Chuyên đề Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 3: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Nội dung text: Chuyên đề Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 3: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

1. CHUYÊN ĐỀ 3. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG A. Kiến thức cần nhớ 1. Định lí Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: • Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề; • Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề Trong hình bên thì: b asin B a cosC;c asin C a cos B b c tan B c cot C;c b tan C bcot B 2. Giải tam giác vuông Là tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác vuông B khi biết hai yếu tố của nó (trong đó ít nhất có một yếu tố về độ dài). B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, Bµ . Tính giá trị của để BH = 3CH. Giải Đặt AH = h. Xét ABH vuông tại H ta có: BH = AH.cot B = h.cot . Xét ACH vuông tại H ta có: CH = AH.cot C = AH.tan B = h.tan . 1 BH 3CH h.cot 3h.tan 3tan tan 1 3 tan2 tan tan 30 30 3 3 Nhận xét: Trong bài giải ta đã biểu diễn BH và CH theo AH và theo một tỉ số lượng giác của góc . Từ mối quan hệ giữa BH và CH ta tìm được giá trị của . Ví dụ 2. Giải tam giác ABC biết Bµ 35,Cµ 50 và đường cao AH = 5,0cm. Giải Ta phải tìm µA , AB, AC và BC. µA 180 Bµ Cµ 95 • Xét ABH vuông tại H ta có: AH 5,0 AH AB.sinB AB 8,7 cm sinB sin 35 BH AH.cotB 5,0.cot 35 7,1 cm • Xét ACH vuông tại H ta có:
2. Thay vào (1) ta được BC 2 AB2 AC 2 2AC.AB.cosA Nhận xét: Trong một tam giác nhọn, nếu biết hai cạnh và góc xen giữa thì nhờ định lí côsin ta có thế tính được cạnh thứ ba. C. Bài tập vận dụng • Vận dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để chứng minh hoặc tính toán 3.1. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng: a) AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C; b) AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C. Giải a) ACD vuông tại D, có AD = ACsin C. ABE vuông tại E, có BE = ABsin A. BCF vuông tại F, có CF = BCsin B. Suy ra AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C. b) ABE vuông tại E, có AE = ABcos A. BCF vuông tại F, có BF = BCcos B. ACD vuông tại D, có CD = ACcos C. Suy ra AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C. 3.2. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao AA', BB', CC’. Chứng minh rằng: AB '.BC '.CA' A' B.B 'C.C ' A AB.BC.CA.cos A.cos B.cosC Giải ABB' vuông tại B', có AB' = ABcos A. BCC’ vuông tại C', có BC' = BCcos B. CAA' vuông tại A', có CA' = ACcos C. Suy ra AB'.BC'.CA' = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C. Chứng minh tương tự ta được: A'B.B'C.C'A = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C. Do đó AB’.BC’.CA' = A'B.B'C.C'A = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C. Nhận xét: Vì ba đường cao tam giác cùng đi qua một điểm nên nếu đề bài chỉ yêu cầu chứng minh AB'.BC’.CA' A' B B 'C C ' A = A'B.B'C.C’A thì theo định lí Xê-va ta có . . 1 từ đó suy ra ngay đpcm. A'C B ' A C 'B 3.3. Cho đường thẳng xy và điểm A cố định cách xy là 2cm. Gọi M là một điểm di động trên xy. Vẽ tam giác ABM vuông tại M sao cho ·ABM 0 90 . Tính độ dài ngắn nhất của AB. Giải
3. Giải Vẽ đường cao AH. Xét ABH vuông tại H có: AH AB.sin B 3,2sin 70 3,0 cm BH AB.cos B 3,2.cos70 1,1 cm Xét AHC vuông tại H có: HC AC 2 AH 2 5,02 3,02 4,0 cm Điểm C không thể nằm giữa H và B vì trên tia HB có HC > HB. Chỉ còn trường hợp điểm H nằm giữa B và C. Ta có BC BH HC 1,1 4,0 5,1 cm 3.7. Cho tam giác ABC cân tại A, góc ở đáy bằng < 90°. Vẽ các đường cao AH và BK. Biết BK = h, tính AH. Giải BK h Xét KBC vuông tại K, có: BK BC.sin BC sin sin h Vì ABC cân tại A nên HB HC 2sin h sin h Xét AHC vuông tại H có: AH HC.tan . 2sin cos 2cos 3.8. Cho tam giác ABC, Bµ 40,Cµ 65 a) Tính số đo của góc tạo thành bởi đường cao AH và đường trung tuyến AM (làm tròn đến độ); b) Cho biết BC = 45cm, tính độ dài AH (làm tròn đến centimet). Giải Đặt M· AH a) Xét ABH và AHC vuông tại H ta có: BH AH cot B;CH AH cot C;MH AH tan Ta có BH CH BM MH CM MH 2MH Do đó AH cot B AH cot C 2AH tan Suy ra cot B cot C 2 tan cot B cot C cot 40 cot 65 Hay tan 0,3627 2 2 tan tan1956' 20 b) Ta có BH + CH = BC hay AH cot B AH cot C 45 AH cot B cot C 45 45 45 Suy ra AH 27 cm cot B cot C cot 40 cot 65 3.9. Tam giác ABC là tam giác nhọn hay tam giác tù nếu có: a) µA 50 , AB = 2,4cm, AC = 6,2cm;
4. Ta đặt Bµ ; AD x thì DB 4 x DE AD Ta có DE / /BC suy ra (hệ quả định lí Ta-lét) BC AB AD.BC x.6 3x Do đó DE AB 4 2 Xét DBG vuông tại G, ta có DG DB.sin 4 x sin 3 Diện tích hình chữ nhật DEFG là S DE.DG x 4 x sin 2 2 2 a b x 4 x Vận dụng bất đẳng thức Cô-si đối với hai số không âm ab ta được x 4 x 4 2 2 (dấu “=” xảy ra khi x = 4-x x = 2). 3 Do đó S .4sin 6sin 2 Vì 0 sin 1 nên S 6 cm2 khi D là trung điểm của AB. 3.12. Cho tam giác ABC, AB = 5cm, BC 39cm và CA = 7cm. Tính số đo góc A. Giải Xét ABC có CA là cạnh lớn nhất nên góc B là góc lớn nhất. 2 Ta thấy AC 2 BA2 BC 2 (vì 72 52 39 ) nên góc B là góc nhọn (xem bài 1.18). Do đó ABC là tam giác nhọn. Theo định lí cô-sin ta có: 2 BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cosA 39 52 72 2.5.7.cos A 1 Suy ra cos A , do đó µA 60 2 3.13. Giải tam giác ABC, biết: a)BC 6,8cm; Bµ 62;Cµ 53 b)BC 6,8cm; Bµ 40;Cµ 35 Giải a) Ta có µA 180 Bµ Cµ 65 Vì ABC nhọn nên theo định lí sin ta có: a b c sin A sin B sin C 6,8 b c Do đó sin 65 sin 62 sin 53 6,8.sin 62 6,8.sin 53 Suy ra b 6,6 cm ;c 6,0 cm sin 65 sin 65 Nhận xét: Để giải tam giác trường hợp (g.c.g) ta dùng định lí sin.
5. Giải Vẽ CH  AB. Xét ACH vuông tại H, ta có: CH AC.sin A 5,7.sin 68 5,3 cm AH AC.cos A 5,7.cos68 2,1 cm Trên tia AB có AH < AB (2,1 < 5,0) nên điểm H nằm giữa A và B. Do đó BH = 5,0 - 2,1 = 2,9 (cm). Xét HBC vuông tại H, ta có: BC CH 2 BH 2 5,32 2,92 6,0 cm Xét ABC có BC là cạnh lớn nhất nên góc A là góc lớn nhất. Ta có BC 2 AB2 AC 2 (vì 62 52 5,72 ) nên góc A là góc nhọn, suy ra ABC nhọn. Do đó 5,72 5,02 6,02 2.5,0.6,0.cos B Suy ra cos B 0,4752 Bµ 62 Từ đó Cµ 180 68 62 50 3.16. Giải tam giác ABC, biết: µA 50 , AB = 4,6cm, BC = 3,7cm (làm tròn số đo góc đến độ, làm tròn độ dài đến hàng phần mười). Giải Vẽ BH  AC. ABH vuông tại H, ta có: AH AB.cos A 4,6.cos50 3,0 cm BH AB.sin A 4,6.sin 50 3,5 cm HBC vuông tại H, ta có: HC BC 2 BH 2 3,72 3,52 1,2 cm • Nếu H nằm giữa A và C thì AC AH HC 3,0 1,2 4,2 cm BH 3,5 Khi đó Cµ 90 và sin C sin 71 BC 3,7 Suy ra Cµ 71 và Bµ 180 50 71 59 • Nếu C’ nằm giữa H và A thì AC ' AH HC ' 3,0 1,2 1,8 cm Khi đó ·AC ' B 90 Ta có B· C 'C Cµ 71 ·AC ' B 180 71 109 và ·AB 'C 180 50 109 21