Chuyên đề Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 1: Hệ thức liên hệ trong tam giác vuông

Nội dung text: Chuyên đề Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 1: Hệ thức liên hệ trong tam giác vuông

1. CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỨC LIÊN HỆ TRONG ∆ VUÔNG Cạnh góc vuông – Cạnh huyền – Đường cao – Hình chiếu cạnh góc vuông Cạnh huyền: BC A Cạnh góc vuông AB, có hình chiếu lên cạnh huyền là BH Cạnh góc vuông AC, có hình chiếu lên cạnh huyền B C là CH H Đường cao AH. 1/ Hệ thức: Cạnh góc vuông – cạnh huyền (Định lý Pitago). BC2 = AB2 + AC2 Trong tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông. 2/ Hệ thức: Cạnh góc vuông – cạnh huyền – hình chiếu của cạnh góc vuông AB2 = BC . BH AC2 = BC . CH Trong tam giác vuông, bình phương độ dài mỗi cạnh góc vuông bằng tích độ dài cạnh huyền với hình chiếu của cạnh góc vuông đó lên cạnh huyền. 3/ Hệ thức: Đường cao – hình chiếu của cạnh góc vuông. AH2 = BH . CH Trong tam giác vuông, bình phương độ dài đường cao bằng tích độ dài hình chiếu của hai canh góc vuông lên cạnh huyền. 4/ Hệ thức: Đường cao – cạnh góc vuông. 1 1 1 AH2 AB2 AC2 Trong tam giác vuông, nghịch đảo bình phương độ dài đường cao bằng tổng nghịch đảo bình phương độ dài hai cạnh góc vuông. 4/ Hệ thức: Đường cao – cạnh góc vuông – cạnh huyền. AB . AC = BC . AH Trong tam giác vuông, tích độ dài hai cạnh góc vuông bằng tích độ dài cạnh huyền với đường cao tương ứng.
2. Bài 3. a) Biết tỉ số các cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 5:6 ; cạnh huyền 122cm. Tính độ dài hình chiếu của mỗi cạnh góc vuông lên cạnh huyền. a) Biết tỉ số các cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 3:7 ; đường cao ứng với cạnh huyền là 12cm. Tính độ dài hình chiếu của mỗi cạnh góc vuông lên cạnh huyền. Bài 4. Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Biết AB = 4cm, AC = 7,5cm. Tính HB, HC. Bài 5. Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Biết AB = 15cm, HC = 16cm. Tính BC, AC, AH. Bài 6. Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Biết AH = 12cm, BC = 25cm. Tính AB, AC. Bài 7. Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Biết AB = 6cm, BH = 3cm. Tính AH, AC, CH. Bài 8. Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính diện tích ∆ABC biết AH = 12cm, BH = 9cm. Bài 9. Cho tam giác vuông, biết tỉ số giữa các cạnh góc vuông là 5 , cạnh huyền là 26. Tính độ 12 dài các cạnh góc vuông và hình chiếu các cạnh góc vuông trên cạnh huyền. AB 5 Bài 10. Cho ∆ABC vuông tại A. Biết . Đường cao AH = 15cm. Tính HB, HC. AC 7 HB 1 Bài 11. Cho ∆ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH, tính chu vi ∆ABC biết AH = 14cm, . HC 4 DẠNG 2: Tam giác vuông liên quan tới các đường: phân giác, trung tuyến, trung trực. I/ Phương pháp. - Trong tam giác vuông, các hệ thức của tam giác vuông vẫn được áp dụng. - Chú ý: + Đường phân giác => Tỉ lệ đoạn thẳng theo tính chất đường phân giác + Đường trung tuyến liên quan tới trung điểm + Đường trung trực thì liên quan tới vuông góc tại trung điểm. II/ Bài tập vận dụng. Bài 1. Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 12cm, AC = 16cm, phân giác AD, đường cao AH. Tính HD, HB, HC.
3. - Tính bình phương các cạnh của tam giác, nếu tổng bình phương hai cạnh bằng bình phương cạnh còn lại => tam giác đó vuông. - Áp dụng các hệ thức của tam giác vuông để tính. II/ Bài tập vận dụng. Bài 1. Cho ∆ABC biết BC = 7.5cm, AC = 4.5cm, AB = 6cm. a) ∆ABC là tam giác gì? Tính đường cao AH của ∆ABC. b) Tính độ dài các cạnh BH, HC. Bài 2. Cho ∆ABC biết BC = 50cm, AC = 14cm, AB = 48cm. Tính độ dài phân giác góc C? DẠNG 4: Kết hợp tỉ số đồng dạng và hệ thức lượng để tìm dộ dài đoạn thẳng. I/ Phương pháp. - Có thể gọi ẩn độ dài các đoạn thẳng cần tính. - Từ tam giác đồng dạng => Tỉ số độ dài => liên hệ giữa các ẩn độ dài (1) - Từ hệ thức lượng => Liên hệ giữa các ẩn độ dài (2) - Từ (1) và (2), giải hệ tìm ra các ẩn độ dài. II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 5 2 cm. Hình vuông ADEF cạnh 2cm có D thuộc AB, E thuộc BC, F thuộc AC. Tính các độ dài AC, AB. Hướng dẫn x 2 Đặt x = BD, y = FC. ∆BDE ~ ∆EFC => 2 y Lại có AB2 + AC2 = BC2 => (2 + x)2 + (2 + y)2 = 50 Từ hai phương trình trên giải tìm được x, y => AC, AB Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC. Hướng dẫn Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x Áp dụng định lí Pitago tính được AC = 15,62 x2 Từ KBC HAC
4. + Tam giác cân (đều) có chứa cạnh cần tính. + Tam giác vuông có chứa cạnh đã biết và cạnh cần tính. II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác. Biết AB = 5cm, IC = 6cm. Tính độ dài BC. Bài 2: Tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác. Biết IB = 5 cm, IC = 10 cm. Tính các độ dài AB, AC. Hướng dẫn bài 1, bài 2 chung một hình vẽ. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BI tại H và cắt AB tại D Bài 1: Có ∆CBD cân tại B => BC = BD Góc HIC = góc IBC + góc ICB = 45o (góc ngoài tại I)  Tính được HC => Tính được DC = 2HC = Gọi x = BC = BD => AD = x – 5 Ta có: AC2 = x2 - 25 và DC2 = AD2 + AC2 => x = Bài 2: Có ∆CBD cân tại B => HC = HD Góc HIC = góc IBC + góc ICB = 45o (góc ngoài tại I)  Tính được HC = HI = HD => Tính được DC = 2HC và BH = IB + HI ∆DHB ~ ∆DAC => Tính được DA => AC theo AD AC Có AC2 + AD2 = CD2 => AC = Có BC2 = BH2 + HC2 = BA2 + AC2 => AB = Bài 3: Tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác của góc A và góc B. Biết IA = 2 5 cm, IB = 3cm. Tính độ dài AB. Hướng dẫn Ở bài này: Nếu kẻ AH  phân giác BI tại H thì ∆AHI không phải là ∆ cân như bài 1, bài 2 ở trên, Nhưng nếu kẻ đường vuông góc với AB tại A và cắt BI tại K thì ∆IAK cân tại A. ∆IAK cân tại A => AK = AI = 2 5 Đặt x = HK => IK = 2HK = 2x => BK = BI + IK = 3 + 2x 2 ∆vAKB có AK = KH.KB => x.(3 + 2x) = 20 => x => BH và BK