Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 6: Dãy phân số theo quy luật (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 6: Dãy phân số theo quy luật (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6. CHUYấN ĐỀ 9-PHÂN SỐ CHỦ ĐỀ 6: DÃY PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT PHẦN I. TểM TẮT Lí THUYẾT Lý thuyết nờu trong từng dạng bài tập ở phần II. PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI k Dạng 1: Tổng dóy phõn số cú dạng . a. a k 1 1 1 1 1) Tớnh tổng : S = + + + + a1.a2 a2 .a3 a3.a4 an- 1.an Với a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = = an - an- 1 = 1 Phương phỏp: 1 a - a 1 1 Ta cú: = 2 1 = - ; a1.a2 a1.a2 a1 a2 1 a - a 1 1 = 3 2 = - ; a2 .a3 a2 .a3 a2 a3 1 a - a 1 1 = n n- 1 = - ; an- 1.an an- 1.an an- 1 an Do đú: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S = - + - + - + + - = - a1 a2 a2 a3 a3 a4 an- 1 an a1 an 1 1 1 Bài 1: Tớnh tổng: A 1.2 2.3 2014.2015 Lời giải: Ta cú:
2. k a - a 1 1 = n n- 1 = - ; an- 1.an an- 1.an an- 1 an Do đú: 1 ổ1 1 1 1 1 1 1 1 ử 1 ổ1 1 ử S = ỗ - + - + - + + - ữ= ỗ - ữ ỗ ữ ỗ ữ k ốa1 a2 a2 a3 a3 a4 an- 1 an ứ k ốa1 an ứ 2 2 2 2 Bài 4: Tớnh tổng A = + + + + 1.3 3.5 5.7 99.101 Lời giải: Ta cú: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 A = + + + + = - + - + - + + - = - = 1.3 3.5 5.7 99.101 1 3 3 5 5 7 99 101 1 101 101 100 Vậy S 101 1 1 1 1 1 Bài 5: Tớnh tổng S 1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 Lời giải: Ta cú: 1 1 1 1 1 S 1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 1 1 1 1 1 S 1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 1 2 2 2 2 2 S 2 1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 2 1 3 3 5 5 7 7 9 97 99 1 1 1 S 2 1 99 1 98 S . 2 99 49 S 99
3. Bài 7: Tớnh giỏ trị của biểu thức : ổ3 3 3 3 ử ổ 25 25 25 ử A = ỗ + + + + ữ- ỗ + + + ữ ốỗ1.8 8.15 15.22 106.113ữứ ốỗ50.55 55.60 95.100ữứ Lời giải: 3 3 3 3 Đặt B = + + + + 1.8 8.15 15.22 106.113 Ta cú : ổ7 7 7 7 ử 7B = 3ỗ + + + + ữ ốỗ1.8 8.15 15.22 106.113ứữ ổ1 1 1 1 1 1 1 1 ử 7B = 3ỗ - + - + - + + - ữ ốỗ1 8 8 15 15 22 106 113ứữ ổ1 1 ử 112 3.112 48 7B = 3ỗ - ữ= 3. ị B = = ốỗ1 113ứữ 113 7.113 113 25 25 25 Đặt C = + + + 50.55 55.60 95.100 Ta cú : 1 5 5 5 C = + + + 5 50.55 55.60 95.100 1 1 1 1 1 1 1 C = - + - + + - 5 50 55 55 60 95 100 1 1 1 1 C = - = 5 50 100 100 1 ị C = 20 48 1 847 Khi đú A = B - C = - = 113 20 2260 847 Vậy A . 2260 9 9 9 1 Bài 8: Tớnh nhanh : A = + + + + 9.19 19.29 29.39 1999.2009 Lời giải: 9 9 9 1 A = + + + + 9.19 19.29 29.39 1999.2009
4. 299 299 299 299 299A = + + + + 1.300 2.301 3.302 101.400 ổ1 1 ử ổ1 1 ử ổ1 1 ử ổ1 1 ử 299A = ỗ - ữ+ ỗ - ữ+ ỗ - ữ+ + ỗ - ữ ốỗ1 300ứữ ốỗ2 301ứữ ốỗ3 302ứữ ốỗ101 400ứữ ổ1 1 1 1 ử ổ1 1 1 1 ử 299A = ỗ + + + + ữ- ỗ + + + + ữ ốỗ1 2 3 101ứữ ốỗ300 301 302 400ứữ 101 101 101 101 101B = + + + + 1.102 2.103 3.104 299.400 ổ1 1 ử ổ1 1 ử ổ1 1 ử ổ1 1 ử 101B = ỗ - ữ+ ỗ - ữ+ ỗ - ữ+ + ỗ - ữ ốỗ1 102ứữ ốỗ2 103ứữ ốỗ3 104ứữ ốỗ299 400ứữ ổ1 1 1 1 ử ổ1 1 1 1 ử 101B = ỗ + + + + ữ- ỗ + + + + ữ ốỗ1 2 3 299ứữ ốỗ102 103 104 400ứữ ổ1 1 1 1 ử ổ1 1 1 ử 101B = ỗ + + + ữ- ỗ + + + ữ ốỗ1 2 3 101ứữ ốỗ300 301 400ứữ A 101 Khi đú 299A = 101B ị = . B 299 1 1 1 1 1 1 Bài 11: Rỳt gọn : A = - - - - - - 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 Lời giải: Ta cú: 1 1 1 1 1 1 A = - - - - - - 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 1 ổ 1 1 1 1 1 ử A = - ỗ + + + + + ữ 100 ốỗ100.99 99.98 98.97 3.2 2.1ứữ 1 ổ1 1 1 1 1 ử A = - ỗ + + + + + + ữ 100 ốỗ1.2 2.3 97.98 98.99 99.100ứữ 1 ổ1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ử A = - ỗ - + - + + - + - + - ữ 100 ốỗ1 2 2 3 97 98 98 99 99 100ứữ 1 ổ1 1 ử A = - ỗ - ữ 100 ốỗ1 100ứữ 1 1 - 49 A = - 1+ = 100 100 50 49 Vậy A . 50 Dạng 2: Tổng dóy phõn số cú mẫu là tớch n số tự nhiờn liờn tiếp n 3 .
5. 1 ổ1 1 ử S = ỗ - ữ n 2 ốỗ1.2 (n + 1)(n + 2)ứữ 1 1 1 Bài 1: Tớnh A 1.2.3 2.3.4 37.38.39 Lời giải: Ta cú: 1 1 1 A 1.2.3 2.3.4 37.38.39 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 2 1.2 2.3 2 2.3 3.4 2 37.38 38.39 1 1 1 1 1 1 1 A 2 1.2 2.3 2.3 3.4 37.38 38.39 1 1 1 A 2 1.2 38.39 185 A 741 185 Vậy A . 741 1 1 1 1 Bài 2: Tớnh tổng S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 Lời giải: Ta cú: 1 1 1 1 2 2 2 2 S 2S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2S 2 1 3 3 2 4 4 3 5 98 97 99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2425 2S . . . . . . . . . 2 1 2 3 3 2 3 4 4 3 4 5 98 97 98 99 2 1 98.99 4851 2425 S 9702 2425 Vậy A . 9702 1 1 1 2) Tớnh tổng sau: S = + + + 1.2.3.4 2.3.4.5 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) - Nhận xột đề bài:
6. 1 1 1 B 1.2.3.4 2.3.4.5 27.28.29.30 1 1 4059 3B 1.2.3 28.29.30 28.29.30 1353 B 8120 1353 Vậy A . 8120 18 18 Bài 4: Tớnh D 10.11.12.13 96.97.98.99 Lời giải: Ta cú: 18 18 D 10.11.12.13 96.97.98.99 1 1 D 6 10.11.12 97.98.99 97.49.3 20 D 6. 97.98.99.20 14239 D 3136980 14239 Vậy D . 3136980 Dạng 3. Tớch dóy phõn số theo quy luật Bài 1: Tớnh tớch. 22 32 42 202 12 22 32 102 a) A = . . b) B = . . 1.3 2.4 3.5 19.20 1.2 2.3 3.4 10.11 Lời giải: a) Ta cú: 22 32 42 202 2.2 3.3 4.4 20.20 (2.3.4 20)(2.3.4 20) 20.2 40 A = . . = . . = = = 1.3 2.4 3.5 19.20 1.3 2.4 3.5 19.20 (1.2.3 19)(3.4.5 21) 21 21 b) Ta cú: 12 22 32 102 1.1 2.2 3.3 10.10 (1.2.3 10)(1.2.3 10) 1 B = . . = . . = = 1.2 2.3 3.4 10.11 1.2 2.3 3.4 10.11 (1.2.3 10)(2.3.4 11) 11
7. ổ 1ử ổ 1ử ổ 1 ử ổ 1 ử A = ỗ1- ữ.ỗ1- ữ.ỗ1- ữ ỗ1- ữ ốỗ 4ữứ ốỗ 9ứữốỗ 16ứữ ốỗ 400ứữ 3 8 15 399 A = . . 4 9 16 400 1.3 2.4 3.5 19.21 A = . . 2.2 3.3 4.4 20.20 (1.2.3 19)(3.4.5 21) A = (2.3.4 20)(2.3.4 20) 21 A = 20.2 21 A = 40 21 Vậy A 40 Bài 5: Tớnh: ổ 1 ử ổ 1 ử ổ 1 ử ổ 1 ử ổ 1ử ổ 1ử ổ 1 ử a) A = ỗ1+ ữ.ỗ1+ ữ.ỗ1+ ữ ỗ1+ ữ b) B = ỗ1- ữ.ỗ1- ữ ỗ1- ữ. ốỗ 1.3ữứ ốỗ 2.4ứữốỗ 3.5ứữ ốỗ 2018.2020ứữ ốỗ 5ứữốỗ 6ứữ ốỗ 100ứữ Lời giải: a) Ta cú: ổ 1 ử ổ 1 ử ổ 1 ử ổ 1 ử A = ỗ1+ ữ.ỗ1+ ữ.ỗ1+ ữ ỗ1+ ữ ốỗ 1.3ứữốỗ 2.4ứữốỗ 3.5ứữ ốỗ 2018.2020ứữ 22 32 42 20192 A = . . 1.3 2.4 3.5 2018.2019 (2.3.4 2019)(2.3.4 2019) A = (1.2.3 2.18)(3.4.5 2019) A = 2.2019 = 4038 Vậy A 4038 b) Ta cú:
8. 1 ổ 1 ử ổ 1 ử ổ 1 ử ổ 1 ử A = .ỗ1+ ữ.ỗ1+ ữ.ỗ1+ ữ ỗ1+ ữ 2 ốỗ 1.3ứữốỗ 2.4ứữốỗ 3.5ứữ ốỗ 2015.2017ứữ 1 ổ2.2ử ổ3.3ử ổ4.4ử ổ2016.2016ử A = .ỗ ữ.ỗ ữ.ỗ ữ ỗ ữ 2 ốỗ1.3ứữốỗ2.4ứữốỗ3.5ứữ ốỗ2015.2017ứữ 1 ộ(2.3.4 2016)(2.3.4 2016)ự A = .ờ ỳ 2 ờ ỳ ởờ(1.2.3 2015)(3.4.5 2017)ỷỳ 1 ổ2016 2 ử A = .ỗ . ữ 2 ốỗ 1 2017ứữ 2016 A = 2017 2016 Vậy A 2017 1 1.3.5 39 Bài 8: So sỏnh: V = và U = 220 - 1 21.22.23 40 Lời giải: 1.3.5 39 1.3.5 37.39 1.3.5 37.39 U = = = 21.22.23 40 (21.23.25 39)(22.24.26 40) (21.23.25 39).210 (11.12.13 20) 1.3.5 37.39 1.3.5 37.39 = = 210 (21.23.25 39).(11.13 19)(12.14 20) 210 (11.13.55 39).25.(6.7.8.9.10) 1.3.5 37.39 1.3.5 37.39 1.3.5 37.39 1 = = = = 215 (7.9.11 39).(6.8.10) 215 (7.9 39).25.3.5 220.3.5.7 39 220 1 1 Mà < ị U < V 220 220 - 1 Dạng 4: Tớnh tổng dóy phõn số cú mẫu là lũy thừa cỏc số tự nhiờn. 1 1 1 Bài 1: Tớnh tổng sau: S = + + + (1) 2 22 22005 Lời giải: Cỏch 1: Ta thấy mỗi số hạng liền sau của tổng đều kộm số hạng liền trước của nú 2 lần. 1 1 1 2S = 1+ + + + (2) 2 22 22004 1 22005 - 1 Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta được S = 1- = 22005 22005
9. ổ1 1 1 1 ử 1 1 1 1 1 Đặt A = ỗ + + + + ữị A = + + + + ốỗ5 54 57 5100 ữứ 53 54 57 510 5103 1 ổ1 1 ử ổ1 1 ử ổ1 1 ử ổ1 1 ử A - A = ỗ - ữ+ ỗ - ữ+ + ỗ - ữ+ ỗ - ữ 125 ốỗ54 54 ứữ ốỗ57 57 ứữ ốỗ5100 5100 ứữ ốỗ5 5103 ữứ 124.A 1 1 5102 - 1 = - = 125 5 503 5103 5102 - 1 ị A = 5100.124 1 1 1 1 Bài 5: Tớnh tổng: C = + + + + 2 23 25 299 Lời giải: 1 1 1 1 1 1 Ta cú: C = + + + + + 22 23 25 27 299 2101 1 3 ổ1 1 ử ổ1 1 ử ổ1 1 ử ổ1 1 ử C - C = C = ỗ - ữ+ ỗ - ữ+ + ỗ - ữ+ ỗ - ữ 4 4 ốỗ23 23 ữứ ốỗ25 25 ữứ ốỗ298 298 ứữ ốỗ2 2101 ứữ 3 2100 - 1 2100 - 1 ị C = ị C = 4 2101 3.299 PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. 32 32 32 32 32 Bài 1: Tớnh giỏ trị biểu thức: D = + + + + 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 ( Trớch đề HSG Toỏn 6 huyện Hoằng Húa năm học 2018-2019) Lời giải: Ta cú: 32 32 32 32 32 D = + + + + 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 D = + + + + 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 ổ3 3 3 3 3 ử D = 3.ỗ + + + + ữ ốỗ2.5 5.8 8.11 11.14 14.17ứữ ổ1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ử ổ1 1 ử 15 45 D = 3ỗ - + - + - + - + - ữ= 3ỗ - ữ= 3. = ốỗ2 5 5 8 8 11 11 14 14 17ứữ ốỗ2 17ứữ 34 34
10. ( Trớch đề HSG Toỏn 6 huyện nga Sơn năm học 2018-2019) Lời giải: Ta cú: 5 4 3 1 13 5 4 3 1 13 ổ5 1 13ử ổ4 3 ử C = + + + + = + + + + = ỗ + + ữ+ ỗ + ữ 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2 11 22 30 60 ốỗ2 30 60ứữ ốỗ11 22ứữ ổ5.30 1.2 13.1ử ổ4.2 3 ử 150 + 12 + 13 11 = ỗ + + ữ+ ỗ + ữ= + ốỗ2.30 30.2 60.1ứữ ốỗ11.2 22ứữ 60 22 165 11 11 1 13 = + = + = 60 22 4 2 4 13 Vậy C = 4 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 Bài 5: Tớnh: C = + + + + + 20 30 42 56 72 90 ( Trớch đề HSG Toỏn 6 huyện Như Thanh năm học 2018-2019) Lời giải: Ta cú: - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 C = + + + + + 20 30 42 56 72 90 ổ1 1 1 1 1 1 ử C = - ỗ + + + + + ữ ốỗ4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10ứữ ổ1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ử C = - ỗ - + - + - + - + - + - ữ ốỗ4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10ứữ 1 1 - 3 C = - + = 4 10 20 - 3 Vậy C = 20 2 2 2 2 Bài 6: Tớnh hợp lớ giỏ trị biểu thức sau: B = + + + ( 60.63 63.66 66.69 117.120 Trớch đề HSG Toỏn 6 huyện Nụng Cống năm học 2018-2019) Lời giải: Ta cú:
11. a) Ta cú: ổ1 ử ổ1 ử ổ1 ử ổ1 ử B = ỗ - 1ữ.ỗ - 1ữ.ỗ - 1ữ ỗ - 1ữ ốỗ4 ữứ ốỗ9 ữứ ốỗ16 ứữ ốỗ400 ứữ - 3 - 8 - 15 - 399 B = . . 4 9 15 400 3.8.15 399 B = - 22.32.42 202 1.3.2.4.3.5 19.21 B = - 2.2.3.3.4.4 20.20 1.2.3 19 3.4.5 21 B = - . 2.3.4 20 2.3.4 20 1 21 21 B = - . = - 20 2 40 21 Vậy B = - 40 b) Ta cú: 2010 2009 2008 1 ổ2009 ử ổ2008 ử ổ2007 ử ổ 1 ử + + + + = ỗ + 1ữ+ ỗ + 1ữ+ ỗ + 1ữ+ + ỗ + 1ữ+ 1 1 2 3 2010 ốỗ 2 ữứ ốỗ 3 ữứ ốỗ 4 ữứ ốỗ2010 ứữ 2011 2011 2011 2011 2011 ổ1 1 1 1 1 ử = + + + + + = 2011.ỗ + + + + + ữ 2 3 4 2010 2011 ốỗ2 3 4 2010 2011ữứ ổ ử 2010 20009 2008 1 ỗ1 1 1 1 ữ + + + + 2011ỗ + + + ữ ốỗ2 3 4 2011ứữ Do đú C = 1 2 3 2010 = = 2011 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + 2 3 4 2011 2 3 4 2011 Vậy C = 2011. ổ 1ử ổ 1ử ổ 1ử ổ 1 ử ổ 1 ử Bài 9: Tớnh A = ỗ1- ữ.ỗ1- ữ.ỗ1- ữ ỗ1- ữ.ỗ1- ữ ốỗ 2ứữốỗ 3ứữốỗ 4ữứ ốỗ 2018ứữốỗ 2019ứữ ( Trớch đề HSG Toỏn 6 huyện Thanh Trỡ năm học 2012018-2019) Lời giải: Ta cú: ổ 1ử ổ 1ử ổ 1ử ổ 1 ử ổ 1 ử A = ỗ1- ữ.ỗ1- ữ.ỗ1- ữ ỗ1- ữ.ỗ1- ữ ốỗ 2ữứ ốỗ 3ứữốỗ 4ữứ ốỗ 2018ứữốỗ 2019ứữ 1 2 3 2017 2018 1 ị A = . . . = 2 3 4 2018 2019 2019
12. 39 65 52 26 B = + + + 7.16 16.31 31.43 43.49 13.3 13.5 13.4 13.2 B = + + + 7.16 16.31 31.43 43.49 13ổ3.3 3.5 3.4 3.2 ử B = ỗ + + + ữ 3 ốỗ7.16 16.31 31.43 43.49ữứ 13ổ1 1 1 1 1 1 1 1 ử B = ỗ - + - + - + - ữ 3 ốỗ7 16 16 31 31 43 43 49ứữ 13ổ1 1 ử B = ỗ - ữ 3 ốỗ7 49ứữ 17ổ1 1 ử ỗ - ữ A 3 ốỗ7 49ứữ 17 Từ đú suy ra: = = B 13ổ1 1 ử 13 ỗ - ữ 3 ốỗ7 49ữứ A 17 Vậy = . B 13 1 1 1 1 1 1 Bài 11: Tớnh giỏ trị của biểu thức: A = 1+ - + - + + - 3 32 33 34 3199 3200 ( Trớch đề HSG Toỏn 6 huyện Ngọc Lặc năm học 2018-2019) Lời giải: Ta cú: 1 1 1 1 1 3A = 3+ 1- + - + + - 3 32 33 3198 3199 ổ 1 1 1 1 1 ử ổ 1 1 1 1 1 1 ử 1 3A + A = ỗ3+ 1- + - + + - ữ+ ỗ1+ - + - + - ữ= 5- ốỗ 3 32 33 3198 3199 ứữ ốỗ 3 32 33 34 3199 3200 ứữ 3200 1 ổ 1 ử 4A = 5- ị A = ỗ5- ữ: 4 2200 ốỗ 2200 ứữ A Bài 12: Tớnh tỉ số biết: B 4 6 9 7 7 5 3 11 A = + + + và B = + + + 7.31 7.41 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 23.57 ( Trớch đề HSG Toỏn 6 huyện Phỳ Xuyờn năm học 2018-2019)
13. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 S 1 12 22 22 32 32 42 92 102 100 100 99 Vậy S = . 100 Bài 15: Hóy so sỏnh: 1 1 1 1 1 1 A 124 và B 1.1985 2.1986 16.2000 1.17 2.18 1984.2000 ( Trớch đề HSG Toỏn 6 huyện Ninh Giang năm học 2018-2019). Lời giải: Ta cú: 1 1 1 A 124 1.1985 2.1986 16.2000 124 1 1 1 1 1984 1985 16 2000 1 1 1 1 1 1 1 16 2 16 1985 1986 2000 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B 1 16 2 16 17 18 1984 17 18 1984 1985 1986 2000 1 1 1 1 1 1 B 1 A 16 2 16 1985 1986 2000 Vậy A B .  HẾT 