Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 7: Số nguyên - Chủ đề 2: Bội và ước của số nguyên (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 7: Số nguyên - Chủ đề 2: Bội và ước của số nguyên (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 7-SỐ NGUYÊN CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT A. Các định nghĩa 1. Ước và Bội của một số nguyên Với a,b Z và b 0. Nếu có số nguyên q sao cho a bq thì ta nói a chia hết cho b . Ta còn nói a là bội của b và b là ước của a . 2. Nhận xét - Nếu a bq thì ta nói a chia cho b được q và viết a :b q - Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào. - Các số 1 và 1 là ước của mọi số nguyên. 3. Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết. Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b được số dư là k thì số a k Mb 4. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó. Ước chung của các số a,b,c được kí hiệu là ƯC a,b,c . 5. Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó. Bội chung của các số a,b,c được kí hiệu là: BC a,b,c . 6. Ước chung lớn nhất. Bội chung nhỏ nhất - Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. - Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác không trong tập hợp các bội chung của các số đó. B. Các tính chất - (a,1) 1;a,1 a . - Nếu aMb (a,b) b;a,b a . - Nếu a, b nguyên tố cùng nhau (a,b) 1;a,b a.b - ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) và BC(a ,b) = B(BCNN(a, b)) a dm 10 2.5 - Nếu (a,b) d; (m,n) 1; Ví dụ: (10,15) 5; (2,3) 1. b dn 15 3.5 c am 30 10.3 - Nếu a,b c; (m,n) 1; Ví dụ: 10,15 30; (2,3) 1. c bn 30 15.2 - ab (a,b).a,b . - Nếu a là ước của b thì a cũng là ước của b . - Nếu a là bội của b thì a cũng là bội của b .
2. y - 3 - 7 3 - 17 - 50 - 1 x : y 12 7 - 1 2 0 11 Bài 5: 1) Cho A 1 2 3 4 99 100 a) Tính A b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? c) A có bao nhiêu ước tự nhiên ? Bao nhiêu ước nguyên ? 2) Thay a,b bằng các chữ số thích hợp sao cho 24a68bM45 3) Cho a là một số nguyên có dạng a 3b 7 b ¢ . Hỏi a có thể nhận những giá trị nào trong các giá trị sau: a 11;a 2002;a 2003;a 11570;a 22789;a 29563;a 299537 Lời giải: 1a) A 50 1b) AM2cho5, A không chia hết cho 3 1c) A có 6 ước tự nhiên và có 12 ước nguyên. 2)Ta có: 45 9.5 mà 5,9 1 b 0 Do 24a68bM45 suy ra 24a68bM5 b 5 Th1: b 0 ta có số 24a680 Để 24a680M9 thì 2 4 a 6 8 0 M9 a 20M9 a 7 Th2: b 5 ta có số 24a685 Để 24a685M9 thì 2 4 a 6 8 5 M9 hay a 25M9 a 2 a 7,b 0 Vậy a 2,b 5 3)Số nguyên có dạng a 3b 7 b ¢ hay a là số chia 3 dư 1 Vậy a có thể nhận những giá trị là a 2002;a 22789;a 29563 Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết (hoặc thỏa mãn số đã cho là số nguyên). I.Phương pháp giải
3. n 1 Vậy n 1;1;3;5 thì có giá trị là một số nguyên. n 2 Bài 4: Tìm số nguyên n để 5 n2 2n chia hết cho n 2 Lời giải: Ta có 5 n2 2n 5 n n 2 Vì n n 2 M n 2 , nên để 5 n2 2n M n 2 thì 5M n 2 n 2 phải là ước của 5 n 2 5; 1;1;5 n 3; 1;3;7 Vậy n 3; 1;3;7 thì 5 n2 2n chia hết cho n 2 n 1 Bài 5: Cho A . Tìm n nguyên để A là một số nguyên n 4 Lời giải: n 1 Ta có A là một số nguyên khi n 1 M n 4 n 4 Ta có n 1 n 4 5, do đó n 1 M n 4 khi 5M n 4 n 4 phải là ước của 5 n 4 5; 1;1;5 n 9; 5; 3;1 Vậy n 9; 5; 3;1 thì A là một số nguyên 4n 5 Bài 6: Tìm số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên 2n 1 Lời giải: 4n 5 Ta có là một số nguyên khi 4n 5 M 2n 1 2n 1 Ta có 4n 5 2 2n 1 7, do đó 4n 5 M 2n 1 khi 7M 2n 1 2n 1 là ước của 7 2n 1 7; 1;1;7 n 3;0;1;4 4n 5 Vậy n 3;0;1;4 thì có giá trị là một số nguyên 2n 1 3n 2 Bài 7: Tìm các giá trị nguyên của n để phân số A = có giá trị là số nguyên. n 1 Lời giải:
4. 3 5 36 60 Vậy ta có hai cặp a;b là 12;180 , 36;60 . 4n 1 2 2n 3 7 7 b) A 2 2n 3 2n 3 2n 3 2n 3 A có giá trị nguyên 2n 3 Ư 7 1; 7 . Ta có bảng sau 2n 3 1 1 7 7 n 1 2 2 5 Vậy n 1; 2;2; 5 12n 1 Bài 10: Cho A . Tìm giá trị của n để: 2n 3 a) A là một phân số b) A là một số nguyên Lời giải: 12n 1 n ¢ a) A là phân số khi 12n 1 ¢ ,2n 3 ¢ ,2n 3 0 2n 3 n 1,5 12n 1 17 b) A 6 2n 3 2n 3 A là số nguyên khi 2n 3 Ư (17) 2n 3 1; 17 n 10; 2; 1;7 Bài 11: a) Tìm giá trị n là số tự nhiên để n 7 chia hết cho n 2 b) Tìm x là số chia trong phép chia 235 cho x được số dư là 14 Lời giải: a) x 7 M x 2 5M x 2 x 2 Ư (5) 1; 5 x 3; 1; 7;3 . b)235: x dư 14 235 14Mx x 14 221Mx x 14 x 17;221 Bài 12: Tìm n ¢ biết: 3n 8 M n 1 Lời giải:
5. 3. 1 3 32 34. 1 3 32 388. 1 3 32 13. 3 34 388 M13 AM13 b) xy 2x y 1 0 x y 2 y 2 3 x 1 y 2 3 1. 3 3 .1 Từ đó suy ra x; y 0; 1 ; 4;3  Bài 15: Tìm tất cả các số nguyên n để: n 1 a)Phân số có giá trị là một số nguyên n 2 12n 1 b)Phân số là phân số tối giản 30n 2 Lời giải: n 1 a) là số nguyên khi n 1 M n 2 n 2 Ta có: n 1 n 2 3, vậy n 1 M n 2 khi 3M n 2 n 2 U (3) 3; 1;1;3 n 1;1;3;5 b)Gọi d là ƯC của 12n 1và 30n 2 d ¥ * 12n 1Md,30n 2Md 5 12n 1 2 30n 2 Md 60n 5 60n 4 Md 1Md mà d ¥ * d 1 Vậy phân số đã cho tối giản 2n 7 Bài 16: Tìm số nguyên n để phân số M có giá tri là số nguyên n 5 Lời giải: 2n 7 2n 10 3 3 a)M 2 ¢ n 5 Ư (3) 1; 3 n 5 n 5 n 5 n 2;4;6;8 n 3 Bài 17: Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị là số nguyên 2n 2 Lời giải:
6. x; y 40;0 ; 0;40 ; 2; 42 ; 42; 2  Bài 3: Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn 2x 3y 14 Lời giải: Xét 2x 5y 14 (1) Ta có: 14M2;2xM2 5yM2 yM2 Ta có 5y 14 y 14 :5 y 2 , mà y chẵn nên y 2 Thay vào (1) x 2 Vậy x 2; y 2 Bài 4: Tìm số tự nhiên x, y biết: 2x 1 y 3 12 Lời giải: a) 2x 1 y 3 12 1.12 3.4 (do 2x 1lẻ) 2x 1 1 x 0 y 15 2x 1 3 x 1 y 4 Bài 5: Tìm các số nguyên x, y sao cho: x 1 xy 1 3 Lời giải: Vì x 1 xy 1 3, x ¢ , y ¢ x 1 ¢ , xy 1 ¢ Do đó, x 1 U (3) 1; 3 Ta có: x 1 1 -1 3 -3 xy 1 3 -3 1 -3 x 0 -2 2 -4 y ktm 1 1 0 Vậy các cặp x; y thỏa mãn là: 2;1 ; 2;1 ; 4;0 a 1 1 Bài 6: Tìm các số nguyên a,b biết rằng: 7 2 b 3 Lời giải:
7. y 54 18 6 2 Vậy x; y 1;54 ; 2;18 ; 5;6 ; 14;2 Bài 11: Tìm số nguyên x và y,biết: xy x 2y 3 Lời giải: xy x 2y 3 xy x 2y 2 1 x y 1 2 y 1 1 y 1 x 2 1 y 1 1 y 2 *) x 2 1 x 1 y 1 1 y 0 *) x 2 1 x 3 Vậy x 1; y 2 hoặc x 3; y 0 Bài 12: Tìm các số tự nhiên x, y sao cho 2x 1 y 5 12 Lời giải: Ta có: 2x 1; y 5 U (12) 1.12 2.5 3.4 2x 1 1 x 0; y 17 Do 2x 1lẻ 2x 1 3 x 1; y 9 Vậy x; y 0,17 ; 1,9 Bài 13: Tìm x, y nguyên biết: 2x 3y 2 3y 2 55 Lời giải: 2x 3y 2 3y 2 55 3y 2 2x 1 55 Ta có bảng sau: 3y 2 1 55 5 11 2x 1 55 1 11 5 x 27 0 5 2 1 53 y KTM KTM 1 3 3 3 Vậy ta có các cặp x; y là 5; 1 , 2; 3 .
8. (x 2)2 1 x 2 1 x 3 TH1: y 3 4 y 1 y 1 x 2 1 x 1 hoặc y 1 y 1 (x 2)2 22 x 2 2 x 4 TH2: y 3 1 y 2 y 2 x 2 2 x 0 hoặc y 2 y 2 Bài 17: Tìm các số x, y N biết: x 1 2 y –1 12 Lời giải: x 1 2y –1 12 1.12 2.6 3.4 12.1 6.2 4.3 ;x, y N Mà 2y –1 là số lẻ 2y –1 1; 2y –1 3 Với 2y –1 1 y 1 thì x 1 12 x 11 Ta được x 11; y 1 Với 2y –1 3 y 2 thì x 1 4 x 3 Ta được x 3; y 2 Kết luận: với x 11; y 1 hoặc x 3, y 2 thì x 1 2y 1 12 . 5 y 1 Bài 18: Tìm số nguyên x, y biết: . x 3 6 Lời giải: 5 1 y 5 1 2y x 1 2y 5.6 30 (4) x, 1 2y Ư(30) (1) x 6 3 x 6 Mà Ư(30 ) 30; 15; 10; 6; 5; 3; 2; 1; 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30  (2) Mặt khác 1 2y là số lẻ (3) Từ (1, (2), (3), (4) ta có bảng sau: 1 2y 15 5 3 1 1 3 5 15 x 2 6 10 30 30 10 6 2 y 8 3 2 1 0 1 2 7
9. Bài 21: Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng. Lời giải: x 0, y 0 hoặc x 2, y 2 Bài 22: a)Tìm số dư trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91. Biết rằng nếu lấy số tự nhiên đó chia cho 7 thì được dư là 5 và chia cho 13 được dư là 4 x 1 b)Tìm các cặp số nguyên x; y biết: 1 5 y 1 Lời giải: a)Gọi số tự nhiên đó là a Theo bài ra ta có: a 7 p 5;a 13q 4 p,q ¥ Suy ra : a 9 7 p 14 7. p 2 M7 a 9 13q 13 13 q 1 M13 Ta có : a 9M7;a 9M13; 7,13 1 Do đó a 9M91 a 9 91k a 91k 9 91k 91 82 91. k 1 82 Nên a chia cho 91 có dư là 82. x 1 x 5 1 b)Ta có: 1 x 5 y 1 5.1 5 y 1 5 y 1 x 5 y 1 5.1 1.5 5.( 1) ( 1).( 5) Thay hết tất cả các trường hợp ta có: x; y 0;2 ; 4;6 ; 10;0 ; 6; 4 .  HẾT 