Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 2: Phân số tối giản (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 2: Phân số tối giản (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6.CHUYấN ĐỀ 9-PHÂN SỐ CHỦ ĐỀ 2:PHÂN SỐ TỐI GIẢN PHẦN I.TểM TẮT Lí THUYẾT -Phõn số tối giản hay cũn gọi là phõn số khụng thể rỳt gọn được nữa là phõn số mà tử và mẫu chỉ cú ước chung là 1 và -1. a a -Giả sử ta cú phõn số . Phõn số được gọi là phõn số tối giản khi và chỉ khi ệCLN a,b 1. b b a b - Nếu phõn số là phõn số tối giản thỡ phõn số cũng là phõn số tối giản. b a - Tổng (hiệu) của một số nguyờn và một phõn số tối giản là một phõn số tối giản. -Tớnh chất: am + a bm bm + am a.km -Thuật toỏn Ơclit tỡm ƯCLN(a;b): Ta tỡm UCLN(a ;b) bằng cỏch dựng thuật toỏn Euclide như sau : a = bq0 + r1 với 0 < r1 < b b = r1 q1 + r2 với 0< r2 < r1 rn-1 = rnqn . Thuật toỏn phải kết thỳc với một số dư bằng 0 Do đú ta cú: (a; b) = (b; r1) = (r1; r2) = =(rn-1; rn) = rn. PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1:Chứng minh phõn số với tham số n là phõn số tối giản. I.Phương phỏp giải a Chứng minh phõn số là phõn số tối giản, ta cần chứng minh ệCLN a,b 1, hoặc dựng b thuật toỏn Euclide hoặc tổng (hiệu) của một số nguyờn và một phõn số tối giản là một phõn số tối giản. II.Bài toỏn
2. Giả sử ệCLN n,2n 1 d nd 2nd 2n 1d 2n 1d (2n 1) 2n  d 2n 1 2n  d 1d d 1 n Vậy phõn số là phõn số tối giản. 2n 1 1 b. 7n 1 1 Vỡ ệCLN 1,7n 1 1nờn là phõn số tối giản. 7n 1 n 5 c. n 6 Giả sử ệCLN n 5,n 6 d. n 5d n 6d (n 6) (n 5)  d n 6 n 5  d 1d d 1 n 5 Vậy phõn số là phõn số tối giản. n 6 n 1 d. 2n 3 Giả sử ệCLN n 1,2n 3 d. n 1d 2n 2d 2n 3d 2n 3d (2n 3) (2n 2)  d
3. (6n 21) (6n 20)  d 6n 21 6n 20  d 1d d 1 2n 7 Vậy phõn số là phõn số tối giản. 3n 10 2n 3 h. 4n 4 Giả sử ệCLN 2n 3,4n 4 d. 2n 3d 2(2n 3)d 4n 6d 4n 4d 4n 4d 4n 4d (4n 6) (4n 4)  d 4n 6 4n 4  d 2d Vỡ 2n 3là số lẻ, 4n 4 là số chẵn nờn suy ra d 1 2n 3 Vậy phõn số là phõn số tối giản. 4n 4 Bài 3: Chứng minh rằng cỏc phõn số sau tối giản: n2 1 n 7n 1 n 2n2 n 1 a. b. c. d. e. n n2 1 7n2 n 1 n3 1 n Lời giải n2 1 a. n Ta cú: Theo thuật toỏn Euclide: ệCLN n2 1,n ệCLN n;1 1. n2 1 Do đú: phõn số là phõn số tối giản. n n b. n2 1 n2 1 n Vỡ phõn số là phõn số tối giản nờn phõn số là phõn số tối giản. n n2 1
4. Suy ra: d 1 a Vậy phõn số là phõn số tối giản. a 2 a3 2a2 1 Bài 5: Chứng minh rằng nếu a là số nguyờn khỏc -1 thỡ giỏ trị của biểu thức A là phõn a3 2a2 2a 1 số tối giản. Lời giải 2 a3 2a2 1 a 1 a a 1 a2 a 1 Ta cú: A a3 2a2 2a 1 a 1 a2 a 1 a2 a 1 Gọi d ệCLN(a2 a 1,a2 a 1) a2 a 1d 2 a a 1d a2 a 1 a2 a 1 d 2d Mà a2 a 1 a(a 1) 1 là số lẻ nờn d lẻ d 1 Vậy với a khỏc -1 thỡ giỏ trị của A là phõn số tối giản. 2n 1 Bài 6: Chứng minh với mọi số nguyờn n khỏc khụng thỡ phõn số là phõn số tối giản. 2n(n 1) Lời giải Giả sử d ệCLN 2n 1,2n n 1 2n 1d 2n(n 1)d 2n 1d n(2n 2)d Mà ệCLN 2n 1,2n 2 1nờn 2n 1d 2n 1d nd 2nd 2n 1 2nd 1d d 1
5. Giả sử d ệC 3n 2,7n 1 3n 2d 7(3n 2)d 21n 14d 7n 1d 3(7n 1)d 21n 3d (21n 14) (21n 3)d 21n 14 21n 3d 11d d 1; 11 3n 2 Để phõn số là phõn số tối giản thỡ d 11 7n 1 Hay 7n 1 khụng chia hết cho 11. Ta cú: 7n 1 11k 7n 1 22 11k (k Z) 7(n 3) 11k n 3 11k n 11k 3 2n 3 Vậy: với n 11k 3 thỡ phõn số là phõn số tối giản. 4n 1 2n 7 c. 5n 2 Giả sử d ệC 2n 7,5n 2 2n 7d 5(2n 7)d 10n 35d 5n 2d 2(5n 2)d 10n 4d (10n 35) (10n 4)d 10n 35 10n 4d 31d d 1; 31 2n 7 Để phõn số là phõn số tối giản thỡ d 31 5n 2 Hay 2n 7 khụng chia hết cho 31. Ta cú: 2n 7 31k 2n 7 31 31k (k Z) 2(n 12) 31k
6. n2 n 7 c. n 1 n2 n 7 7 Ta cú: n ( với n 1) n 1 n 1 n2 n 7 7 Để là phõn số tối giản thỡ là phõn số tối giản. n 1 n 1 7 Mà là phõn số tối giản ta phải cú ệCLN 7,n 1 1 n 1 Vỡ 7 là số nguyờn tố do đú nếu ệCLN 7,n 1 1 thỡ n 17 hay n 1 7k (k Z) do đú n 7k 1 (k Z) nờn ệCLN 7,n 1 1 khi n 7k 1 (k Z) n2 n 7 Vậy: phõn số là phõn số tối giản khi n 7k 1 (k Z) n 1 3 Bài 3: Tỡm tất cả cỏc số nguyờn n để phõn số là phõn số tối giản. 2n 3 Lời giải 3 Vỡ 3 là số nguyờn tố nờn là phõn số tối giản khi 2n 3 khụng chia hết cho 3. 2n 3 Do 33 nờn 2n 3 khi n 3hay n 3k (k Z) Bài 4: Tỡm cỏc số tự nhiờn n để cỏc phõn số sau là phõn số tối giản. 4n2 6n 3 18n 3 8n 193 a. b. c. n 3 21n 7 4n 3 Lời giải 4n2 6n 3 a. 2n 3 Giả sử d ệC 4n2 6n 3,2n 3 4n2 6n 3d 4n2 6n 3d 4n2 6n 3d 2 2n 3d 2n(2n 3)d 4n 6nd (4n2 6n 3) (4n2 6n)d 4n2 6n 3 4n2 6nd
7. 8n 193 8n 6d 187d d 11;17 + d 11 4n 311 4n 3 1111 4n 811 4(n 2)11 n 211 n 11k 2 (k Z) + d 17 4n 317 4n 3 1717 4n 2017 4(n 5)17 n 517 n 17l 5 (l Z) 8n 193 Vậy: với n 11k 2, n 17l 5 (k,l Z) thỡ phõn số là phõn số tối giản. 4n 3 Bài 5: Tỡm tất cả số tự nhiờn n để cỏc phõn số sau là phõn số tối giản. 3 2n 16n 5 a. b. 4n 5 6n 1 Lời giải 3 2n a. 4n 5 Giả sử d ệC 3 2n,4n 5 3 2nd 2(3 2n)d 6 4nd 4n 5d 4n 5d 4n 5d (6 4n) (4n 5)d 6 4n 4n 5d 11d d 1; 11 3 2n Để phõn số là phõn số tối giản thỡ d 11 4n 5 Hay 3 2n khụng chia hết cho 11. Ta cú: 3 2n 11k 3 2n 11 11k (k Z) 2(n 4) 11k (k Z) n 4 11k n 11k 4 (k Z) 3 2n Vậy: với n 11k 4 (k Z) thỡ phõn số là phõn số tối giản. 4n 5
8. 3n2 2n 3 Để phõn số là phõn số tối giản thỡ d 11 2n 1 Hay 2n 1 khụng chia hết cho 11. Ta cú: 2n 1 11k 2n 1 11 11k (k Z) 2(n 6) 11k (k Z) n 6 11k n 11k 6 (k Z) 3n2 2n 3 Vậy: với n 11k 6 (k Z)thỡ phõn số là phõn số tối giản. 2n 1 Dạng 3: Tỡm tham số n để phõn số khụng tối giản. I.Phương phỏp giải Để một phõn số khụng tối giản thỡ tử số và mẫu số phải cú ớt nhất một ước chung là một số nguyờn tố. II.Bài toỏn 7 Bài 1: Tỡm tất cả cỏc số nguyờn n để n 1 là phõn số chưa tối giản. n 1 Lời giải 7 Để n 1 khụng là phõn số tối giản ta phải cú UCLN n 1;7 1 n 1 Vỡ 7 là số nguyờn tố do đú nếu UCLN n 1;7 1thỡ n 17 hay n –1 7k k  ,k 0 , do đú n 7k 1 k  ,k 0 63 Bài 2: Tỡm tất cả cỏc số nguyờn n để A khụng là phõn số tối giản. 3n 1 Lời giải Ta cú 63 32.7 nờn A khụng phải là phõn số tối giản khi 3n 1chia hết cho 3 hoặc 7 . Vỡ 3n 1khụng chia hết cho 3 nờn 3n 1phải chia hết cho 7 . hay 3n 1 7 3 n 2 7 n 27 (vỡ 3;7 1) do đú n 7k 2 k  ,k 0
9. abab Bài 5: Chứng minh rằng: là phõn số chưa tối giản. cdcd Lời giải abab ab.101 ab Ta cú cdcd cd.101 cd abab Vậy là phõn số chưa tối giản. cdcd 4n 7 Bài 6: Phõn số n Ơ rỳt gọn cho những số nguyờn dương nào? 6n 5 Lời giải Gọi d d  * là ước chung (nếu cú) của 4n 7 và 6n 5 4n 7d 3 4n 7 d 6n 5d 2 6n 5 d 3 4n 7 2 6n 5 d Suy ra 11d d 11 4n 7 Vậy phõn số n Ơ hoặc tối giản hoặc chỉ rỳt gọn được cho 11. 6n 5 Dạng 4:Chứng minh phõn số tối giản với điều kiện cho trước I.Phương phỏp giải - Dựng phương phỏp phản chứng. - Dựng định nghĩa phõn số tối giản. II.Bài toỏn p p q Bài 1: Cho phõn số (q N * ) tối giản.Chứng minh rằng phõn số tối giản. q q Lời giải Chứng minh bằng phương phỏp phản chứng. p q Giả sử khụng tối giản tức là tử p q và mẫu q cú một ước chung d 1. q suy ra p qd; qd pd
10. a 5bd mà bd nờn 5bd ad a Mặt khỏc do tối giản nờn d 1 1 b + Nếu 19d thỡ d 19 hoặc d 1 2 11a 2b Từ (1) và (2) suy ra hoặc tối giản hoặc rỳt gọn được cho 19. 18a 5b 15 28 Bài 4: Tỡm số tự nhiờn m nhỏ nhất khỏc 1 để cỏc phõn số ; đều tối giản. m m Lời giải 15 Xột phõn số , cú 15 3.5 m 15 Nờn phõn số tối giản khi m 3k;m 5k k  m 28 Xột phõn số , cú 28 22.7 m 28 Nờn phõn số tối giản khi m 2k;m 7k k  m 15 28 Vậy cỏc phõn số ; cựng tối giản khi m 3k;m 5k;m 2k;m 7k k  m m Mặt khỏc, m là số tự nhiờn nhỏ nhất khỏc 1nờn ta chọn m 11. 15 28 Vậy m 11thỡ cỏc phõn số ; đều tối giản. m m 7 10 11 Bài 5: Tỡm cỏc số nguyờn b 21 b 31 sao cho cỏc phõn số ; ; đều là phõn số tối giản. b b b Lời giải 7 10 11 Ta cú 10 2.5 nờn để cỏc phõn số ; ; đều là phõn số tối giản thỡ b b b b 2k;b 5k;b 7k;b 11k k  Vỡ b  , 21 b 31 nờn ta chọn b 23;27;29;31 . 7 10 11 Vậy b 23;27;29;31 thỡ cỏc phõn số ; ; đều là phõn số tối giản. b b b 7 8 31 Bài 6: Tỡm số tự nhiờn m nhỏ nhất để cỏc phõn số ; ; ; đều tối giản. m 9 m 10 m 33 Lời giải
11. n 7 Bài 8: Tỡm n Ơ ,n 2 để phõn số tối giản. n 2 Lời giải n 7 Ta cú phõn số tối giản nờn UCLN n 7,n 2 1 n 2 Mà n 7 n 2 9 nờn UCLN n 2;9 1 Do đú n 2 3 Đặt n 2 3a a Ơ Vậy n 2 3a a Ơ n n Bài 9: Chứng minh rằng 5n2 1 6 , với n Ơ thỡ ; là cỏc phõn số tối giản. 2 3 Lời giải 2 2 Vỡ với mọi n Ơ thỡ 5n 16 n lẻ n lẻ và n khụng chia hết cho 3 n n Vậy ; là cỏc phõn số tối giản. 2 3 a Bài 10: Chứng tỏ rằng nếu là phõn số tối giản thỡ: b a b 246913579 a) Phõn số cũng là phõn số tối giản, suy ra là tối giản. b 123456790 a b b a b) Phõn số hoặc cũng là phõn số tối giản. b b Lời giải a a) Vỡ phõn số là phõn số tối giản nờn UCLN a,b 1 b mà UCLN a,b UCLN a b,b 1 a b Do đú phõn số là phõn số tối giản. b 246913579 123456789 Suy ra 1 123456790 123456790
12. a 4 2 Suy ra 10a 4b nờn . b 10 5 a 2 Vậy phõn số cần tỡm là . b 5 Bài 2: Tỡm phõn số tối giản biết rằng khi cộng mẫu vào tử và cộng mẫu vào mẫu thỡ giỏ trị của phõn số đú tăng lờn gấp 2 lần. Lời giải a a b 2a a b 2a Gọi phõn số cần tỡm là (b 0) , theo đề bài ta cú: hay b b b b 2b b suy ra ab bb 4ab hay 3ab bb ab 1 a 1 suy ra hay (vỡ b 0 ) bb 3 b 3 a 1 Vậy phõn số cần tỡm là . b 3 a 14 12 Bài 3: Tỡm phõn số dương tối giản (b 0) nhỏ nhất sao cho khi nhõn phõn số này với cỏc phõn số ; b 5 25 thỡ kết quả là cỏc số nguyờn dương. Lời giải a 14 14a Ta cú . Ơ b 5 5b Mà UCLN a,b 1nờn a là bội của 5 và b là ước của 14 1 a 12 12a Lại cú . Ơ b 25 25b Mà UC a.b 1nờn a là bội của 25 và b là ước của 12 2 Từ 1 và 2 suy ra a BCNN(5;25) 25; b UCLN(14;12) 2 a 25 Vậy phõn số cần tỡm là . b 2 a Bài 4: Tỡm phõn số tối giản (b N * ) biết rằng lấy tử cộng với 6 , lấy mẫu cộng với 14 thỡ được một b 3 phõn số bằng . 7 Lời giải
13. Lời giải x Gọi phõn số cần tỡm là x  . Theo đề bài ta cú: 11 x x 18 11 11.7 7x x 18 7x x 18 11.7 11.7 6x 18 x 3 3 Vậy phõn số cần tỡm là . 11 3 Bài 8: Tỡm một phõn số khi chưa tối giản cú tổng của tử và mẫu là 1100, sau khi rỳt gọn được . Tỡm 7 phõn số ban đầu. Lời giải 3n Phõn số ban đầu cần tỡm và 3n 7n 1100 n Ơ * 7n Hay 10n 1100 n 110 330 Vậy phõn số ban đầu là . 770 a Bài 9: a) Với a là một số nguyờn tố nào thỡ phõn số là phõn số tối giản. 74 b b) Với b là một số nguyờn tố nào thỡ phõn số là phõn số tối giản. 225 Lời giải a a a) Ta cú là phõn số tối giản khi a là số nguyờn tố khỏc 2 và 37 . 74 2.37 b b b) Ta cú là phõn số tối giản khi b là số nguyờn tố khỏc 3 và 5 . 225 32.52 n3 5n 1 255 Bài 10: Tỡm n Ơ để . n4 6n2 n 5 1083 Lời giải Gọi UCLN n3 5n 1; n4 6n2 n 5 d d Ơ * suy ra n3 5n 1d n4 6n2 n 5 n n3 5n 1 d 4 2 n 6n n 5d Hay n2 5d
14. Bài 2: (HUYỆN PHÙ CÁT NĂM 2020-2021) n 1 Tỡm n  để phõn số là phõn số tối giản. 3n 1 Lời giải Gọi UCLN n 1,3n 1 d n 1d 3n 3d 3n 1d 3n 1d 3n 3 3n 1 d 4d d 1;2;4 n 1 Để là phõn số tối giản thỡ d 2;4 3n 1 n 1 2 n 1 2 n 1 4 n 1 2k k Ơ * n 2k 1 n 1 Vậy n 2k 1 k Ơ * thỡ phõn số là phõn số tối giản 3n 1 Bài 3: (HUYỆN THANH BA NĂM 2020-2021) 12n 1 Chứng minh phõn số sau là phõn số tối giản với mọi số tự nhiờn n : . 30n 2 Lời giải Gọi UCLN 12n 1,30n 2 d 12n 1d 5 12n 1 d 30n 2d 2 30n 2 d 60n 5 60n 4 d 1d d 1 12n 1 Vậy phõn số là phõn số tối giản với mọi số tự nhiờn n . 30n 2 Bài 4: (HUYỆN CHƯƠNG MỸ NĂM 2020-2021) 3n 5 Cho phõn số P (n N) n 2 a) Chứng tỏ rằng phõn số P tối giản. b) Tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị bộ nhất của biểu thức P. Lời giải
15. Bài 6: (HUYỆN NHO QUAN NĂM 2020-2021) 14n 3 Chứng tỏ rằng với n là số nguyờn dương thỡ là phõn số tối giản. 24n 5 Lời giải Gọi d ệCLN 14n 3;24n 5 14n 3d 12.(14n 3)d 168n 36d 24n 5d 7.(24n 5)d 168n 35d (168n 36) (168n 35)d 168n 36 168n 35d 1d d 1 14n 3 Vậy: phõn số phõn số là phõn số tối giản với n N. 24n 5 Bài 7: (HUYỆN TRIỆU SƠN NĂM 2020-2021) 1 3n Tỡm cỏc số tự nhiờn n để phõn số là phõn số tối giản. 2n 3 Lời giải Gọi d ệC 1 3n;2n 3 1 3nd 2.(1 3n)d 2 6nd 2n 3d 3.(2n 3)d 6n 9d (2 6n) (6n 9)d 2 6n 6n 9d 7d d 1; 7 1 3n Để phõn số là phõn số tối giản thỡ d 7 2n 3 Hay 2n 3 khụng chia hết cho 7 2n 3 7k 2n 3 7 7k 2n 10 7k
16. Tỡm số tự nhiờn n nhỏ nhất để cỏc phõn số sau đều là phõn số tối giản: 7 8 9 100 ; ; ; ; n 9 n 10 n 11 n 102 Lời giải x Ta cú cỏc phõn số đó cho đều cú dạng với x 7;8;9; ;100 x (n 2) Do đú để cỏc phõn số đều tối giản thỡ x và n 2 phải nguyờn tố cựng nhau. Suy ra n 2 phải nhỏ nhất và nguyờn tố cựng nhau với cỏc số 7;8;9; ;100 n 2 là số nguyờn tố nhỏ nhất và lớn hơn 100 n 2 101 n 99 HẾT