Chuyên đề Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông

Nội dung text: Chuyên đề Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông

1. CHỦ ĐỀ 2: TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG. A Xét góc nhọn α trong tam giác vuông ABC Cạnh kề Cạnh đối Cạnh AB kề với góc α Cạnh AC đối diện góc α B C Cạnh huyền Cạnh huyền BC. 1/ Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông. * Có bốn tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông: doi ke sin cos huyen huyen doi ke tg cotg ke doi * Chú ý: - Tỉ số lượng giác của góc nhọn luôn dương. - Muốn có tỉ số lượng giác của góc nhọn α phải tạo ra tam giác vuông chứa góc nhọn α - Nếu biết một góc nhọn và một cạnh của tam giác vuông sẽ tính được góc nhọn và cạnh còn lại theo tỉ số lượng giác. 2/ Hệ thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác góc nhọn. sin sin2 cos2 1 tg cos cos tg . cotg 1 cotg sin 3/ Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau. * Gọi α và β là hai góc phụ nhau trong tam giác vuông. Ta có: α + β = 90o sinα = cosβ cosα = sinβ tgα = cotgβ cotgα = tgβ * Chú ý 1o = 60’ 90o = 89o60’
2. Bài 4: (SBT toán 9 – trang 107) Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH. Tính sinB và sinC trong mỗi trường hợp sau: a) AB = 13 ; BH = 5. b) BH = 3 ; CH = 4. Bài 5: (SBT toán 9 – trang 111) Cho hình vẽ. Biết AB = 9cm; AC = 6,4cm ; AN = 36cm ; góc AND bằng 90 o ; góc DAN bằng 34o. Hãy tính: CN ; góc ABN ; góc CAN và AD? Bài 6: (SBT toán 9 – trang 111) Cho hình vẽ bên. Biết AB = BC = CD = DE = 2cm. Hãy tính: a) AD ; BE b) góc DAC c) góc BXD Bài 7: (SBT toán 9 – trang 114) Tìm x ; y trong các hình sau: DẠNG 2: Tính cạnh và góc nhọn chưa biết trong tam giác thường. I/ Phương pháp. - Nếu tam giác đã cho là tam giác thường, ta phải dựng thêm đường cao của tam giác để có được tam giác vuông. - Đường cao dựng sao cho tam giác vuông tạo ra phải chứa yếu tố góc nhọn và một cạnh đã biết. - Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn tương ứng trong tam giác vuông vừa tạo.
3. b) Diện tích tam giác ABC. Bài 7: Hình bình hành ABCD có AB = 20cm và BD = 15cm, góc tạo bởi hai cạnh AB và BD là 110o. Tính diện tích hình bình hành ABCD. Bài 8: Hình thang cân ABCD (AB // DC). Biết AB = 15cm và DC = 20cm. Góc ở đáy bằng 75o. Tính diện tích hình thang cân ABCD. DẠNG 3: Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau. I/ Phương pháp. * Nếu α và β là hai góc phụ nhau (α + β = 90o): sinα = cosβ cosα = sinβ tgα = cotgβ cotgα = tgβ * Chú ý: 1 o = 60’ 90o = 89o60’ Ví dụ: Góc 20o35’ phụ với góc 69o25’ vì 20o35’ + 69o25’ = 89o60’ * Vận dụng: - Xác định tỉ số lượng giác của góc nhọn nhỏ hơn 45o khi biết tỉ số lượng giác của góc lớn hơn 45o (hoặc ngược lại). - Rút gọn (hoặc tính) các biểu thức liên quan tới góc phụ nhau. II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Đổi tỉ số lượng giác của các góc nhọn sau đây thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn 45o. sin82o ; cos47o ; sin48o ; cos55o ; sin47o20’ ; tg62o ; cotg82o45’ Bài 2: Cho tam giác ABC. Biết AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm. a) Chứng minh tam giác ABC vuông; b) Tính sinB, sinC. Bài 4: Đơn giản biểu thức: A = sin(90o – x)sin(180o – x) B = cos(90o – x)cos(180o – x) Bài 5: Tính kết quả của biểu thức a) A = sin210o + sin220o + sin230o + sin280o + sin270o + sin260o. b) B = cos2 12o + cos2 78o + cos2 1o + cos2 89o c) C = sin2 3o + sin2 15o + sin2 75o + sin2 87o . d) D = cos45o.cos223o + sin45o.cos267o.
4. a) A = sin6x + 3sin4x.cos2x + 3sin2x.cos4x + cos6x b) B = (1 + cosα)(1 – cosα) – sin2α Bài 4: Đơn giản các biểu thức: A = cosy + siny . tgy B = 1 cosb . 1 cosb C = sin a 1 tg 2 a Bài 5: (Nâng cao) Cho các góc α,  nhọn, α < . Chứng minh rằng: a) cos( -α) = coscosα + sinsinα b) sin( - α) = sincosα - sinsinα. Bài 6: (Nâng cao) Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng: A B C 1 3 a) sin sin sin b) cos A cos B cosC . 2 2 2 8 2 Bài 7: (Nâng cao) Cho tam giác ABC nhọn có ba cạnh là a, b, c. Chứng minh rằng: c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC (AB = c, BC = a, CA = b). DẠNG 5: Biết một tỉ số lượng giác của góc α tính các tỉ số lượng giác còn lại. I/ Phương pháp. Vận dụng các hệ thức liên hệ sau để biến đổi một vế đẳng thức cho bằng vế còn lại (rút gọn biểu thức) sin sin2 cos2 1 tg cos cos tg . cotg 1 cotg sin HỆ THỨC MỞ RỘNG: 1 1 1 tg2 1 cotg2 cos2 sin2 Chú ý: Các tỉ số lượng giác góc nhọn luôn dương. II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Biết rằng sinα = 0,6. Tính cosα và tgα. Bài 2: Biết rằng cosα = 0,7. Tính sinα và tgα. Bài 3: Biết rằng tgα = 0,8. Tính sinα và cosα.
5. 1 SABCD = AC.BD.sin AOB. 2 Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Chứng minh rằng: 1 1 2 a) AB AC AD 1 1 1 b) . AB 2 AC 2 AD 2 Bài 5: Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên là AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AC = 12a. a) Tính sin B cos B sin B cos B b) Tính chiều cao của hình thang ABCD. Bài 6: Cho hình thang ABCD. Biết đáy AB = a và CD = 2a ; cạnh bên AD = a, góc A = 90o a) Chứng minh tgC = 1 ; b) Tính tỉ số diện tích tam giác DBC và diện tích hình thang ABCD ; c) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác DBC. Bài 7: Gọi AM, BN, CL là ba đường cao của tam giác ABC. a) Chứng minh: ANL ~ ABC ; b) Chứng minh: AN.BL.CM = AB.BC.CA.cosAcosBcosC.