Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 1: Hệ thống kiến thức cơ bản (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 1: Hệ thống kiến thức cơ bản (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 9 – PHÂN SỐ CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT a Số có dạng , trong đó a,b ¢ ,b 0 gọi là phân số. b n Số nguyên n được đồng nhất với phân số . 1 a a.m a : n Tính chất cơ bản của phân số: với m,n ¢ ,m,n 0 và n ƯC a,b . b b.m b : n a m a Nếu a,b 1 thì là phân số tối giản. Nếu là dạng tối giản của phân số thì tồn tại số b n b nguyên k sao cho a mk,b nk . PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Áp dụng các tính chất chia hết để giải các bài toán về phân số I.Phương pháp giải A n Bài toán tổng quát: Tìm số tự nhiên n sao cho có giá trị nguyên. B n Cách làm: A n 1 d Ư d . b a,b,d ¢ C n B n a C n Nếu a 1 ta tìm được n và kết luận. Nếu a 1 ta tìm được n cần thử lại rồi kết luận. Bài toán tổng quát: Đối với các bài toán: “Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản hoặc rút gọn được” ta làm như sau: Gọi d là ước nguyên tố của tử và mẫu. Dùng các phép toán cộng, trừ, nhân để khử n để từ đó tìm d . Đối với các bài toán: “Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản” ta tìm n để tử số hoặc mẫu số không chia hết cho các ước nguyên tố. Đối với các bài toán: “Tìm số tự nhiên n để phân số rút gọn được” ta tìm n để tử số hoặc mẫu số chia hết cho các ước nguyên tố. II.Bài toán
2. Ta có bảng sau: n 4 1 1 2 2 7 14 n 5 3 6 2 11 18 A 15 13 16 3 21 1 4 2 2 4 14 ( loại ) ( loại) ( loại) Vậy n 2;6;18 . Bình luận: - Ngoài cách lập bảng trên ta có thể để ý rằng: n 10 M 2n 8 n 10 M 2 n 4 n 10 M2 . Kết hợp với n 4 2; 1;1;2;7;14 n 2; 3; 5; 6;11; 18 n 2;6;18 .    - Đối với bài toán trên với n 5;3;11 đều là số nguyên nhưng khi thay vào A thì không được giá trị nguyên vì: theo bài ra thì n 10 M 2n 8 n 10 M n 4 nhưng không có điều ngược lại. 2n 3 Bài 3: Chứng minh rằng phân số tối giản với mọi số tự nhiên n . 4n 8 Phân tích: Để chứng minh một phân số là phân tối giản thì ta cần chứng minh ước chung lớn nhất của tử và mẫu phải bằng 1. Lời giải: Điều kiện: n ¥ 2n 3Md 4n 6Md Giả sử ƯCLN 2n 3,4n 8 d 2Md d 1;2 4n 8Md 4n 8Md Vì 2n 3 là số tự nhiên lẻ nên d 2. 2n 3 Vậy d 1 nên phân số là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n . 4n 8 21n 3 Bài 4: Tìm số tự nhiên n để phân số A rút gọn được. 6n 4 Lời giải:
3. n 3 Để phân số có giá trị nguyên thì 2n 2 n 3 M 2n 2 n 3 M 2 n 1 n 3 M n 1 n 1 4 M n 1 4M n 1 Suy ra n 1 là ước của 4 . Ư 4 1; 2; 4 mặt khác n là số tự nhiên nên n 1 1 nên n 1 1;1;2;4 Ta có bảng sau: n 1 1 1 2 4 n 0 2 3 5 n 3 3 5 3 8 1 2n 2 2 2 2 8 Loại Loại n 3 Vậy n 5 thì phân số có giá trị nguyên. 2n 2 Cách 2: n 3 Để phân số có giá trị nguyên thì 2n 2 n 3 M 2n 2 2 n 3 M2n 2 2n 6 M 2n 2 2n 2 8 M 2n 2 8M 2n 2 4M n 1 . Suy ra n 1 là ước của 4 Ư 4 1; 2; 4mặt khác n là số tự nhiên nên n 1 1 nên n 1 1;1;2;4 Ta có bảng sau: n 1 1 1 2 4 n 0 2 3 5 n 3 3 5 3 8 1 2n 2 2 2 2 8 ( loại) ( loại) n 3 Vậy n 5 thì phân số có giá trị nguyên. 2n 2
4. (loại) n 7 Vậy n 0;1;4; 7thì có giá trị nguyên. 3n 1 b) Điều kiện: n ¢ 3n 2 Để phân số là số tự nhiên thì 4n 5 3n 2 M 4n 5 4 3n 2 M 4n 5 12n 8 M 4n 5 hay 12n 15 23 M 4n 5 . 3 4n 5 23 M 4n 5 Mà 3 4n 5 M 4n 5 nên 23 M 4n 5 4n 5 Ư 23 . Ư 23 1; 23 . Ta có bảng sau: 4n 5 1 1 23 23 n 3 1 7 9 2 2 (loại vì n ¢ ) (loại vì n ¢ ) A 5 1 0 (loại) 3n 2 Vậy n 7 thì là số tự nhiên. 4n 5 8n 193 Bài 8: Tìm số tự nhiên n để phân số A . 4n 3 a) Có giá trị là số tự nhiên. b) Là phân số tối giản. c) Phân số A rút gọn được với 150 n 170 . Lời giải: Điều kiện: n ¥ a) Để phân số A là số tự nhiên thì
5. Vì 150 n 170 nên: TH1: 150 11k 2 170 148 11k 168 k 14;15 Với k 14 thì n 156 Với k 15 thì n 167 TH2: 150 17m 5 170 155 17m 175 m 10 Với m 10 thì n 165 8n 193 Vậy n 156;165;167 thì phân số A rút gọn được. 4n 3 18n 3 Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số có thể rút gọn được. 21n 7 Lời giải: Điều kiện: n ¥ Gọi d là ước nguyên tố của 18n 3 và 21n 7 thì: 18n 3Md 7 18n 3 Md 126n 21Md 126n 42 126n 21 M d 21Md 21n 7Md 6 21n 7 Md 126n 42Md d 3;7 với n ¥ và d là số nguyên tố. 18n 3 Với d 3 mà 18n 3M3 n ¥ nên để phân số có thể rút gọn được thì 21n 7M3 21n 7 Mà 21n 7M3 n ¥ (vì 21nM3 và 7M3 ) d 3 18n 3 Với d 7 thì 21n 7 M 7 n nên để phân số rút gọn được thì 21n 7 18n 3M7 21n 3n 3 M7 3 n 1 M7 n 1M7 n 1 7k n 7k 1 k ¢ 18n 3 Vậy với n 7k 1 k ¢ thì phân số rút gọn được. 21n 7 4n 5 Bài 10: Tìm số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên. 2n 1 Lời giải Điều kiện: n ¢ 4n 5 Để phân số là số nguyên thì 2n 1 4n 5 M 2n 1 hay 4n 2 7 M 2n 1 2 2n 1 7 M 2n 1
6. Bài 12: Với giá trị nào của số tự nhiên a thì : 8a 19 a) có giá trị nguyên 4a 1 5a 17 b) có giá trị lớn nhất. 4a 23 Lời giải: Điều kiện: a ¥ 8a 19 a) Để là số nguyên thì 4a 1 8a 19 M 4a 1 hay 8a 2 17 M 4a 1 hay 2 4a 1 17 M 4a 1 Mà 2 4a 1 M 4a 1 17M 4a 1 4a 1 Ư 17 Ư 17 1; 17. Ta có bảng sau: 4a 1 1 1 17 17 a 0 1 4 9 2 2 (loại vì a ¥ ) (loại vì a ¥ ) A 19 3 8a 19 Vậy a 0;4 thì là số nguyên. 4a 1 5 5 47 . a . a 5a 17 4 17 4 23 5 47 a) Ta có: 4 4 4 4a 23 4a 23 4a 23 4 4 4a 23 5a 17 Để có giá trị lớn nhất thì 4a 23 có giá trị nhỏ nhất 4a 23 Mà a ¥ nên 4a 23 1 4a 24 a 6. 5a 17 Vậy a 6 thì có giá trị lớn nhất. 4a 23 x 6 z Bài 13: Tìm x, y , z biết và x z 7 y . 3 y 10 Lời giải:
7. a b a b Bài 15: Tìm các số tự nhiên a,b sao cho: . 2 3 2 3 Lời giải: Ta luôn có: a a (xảy ra dấu bằng với a 0) 2 5 b b (xảy ra dấu bằng với b 0) 3 5 a b a b a b Do đó: . 2 3 5 5 5 a b a b Xảy ra chỉ trong trường hợp a b 0. 2 3 5 Dạng 2: Tìm phân số biết mối liên hệ giữa tử và mẫu Một số điều kiện cho trước thường gặp:  Biết tử số (hoặc mẫu số), phân số cần tìm lớn hơn phân số này và nhỏ hơn phân số kia.  Viết phân số dưới dạng tổng các phân số đã biết cùng số tử (hoặc cùng số mẫu).  Liên hệ về phép chia giữa phân số cần tìm với phân số đã cho.  Biết phân số bằng phân số nào đó và biết quan hệ ƯCLN(Tử , Mẫu) hoặc tổng (hiệu) của tử và mẫu.  Cộng một số vào tử hoặc mẫu được một phân số mới Phương pháp giải: - Nếu bài toán cho tử số (mẫu số), biến đổi sao cho ba phân số đồng tử (đồng mẫu) rồi so sánh các phân số ta tìm được mẫu số(tử số) còn thiếu. -Ở dạng toán viết phân số dưới dạng tổng các phân số đã biết cùng số tử (hoặc cùng số mẫu) ta phải tìm được bộ số thuộc các ước của mẫu sao cho tổng của chúng bằng tử. Khi đó ta tìm được bộ phân số có tổng bằng phân số ban đầu, các phân số này có tử số là ước của mẫu nên khi viết dưới dạng tối giản đều có tử số bằng 1. - Từ các dữ kiện bài toán ta vận dụng linh hoạt các tính chất của phân số tối giản với tính chia hết để giải toán.
8. Phân tích: Nhận thấy nếu mẫu số bằng 15 , Ư (15) 1;3;5;15 ta không tìm được bộ ba số nào có tổng bằng 11. Lặp lại cách thử này đối với mẫu và tử của phân số khi nhân cả tử và mẫu của phân số với cùng một số cho đến khi tìm được bộ số thỏa mãn. Dễ thấy khi nhân cả tử và mẫu phân số với 4 ta được phân 44 số , Ư (60) 1;2;3;4;5;10;15;20;30;60khi đó ta tìm được bộ ba số cộng với nhau bằng 44 là 60 4;10;30. Lời giải: 11 44 Ư (60) 1;2;3;4;5;10;15;20;30;60 15 60 44 10 30 4 11 1 1 1 30 10 4 44 . 60 60 60 60 15 6 2 15 5 Bài 4: Hãy viết phân số dưới dạng tổng của 3 phân số có tử số đều bằng 1 và có mẫu số khác nhau. 3 Lời giải: 5 10 Ư 6 1;2;3;6 3 6 10 6 3 1 5 1 1 1 6 3 1 10 . 6 6 6 6 3 1 2 6 a a a 7 12 Bài 5: Tìm phân số tối giản nhỏ nhất (với 0 ) biết khi chia cho và được thương là các số b b b 15 25 nguyên. Phân tích: a 7 15a Do tính chất chia hết ta có: chia hết cho nên là số nguyên, vậy a chia hết cho 7 , 15 chia hết b 15 7b a 12 25a cho b . Tương tự, chia hết cho nên là số nguyên, vậy a chia hết cho 12, 25 chia hết cho b . b 25 12b Do tính chất của phân số tối giản và lớn hơn 0 nên ta có a BCNN(7,12) và b ƯCLN 15,25 . Lời giải: a a.15 a.25 Vì tối giản nên a ƯCLN a,b 1. và ; là các số nguyên nên a chia hết cho 7 và 12 còn b b.7 b.12 15 và 25 chia hết cho b .
9. 15 3 3 Ta thấy ƯCLN 15,20 5. Suy ra và là phân số tối giản. 20 4 4 Mà ƯCLN của cả tử và mẫu của phân số cần tìm là 14. 3 Nên phân số cần tìm đã được rút gọn thành bằng cách chia cả tử và mẫu cho 14. Vậy phân số cần tìm là 4 3.14 42 . 4.14 56 Bài 9: Tìm một phân số tối giản, biết rằng khi cộng mẫu số vào tử số và cộng mẫu số vào mẫu số của phân số ấy thì được một phân số mới, lớn gấp 2 lần phân số ban đầu ? Lời giải: a Gọi phân số tối giản lúc đầu là . Nếu chỉ cộng mẫu số vào tử số và cộng mẫu số vào mẫu số ta được phân b a b a b số . b b 2b a b Để gấp 2 lần phân số lúc đầu thì a b phải bằng 4 lần a 2b Mẫu số b phải gấp 3 lần tử số a . 1 Phân số tối giản thoả mãn điều kiện trên là . 3 Bình luận: Từ giả thiết bài toán ta tìm được mối liên hệ giữa tử và mẫu. Từ đó tìm được phân ban đầu. Bài 10: Tìm một phân số tối giản, biết rằng khi cộng tử số vào tử số và cộng tử số vào mẫu số của phân số ấy thì được một phân số mới, giảm 6 lần phân số ban đầu ? Lời giải: a Gọi phân số tối giản lúc đầu là . Nếu chỉ cộng tử số vào tử số và cộng tử số vào mẫu số ta được phân số b a a 2a . b a a b 2a Để giảm 6 lần phân số ban đầu thì a b phải bằng 12 lần b a b Tử số a phải gấp 11 lần mẫu số b .
10. Theo đề bài thì: ƯCLN a,b 30 (3) Từ (1), (2) và (3) k 30. Khi đó a 3.30 90;b 5.30 150. Vậy a 90;b 150. 15 49 36 Bài 13: Cho ba phân số ; ; . Biến đổi ba phân số trên thành các phân số bằng chúng sao cho mẫu 42 56 51 của phân số thứ nhất bằng tử của phân số thứ hai, mẫu của phân số thứ hai bằng tử của phân số thứ ba. Lời giải: 49 7 42 Vì mẫu của phân số thứ nhất bằng tử của phân số thứ hai nên ta có: 56 8 48 36 12 48 Vì mẫu của phân số thứ hai bằng tử của phân số thứ ba nên ta có: 51 17 68 15 42 48 Vậy ba phân số cần tìm là: ; ; . 42 48 68 Bài 14: Trung bình cộng của tử số và mẫu số của một phân số là 68. Cộng thêm vào tử số của phân số đó 3 4 đơn vị thì ta được phân số mới bằng phân số . Tìm phân số ban đầu. 2 Lời giải: Tổng của tử số và mẫu số là: 68.2 136 Nếu cộng thêm vào tử số 4đơn vị thì ta được tổng mới là: 136 4 140 Ta có sơ đồ: Tử số: | | | | Mẫu số: | | | Tử số mới là: 140 : 3 2 .3 84 Tử số ban đầu là: 84 4 80 Mẫu số ban đầu là: 136 80 56 80 Vậy phân số ban đầu là: . 56 a a Bài 15: Cho hai số a và b thỏa mãn: a b 2 a b . Chứng minh a 3b. Tính . Tìm a,b . b b Lời giải:
11. a 8k 1 8.3 1 25 Với k 3 thì b 9k 5 9.3 5 32 Vậy a 17;b 23 hoặc a 25;b 32.  HẾT 