Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 7: Bất đẳng thức liên quan đến phân số (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 7: Bất đẳng thức liên quan đến phân số (Có lời giải chi tiết)

1. ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 9 – PHÂN SỐ CHỦ ĐỀ 7: BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN PHÂN SỐ PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. I. Khái niệm bất đẳng thức 1. Định nghĩa : Số a gọi là lớn hơn số b , ký hiệu a b nếu a b là một số dương, tức là a b 0 . Khi đó ta cũng ký hiệu b a Ta có: a b a b 0 Nếu a b hoặc a b , ta viết a b . Ta có: a b a - b 0 2. Quy ước : • Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng. • Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng II. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức a b 1. Tính chất 1: a c b c 2. Tính chất 2: a b a c b c Từ đó ta suy ra a b a c b c a c b a b c a b 3. Tính chất 3: a c b d c d ac bc neáu c > 0 4. Tính chất 4: a b ac bc neáu c 0 c c a b a b neáu c < 0 c c a b 0 5. Tính chất 5: ac bd c d 0
2. 96 96 1 1 Ta có: bằng cách ta nhân cả tử và mẫu của phân số với 96 để được hai phân số 505 576 6 6 96 96 1 cùng tử rồi so sánh khi đó ta có: A 1 505 567 6 1 1 1 1 1 1 Chiều thứ hai, ta cần chứng minh: A 52 62 72 992 1002 4 Ta làm tương tự như sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 4.5 5.6 6.7 98.99 99.100 1 1 1 A 2 4 100 4 1 1 Từ 1 và 2 ta có: A 6 4 1 1 1 1 3 Bài 3: Chứng tỏ rằng: 22 32 42 1002 4 Lời giải: Ta biến đổi: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 4 3.3 4.4 99.99 100.100 4 2.3 3.4 4.5 99.100 1 1 1 3 1 3 A 4 2 100 4 100 4 1 1 1 1 1 Bài 4: Chứng tỏ rằng: A 22 42 62 1002 2 Lời giải: Nhận thấy bài này là tổng lũy thừa mà cơ số ở mẫu là các số chẵn nên ta sẽ đưa về tổng lũy thừa mà cơ số ở mẫu là các số tự nhiên liên tiếp như sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 2 1 2 2 2 2 1 2 2 3 4 50 4 1.2 2.3 3.4 49.50 1 1 1 1 1 A 1 1 4 50 2 200 2 1 2 3 100 Bài 5: Chứng tỏ rằng: A 2 2 22 23 2100 Lời giải: Nhận thấy bài này có dạng tổng các phân số có mẫu là các lũy thừa cùng cơ số nên ta sẽ thực hiện phép tính tổng A
3. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 2 1 2 3 2 1 1 2 2 2 n 4 n 2 4n 2 1 1 1 1 1 Bài 10: Chứng minh rằng với số tự nhiên n 2 thì A không là số tự nhiên 12 22 32 42 n2 Lời giải: 1 1 1 Ta có: A 1 2 . Mặt khác ta thấy A 1 1.2 2.3 n 1 n Vậy ta có: 1 A 2 . 1 1 1 1 2020 Bài 11: Chứng tỏ rằng: A 22 32 42 20212 2021 Lời giải: 1 1 1 1 1 2020 A 1 1.2 2.3 3.4 2020.2021 2021 2021 1 1 2 3 2016 1 Bài 12 : Chứng tỏ rằng: 4 5 52 53 52016 3 Lời giải: 1 2 3 2016 Đặt A 5 52 53 52016 1 1 1 2016 4A 1 2 2005 2016 . 5 5 5 5 1 1 1 Đặt B 5 52 52005 Ta có: 1 4B 1 52015 1 1 B , thay vào A ta được: 4 4.52015 1 1 2016 5 4A 1 4 4.52015 52016 4 5 5 1 A (1) 16 15 3 1 2 2016 1 2 7 7 1 Mặt khác: A (2) 5 52 52016 5 25 25 28 4 Từ (1) và (2) ta suy ra ĐPCM 1 2 3 4 99 100 3 Bài 13 : Chứng tỏ rằng: A 3 32 33 34 399 3100 16
4. 1 1 1 1 1 B 3 32 33 34 32021 1 2B 1 1 1 B B 3 3 3 32021 3 1 Hay B 2 1 2 3 2021 Bài 18: Chứng tỏ rằng: M có giá trị không nguyên 3 32 33 32021 Lời giải: 1 2 3 2021 Ta có: M 0 1 3 32 33 32021 1 2 3 2021 Ta có M 3 32 33 32021 2 3 2021 3M 1 3 32 32020 2 3 2021 1 2 3 2021 3M M 1 2 2020 2 3 2021 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 2021 2M 1 3 32 33 32020 32021 1 1 1 1 1 1 1 Đặt N 3N 1 3 32 33 32020 3 32 32019 1 1 1 1 1 1 1 3N N 1 2 2019 2 3 2020 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 2N 1 N 32020 2 2.32020 1 1 2021 3 1 2021 3 2M 1 2 2.32020 32021 2 2.32020 32021 2 3 M 1 2 4 Từ 1 và 2 0 M 1 1 2 3 2021 Vậy M không có giá trị nguyên 3 32 33 32021 2 2 2 2 1003 Bài 19: Chứng tỏ rằng: A 32 52 72 20072 2008 Lời giải:
5. Mặt khác: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 191 200 4 A 3.3 4.4 5.5 50.50 9 3.4 4.5 49.50 9 3 50 450 450 9 1 4 Vậy A 4 9 1 1 1 7 5 Bài 24: Cho A , chứng tỏ rằng: A 1.2 3.4 99.100 12 6 Lời giải: 1 1 1 Ta có A 51 52 100 1 1 1 1 1 1 A 51 52 75 76 77 100 1 1 1 1 7 TH1: A .25 .25 75 100 3 4 12 1 1 1 1 5 TH2: A .25 .25 50 75 2 3 6 Dạng 2: TỔNG PHÂN SỐ TỰ NHIÊN I. Phương pháp giải. Với tổng phân số tự nhiên, với chương trình lớp 6 ta nên cho học sinh làm theo cách nhóm đầu cuối và so sánh giữa các nhóm với nhau, để tạo ra các ngoặc có cùng tử, rồi so sánh bình thường. II. Bài toán. 1 1 1 1 1 1 1 1 Bài 1: Chứng tỏ rằng: . 4 16 36 64 100 144 196 2 Lời giải: 1 1 1 1 1 1 1 Ta có 4 16 36 64 100 144 196 1 1 1 1 22 42 62 142 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 3 7 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1.2 2.3 6.7 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 2 3 6 7
6. 20 20 1 1 7 60 80 3 4 12 2018 2019 2020 1 1 1 1 Bài 5: So sánh A và B biết: A và B 2019 2020 2018 3 4 5 17 Lời giải: 1 1 2 A 1 1 1 2019 2020 2018 1 1 1 1 3 3 2018 2019 2018 2020 1 1 1 1 1 1 5 5 5 B 3 3 7 8 12 13 17 3 8 10 Vậy A B 1 1 1 1 Bài 6: Cho M , chứng tỏ rằng: M 2 . 5 6 7 17 Lời giải: 1 1 1 1 1 1 Ta có: .5 1 5 6 7 8 9 5 1 1 1 1 và .8 1 10 11 17 8 Vậy M 2 3 3 3 3 3 Bài 7: Cho S . Chứng tỏ rằng: 1 S 2 . 10 11 12 13 14 Lời giải: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 S 1. 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15 Suy ra S 1. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 S 1,5 2 . 10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10 Suy ra S 2 . Vậy 1 S 2 . 5 5 5 5 Bài 8: Cho S . Chứng tỏ rằng: 3 S 8 . 20 21 22 49 Lời giải: Tổng trên có 30 số hạng: 5 5 5 5 Ta có: S 30. 3 50 50 50 50
7. 1 1 1 1 1 1 81 81 81 Ta có: A (30 ngoặc) 11 70 12 69 40 41 11.70 12.69 40.41 81 81 81 81.30 243 240 240 4 A 40.41 40.41 40.41 40.41 164 164 180 3 5 TH2: Tuy nhiên để chứng minh A , nếu chúng ta làm như trên thì sẽ không chứng minh được 2 Lý do: vì việc chứng minh nhỏ hơn mà chúng ta so sánh lớn hơn lượng dư thừa, dẫn đến tổng A lớn 5 hơn , do đó để giảm bớt lượng dư, tùy vào bài toán, chúng ta nên nhóm thành 6 ngoặc. 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 11 12 20 21 30 31 40 41 50 51 60 61 70 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 111111 212121 313131 10 sè h¹ng 10 sè h¹ng 10 sè h¹ng 1 1 1 1 1 1 1 1 1 414141 515151 616161 10 sè h¹ng 10 sè h¹ng 10 sè h¹ng 10 10 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 A 1 = 1 2 0,5 11 21 31 41 51 61 2 3 4 5 6 2 3 6 4 5 2 1 1 1 1 3 4 Bài 12: Cho S . Chứng tỏ rằng: S 31 32 33 60 5 5 Lời giải: Nhóm tổng S thành ba ngoặc làm tương tự bài 11 ta có 1 1 1 1 1 1 S 31 40 41 50 51 60 10 10 10 10 10 10 1 1 1 4 31 41 51 30 40 50 3 4 5 5 10 10 10 1 1 1 3 Mặt khác: S 40 50 60 4 5 6 5 3 4 Suy ra S . 5 5 1 1 1 1 1 1 Bài 13: Cho A . Chứng tỏ rằng: 0,2 A 0,4 2 3 4 5 98 99 Lời giải: Tách tổng A thành: 1 1 1 1 1 1 1 1 13 12 1 A 0,2 2 3 4 5 6 7 98 99 60 60 5
8. 30 303 Mặt khác: A 101. 1 50.51 255 Suy ra 1 A 2 3 8 15 2499 Bài 17: Chứng tỏ rằng: A 48 4 9 16 2500 Lời giải: Nhận thấy các mẫu của tổng A là bình phương cảu các số tự nhiên liên tiếp, còn tử số kém mẫu số là 1 nên ta tách A như sau: 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 49 2 2 2 2 4 9 2500 2 3 4 50 1 1 1 Mà B 2 2 2 1. 2 3 50 B 1 A 49 B 49 1 48 . Vậy A 48 . 1 1 1 1 Bài 18: Chứng tỏ rằng: A 1 1010 2 3 4 22020 1 Lời giải: 1 Nhận thấy tổng A có phân số cuối có dạng , nên muốn chứng minh tổng A lớn hơn 1số ta nhóm 2n 1 sao cho phân số có dạng ở cuối ngoặc: 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: A 1 2019 2020 2020 2 3 4 5 6 7 8 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 2 2 3 3 3 3 2020 2020 2020 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 A 1 2. 22. 22019. 2 22 23 22020 22020 1 1 1 1 1 1 2020 1 A 1 2020 1 2020. 2020 1 2020 1010 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 Bài 19: Cho: A 1 . Chứng tỏ rằng: A 50 và A 100 2 3 4 2100 1 Lời giải: 1 Nhận thấy tổng A giống với bài 10, muốn chứng minh lớn hơn ta để phân số dạng ở cuối ngoặc: 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 99 100 100 2 3 4 5 6 7 8 2 1 2 2
9. 1 1 1 200 2 2 2 456 200 2024 4 456 456 2024 Khi đó: A 456. 2024 2007 456 1 1 1 Bài 22: Chứng tỏ rằng luôn tồn tại số tự nhiên n để: 1 1000 2 3 n Lời giải: 1 1 1 2000 Chọn n 22000 Khi đó: A 1 1000 2 3 22000 2 1 1 1 1 Bài 23: Cho B 1 . So sánh B với 50 . 2 3 4 299 Lời giải: 1 1 1 1 1 B 1 98 99 2 3 4 2 1 2 1 1 1 1 2. 298. 2 22 299 1 1 1 99 1 1 50 2 2 2 2 1 1 1 1 Bài 24: Chứng tỏ rằng: A 1. n n 1 n 2 n2 Lời giải: 1 1 1 1 A 2 . n n 1 n 2 n Ta có n2 n 1 1 n2 n số hạng do đó: 1 1 1 1 n2 n 1 n A 1 1. n n2 n2 n n2 n n2 Vậy A 1 . 1 1 1 1 Bài 25: Chứng tỏ rằng: A 1. 12 13 14 144 Lời giải: Tổng này là một trường hợp của Bài 15: Áp dụng cách làm Bài 15 ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 122 12 A 2 2 2 2 2 1 12 13 14 12 12 12 12 12 12 12 1 1 1 1 Bài 26: Chứng tỏ rằng: 1 6 7 8 36
10. Lời giải: n n n 1 A có dạng 1 khi đó ta có: n 1 n 1 n 2 2 4 6 100 A . . khi đó: 3 5 7 101 1.3.5 99 2.4.6 100 1 1 1 A2 A2 A 2.4.6 100 3.5.7 101 101 100 10 Mặt khác: 1 2 4 98 1.3.5 99 1.2.4 98 1 A . . A2 2 3 5 99 2.4.6 100 2.3.5.7 99 200 1 1 1 1 A2 A 200 225 152 15 1 4 7 10 244 1 Bài 4: Chứng minh rằng A . . . 3 6 9 12 246 27 Lời giải: 1 3 6 9 243 A . . . 3 4 7 10 244 1.4.7 244 1.3.6 243 A2 3.6.9 246 3.4.7 244 1 1 1 A2 3.246 738 272 1 Suy ra A 27 1 Vậy A . 27 1 3 5 7 199 1 Bài 5: Chứng tỏ rằng: P . . . . Chứng minh rằng P2 2 4 6 8 200 201 Lời giải: 2 4 200 Ta có: P . 3 5 201 1.3.5 199 2.4.6 200 P2 2.4.6 200 3.5.7.9 201 1 P2 . 201 1 Vậy P2 . 201
11. b b b c a b c c c c a a b c a a c a b a b c b b a b c a b c c c b c a a b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có: a b c a b b c c a M , hay 1 M 2 , a b c a b c a b c a b c a b c a b c Vậy M không có giá trị nguyên Bài 2: Cho x, y,z,t là số tự nhiên khác 0 , chứng minh rằng: x y z t M có giá trị không nguyên x y z x y t y z t x z t Lời giải: Ta có: x x x y z x y z t y y x y t x y z t z z y z t x y z t t t x z t x y z t Cộng theo vế ta được: M 1. Mặt khác x x t x y z x y z t y y z x y t x y z t z z x y z t x y z t t t y x z t x y z t
12. x y z y z x x y z Mà 3 Nên 2 x y y z z x x y y z z x x y y z z x x y z Bài 6: Cho các số x, y,z nguyên dương, chứng tỏ rằng: 1 2 . x y y z z x Lời giải: x y z y z x Ta có: 1, tương tự ta cũng có: 1 x y y z z x x y y z z x x y z y z x x y z Mà 3 nên 2 x y y z z x x y y z z x x y y z z x x y z Vậy 1 2 . x y y z z x a b c Bài 7: Cho ba số dương 0 a b c 1, chứng tỏ rằng: 2 . bc 1 ac 1 ab 1 Lời giải: a 1 0 Vì 0 a b c 1 b 1 0 a 1 b 1 0 ab a b 1 0 1 1 c c ab 1 a b , c 0 ab 1 a b ab 1 a b c 2c c 2c Mà , c 0 . a b a b c ab 1 a b c b 2b a 2a Chứng minh tương tự ta có: và . ac 1 a b c bc 1 a b c a b c 2a 2b 2c Cộng theo vế ta được: 2 . bc 1 ac 1 ab 1 a b c PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. 1 1 1 Bài 1: Cho A , chứng tỏ rằng: A 2. 12 22 502 Lời giải: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: A 1 2 2 1 2.2 3.3 50.50 1.2 2.3 3.4 49.50 50 Bài 2: Chứng tỏ rằng: 1 1 1 1 1 1 1 a, 2 4 8 16 32 64 3
13. 3 8 15 2499 Bài 5: Chứng tỏ rằng: E > 48 4 9 16 2500 Lời giải: 1 1 1 1 E 1 1 1 1 4 9 16 2500 1 1 1 1 49 2 2 2 2 48 2 3 4 50 1 1 1 7 5 Bài 6: Cho A , chứng tỏ rằng: A 1.2 3.4 99.100 12 6 Lời giải: 1 1 1 Chứng tỏ rằng: A 51 52 100 1 1 1 1 1 1 Suy ra A 51 52 75 76 77 100 1 1 1 1 7 TH1: A .25 .25 75 100 3 4 12 1 1 1 1 5 TH2: A .25 .25 50 75 2 3 6 1 1 1 1 1 Bài 7: Chứng tỏ rằng: A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20 4 Lời giải: 1 1 2A 1.2 19.20 1 1 1 A 4 19.40 4 36 36 36 36 Bài 8: Chứng tỏ rằng: D 3 1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29 Lời giải: 4 4 4 4 1 1 1 D 9 9 3 3 1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29 1.3 27.29 3.29 1 1 1 1 Bài 9: Chứng tỏ rằng: A 1 2021. 2 3 4 22021 Lời giải: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: A 1 2020 2021 2021 2 3 4 5 6 7 2 2 1 2 1 1 1 1 1 A 1 2. 22. 23. 22020. 2 22 23 22020 22021
14. 1 1 100 100 1 1 101 100 1 1 102 100 1 1 2021 100 1 1 1 1 1 1 1 1   100 1011022021 100 100100 100 1922 sè h¹ng 1922 sè h¹ng 1 A 1922 100 1922 2000 A 20 100 100 A B Vậy A B. 1 1 1 1 Bài 13: Chứng tỏ rằng: S 1 3 1! 2! 3! 2001! Lời giải: Ta có: 1 1 1! 1 1 1 1 2! 1.2 2 1 1 1 1 1 3! 1.2.3 2.3 2 3 1 1 1 1 1 4! 1.2.3.4 3.4 3 4 1 1 1 1 1 2001! 1.2.3 2000.2001 2000.2001 2000 2001 1 1 1 1 1 1 1 Suy ra S 1 1 1 2 2 3 3 4 2000 2001 1 S 3 3 2001
15. Cộng vế theo vế ta được A 1 a a d a b c a b c d b b a b c d a b c d c c b c d a a b c d d d c d a b a b c d Cộng vế theo vế ta được A 2 Suy ra 1 A 2 . Chứng tỏ A không là một số tự nhiên.  HẾT 