2100 299 298 22 2 1 Lời giải: a) S 1 1 . 1 2 . 1 3 . 1 4 1 2021 S 1 1 2 3 4 2021 Tính A 1 2 3 4 2021 Tổng A có 2021 số hạng. A 2021 1 .2021: 2 2043231 Vậy S 1 2043231 1 b) T 2100 299 298 22 2 1 2100 299 298 22 2 1 Đặt B 299 298 22 2 1 Ta có 2B 2. 299 298 22 2 1 2100 299 23 22 2 2B B 2100 299 23 22 2 299 298 22 2 1 B 2100 1
10. Lời giải: Vì x; y ¢ nên x 2; xy 1 ¢ . Lại có x 2 xy 1 5 mà 5 1.5 5.1 1 . 5 5 . 1 nên ta có các trường hợp sau: x 2 1 x 3 x 3 +) TH1: xy 1 5 3y 1 5 y 2 x 3 x 2 5 x 7 +) TH2: 2 (loại) xy 1 1 7y 1 1 y 7 x 2 1 x 1 x 1 +) TH3: xy 1 5 y 1 5 y 4 x 2 5 x 3 x 3 +) TH4: xy 1 1 3y 1 1 y 0 Vậy các cặp số nguyên x; y thỏa mãn đề bài là: 3;2 , 1; 4 , 3;0 . Bài 10: Tìm số nguyên dương a , b , cbiết a3 b3 c3 3abc và a2 2 b c Lời giải: Do a2 2 b c a2 2 a2 1 Mà a là số nguyên dương nên từ a3 b3 c3 3abc 0 a b,a c Do a b,a c 2a b c 4a 2 b c mà a2 2 b c 4a a2 0 a 4 2 Từ 1 và 2 suy ra a 2 . Do a2 2 b c và a 2 nên b c 22 : 2 2 , lại có b , c nguyên dương nên suy ra b c 1 Thử lại với a 2;b c 1 có a3 b3 c3 23 13 13 6 ; 3abc 3.2.1.1 6 a3 b3 c3 3abc Vậy a 2 , b 1, c 1.  HẾT 