Chuyên đề Đại số Lớp 9 - Chuyên đề 8: Phương trình chứa căn bậc hai

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 9 - Chuyên đề 8: Phương trình chứa căn bậc hai

1. CHUYÊN ĐỀ 8 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC HAI I/ DẠNG 1: f(x) e với e ≥ 0 là hằng số. ax b 1/ Trường hợp: f(x) = ax + b hoặc f(x) = thì: cx d Bước 1: Giải điều kiện f(x) ≥ 0 để tìm điều kiện của x Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình (để làm mất căn). Bước 3: Giải phương trình để tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện. Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: x 1 2x 3 2x 3 a) 2x 1 3 b) 6 c) 2 d) 2 2x 3 x 1 x 1 2/ Trường hợp: f(x) = ax2 + bx + c thì kiểm tra biểu thức f(x) * Nếu f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 tức là có dạng hằng đẳng thức thì: KHAI CĂN. Ax B e Phương trình  Ax B e => Tìm x Ax B e Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: x2 4x 4 3 Hướng dẫn Vì x2 – 4x + 4 = (x – 2)2, ta có 2 x 2 3 x 5 PT  x 2 3  x 2 3 x 2 3 x 1 * Nếu f(x) = ax2 + bx + c không có dạng hằng đẳng thức thì: BÌNH PHƯƠNG 2 VẾ. Bước 1: Viết điều kiện f(x) ≥ 0. Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình (để làm mất căn). Bước 3: Giải phương trình bậc hai có được bằng cách: Phân tích thành nhân tử, đưa về phương trình tích. Ví dụ 3: Giải phương trình sau: x2 4x 6 15 Hướng dẫn Nhận xét: x2 – 4x – 6 không có dạng (Ax ± B)2 nên ta không đưa được về phương trình trị tuyệt đối như Ví dụ 2. Điều kiện: x2 – 4x – 6 ≥ 0
2. * LOẠI 2: Nếu f(x) = Ax ± B và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ. * LOẠI 3: Nếu f(x) = Ax2 + Bx + C (không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 ) và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ. * LOẠI 4: Nếu f(x) = Ax2 + Bx + C và g(x) = Ex2 + Dx + F thì thử phân tích f(x) và g(x) thành nhân tử, nếu chúng có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích. Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được xem có thỏa mãn điều kiện không, rối kết luận nghiệm. 2/ Các ví dụ. 2 Ví dụ 5: Giải phương trình: 2x 3 x 5 Hướng dẫn Điều kiện: x 5 0 x 5 x 8 2x 3 x 5 PT  2x 3 x 5 2 2x 3 (x 5) x 3 Kết hợp điều kiện => Phương trình vô nghiệm. Ví dụ 6: Giải phương trình: x2 6x 9 x 7 Hướng dẫn Nhận xét: x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 dạng bình phương một hiệu. Điều kiện: x 7 0 x 7 x 3 x 5 x  PT  x 3 x 7 x 3 (x 5) x 1 Kết hợp điều kiện => Phương trình có nghiệm x = - 1. Ví dụ 7: Giải phương trình: 2x 3 x 1 Hướng dẫn 3 2x 3 0 x 3 Điều kiện: 2 x x 1 0 2 x 1 Bình phương hai vế ta có: 2 2x 3 x2 2x 1 x2 4x 4 0 x 2 0 x 2 Theo điều kiện => Phương trình có nghiệm x = 2.
3. x 2 0 x 4 TH2: Nếu ta có x 3 0 x 9 x 2 3 x 1 2 x 6 x 9 (Loại) x 2 0 x 4 TH3: Nếu x  x 3 0 x 9 x 2 0 TH4: Nếu x 2 x 4 ta có x 3 0 2 x 3 x 1 0. x 2 => Pt có vô nghiệm Kết luận: Vậy phương trình có vô số nghiệm x ≥ 0 Ví dụ 10: (HS tự giải) Giải phương trình: x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 4 IV/ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN. Trong mục này THẦY sẽ lấy ví dụ cụ thể để các em làm quen, từ đó vận dụng cho việc giải các phương trình tương tự. 1/ PHƯƠNG PHÁP đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai hoặc phương trình đơn giản hơn. Ví dụ 11: Giải phương trình x - 5 x + 6 = 0 Hướng dẫn Điều kiện: x ≥ 0 Đặt x = t ≥ 0 => x = t2, ta có phương trình: t2 – 5t + 6 = 0 (Cách giải phương trình bậc 2 chúng ta sẽ được học trong chương sau). Với phương trình này chúng ta cũng hoàn toàn có thể phân tích vế trái thành nhân tử để đưa về phương trình tích. Ví dụ 12: Giải phương trình: x 1 x 6 5 Hướng dẫn x 1 0 Điều kiện: x 1 x 6 0 Đặt x 1 t 0 => x + 1 = t2, ta có phương trình t t2 5 5 t2 5 5 t (*) Phương trình (*) thuộc phương trình LOẠI 3 – DẠNG 2:
4. 2 2 3x 6x 12 3 3 x 1 9=9 x 1 0 Phương trình thỏa mãn  2 x 1 4 2 2 x2 -1 0 5x 10x 30 5 5 x -1 25=25 Vậy phương trình có nghiệm x = - 1 Ví dụ 16: Giải phương trình: 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2x x2 Hướng dẫn Nhận xét: 3x2 + 6x + 7 = 3(x2 + 2x + 1) + 4 = 3(x + 1)2 + 4 ≥ 4 => 3x2 6x 7 ≥ 2 5x2 + 10x + 14 = 5(x2 - 2x + 1) + 9 = 5(x + 1)2 + 9 ≥ 9 => 5x2 10x 14 ≥ 3 4 – 2x – x2 = 5 – (x2 + 2x + 1) = 5 – (x + 1)2 ≤ 5 3x2 6x 7 5x2 10x 14 5 Khi đó: 2 4 2x x 5 3x2 6x 7 2 2 Phương trình thỏa mãn  5x 10x 14 3 x 1 0 x 1 4 2x x2 5 Vậy phương trình có nghiệm x = - 1