Chuyên đề Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 4: Hệ thức giữa các tỉ số lượng giác của các góc ⍺ và 2⍺ (0°<⍺<45°)

Nội dung text: Chuyên đề Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 4: Hệ thức giữa các tỉ số lượng giác của các góc ⍺ và 2⍺ (0°<⍺<45°)

1. Chuyờn đề 4: HỆ THỨC GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GểC VÀ 2 0 45 A. Đặt vấn đề Trong chuyờn đề này ta sẽ thiết lập cỏc hệ thức liờn hệ giữa cỏc tỉ số lượng giỏc của gúc và gúc 2 . Nhờ đú mà ta tớnh được cỏc tỉ số lượng giỏc của gúc khi biết tỉ số lượng giỏc của gúc 2 và ngược lại B. Một số vớ dụ Vớ dụ 1. Cho 45 , chứng minh rằng sin 2 2sin cos Áp dụng: Cho sin 0,6 tớnh sin 2 Giải Xột ABC vuụng tại A, Cà 45 Vẽ đường cao AH và đường trung tuyến AM. 1 Khi đú MA MB MC BC 2 Ta cú AMC cõn tại M, do đú ãAMB 2Cà 2 AB AC ABC vuụng tại A, ta cú sin ; cos BC BC AH Xột AHM vuụng tại H, ta cú sin 2 1 AM Ta cú AB AC 2.AB.AC 2AH.BC 2AH 2AH AH 2sin .cos 2 . 2 BC BC BC2 BC2 BC 2AM AM Từ 1 và 2 suy ra sin 2 2sin cos 2 Áp dụng: Nếu sin 0,6 thỡ cos2 1 sin2 1 0,6 0,64 Do đú cos 0,64 0,8. Vậy sin 2 2sin .cos 2.0,6.0,8 0,96 Nhận xột: Việc xột ABC vuụng tại A là để cú sin và cos . Việc vẽ đường trung tuyến AM là để xuất hiện 2 . Vẽ thờm đường cao AH để cú thể tớnh sin 2 Vớ dụ 2. Cho 45 . Chứng minh cỏc hệ thức sau: a) cos2 cos2 sin2 2 tan b) tan 2 1 tan2 Giải 2 a) Ta cú cos2 2 1 sin2 2 1 2sin cos 1 4sin2 cos2 2 cos2 sin2 4sin2 cos2 cos4 2sin2 cos2 sin4 2 cos2 sin2 2 Do đú: cos2 cos2 sin2 cos2 sin2
2. 1 cos2 Ta cú cos2 2cos2 1 cos2 2 Với 2230 , 2 45 ta được: 1 cos45 1 2 1 2 2 2 2 cos2230 1 . 2 2 2 2 2 4 2 2 Suy ra cos2230 2 sin 2230 2 2 2 2 2 2 2 2 1 tan 2230 : cos2230 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 C. Bài tập vận dụng 4.1. Cho 0 45 , chứng minh rằng 1 sin 2 sin cos 24 4.2. Cho sin 25 a) sin 2 b) sin 2 4.3. Khụng dựng mỏy tớnh hoặc bảng số, hóy tớnh: sin15 , cos15 , tan15 4.4. Khụng dựng mỏy tớnh hoặc bảng số, hóy tớnh: sin 75 , cos75, tan 75 4.5. Khụng dựng mỏy tớnh hoặc bảng số, hóy tớnh: sin6730 , cos6730 , tan6730 4.6. Khụng dựng mỏy tớnh hoặc bảng số, hóy tớnh: a) cos36 b) Từ đú hóy tớnh cos72, cos18 ,sin 72 , sin18 4.7. Cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Đặt Mã AN , tớnh sin 4.8. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, BC a , Cà 45 . Vẽ đường trung tuyến AM. Qua A vẽ một a2 cos đường thẳng vuụng gúc với AM cắt đường thẳng BC tại N. Chứng minh rằng: CN 2cos2 1 4.9. Cho tam giỏc ABC cõn tại A, À 80 . Trờn cạnh BC lấy điểm M, trờn cạnh AC lấy điểm N sao cho Bã AM 50, ãABN 30 . Gọi O là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng MON là tam giỏc cõn 4.10. Cho tam giỏc ABC nhọn. Chứng minh rằng: B C C A A B sin A.sin B.sin C sin .sin .sin 2 2 2
3. Cỏch giải khỏc: Tớnh trực tiếp theo định nghĩa tỉ số lượng giỏc. Cỏch thứ nhất Xột ABC vuụng tại A, Bà 15 , AC 1 Để tớnh sin B , cos B , tan B ta cần phải biết AB, BC Vẽ đường trung trực của BC cắt AB tại N. NBC cõn tại N. Ta cú ãANC 2Bà 30 Xột ANC vuụng tại A cú ãANC 30 , nờn NC 2AC 2 AN AC.cot 30 1. 3 3 ; AB AN NB AN NC 2 3 2 Xột ABC vuụng tại A cú BC2 AB2 AC2 2 3 12 8 4 3 2 Do đú BC 8 4 3 2 4 2 3 2 3 1 2 3 1 AC 1 2 3 1 6 2 Vậy sin15 sin B BC 2 3 1 2.2 4 AB 2 3 2 3 1 2 3 6 2 cos15 cos B BC 2 3 1 4 4 AC 1 2 3 tan15 tan B 2 3 AB 2 3 1 Cỏch thứ hai Xột ABC vuụng tại A, Bà 15 , BC 4 Vẽ đường trung tuyến AM và đường cao AH. Ta cú MA MB MC 2 MAB cõn tại M, Ã MC 2Bà 30 1 Xột AMH vuụng tại H, Ã MC 30nờn AH AM 1 2 3 Ta cú HM AM.cos M 2.cos30 2. 3 2 Suy ra HB HM MB 3 2 2 2 Ta cú AB2 AH2 HB2 12 3 2 8 4 3 2 4 2 3 2 2 3 AB 2 3 1 2 AC2 BC2 AB2 16 8 4 3 8 4 3 2 4 2 3 2 3 1 AC 2 3 1
4. 5 1 x (chọn) 1 5 1 5 4 2 2 0 x x 2 2 2 2 1 5 x 0 (loại) 4 5 1 Vậy cos36 4 b) Vận dụng hệ thức cos2 2cos2 1 ta được 2 5 1 6 2 5 5 1 cos72 2cos2 36 1 2. 1 4 8 4 Cũng vận dụng hệ thức trờn ta được cos36 2cos2 18 1 2 cos36 1 1 5 1 1 2 5 10 cos2 18 1 5 5 2 2 4 8 16 1 Do đú cos18 2 5 10 4 1 Từ đú suy ra sin 72 cos18 2 5 10 4 5 1 sin18 cos72 4 4.7. Ta đặt AB 2a thỡ BM = DN = a Dựng định lớ Py-ta-go ta tớnh được AM AN a 5 Đặt Bã AM Dã AN  , khi đú 90 2 Vậy và 2 là hai gúc phụ nhau AD 2a 2 Ta cú cos AN a 5 5 2 2 2 3 sin cos2 2cos  1 2. 1 5 5 Cỏch giải khỏc Gọi H là giao điểm của AN với DM à ả AND DMC c.g.c . Suy ra A1 D1 ả ả à ả Ta cú D1 D2 90 nờn A1 D2 90 Suy ra AH  DH Ta đặt AB 2a thỡ DN a , DM AM a 5 DH DN DHN DCM g.g DC DM
5. 2sin 20.cos20.2cos40 sin 40.2cos40 sin80 1 sin80 sin80 sin80 Suy ra OM ON do đú MON cõn tại O A A B B C C 4.10. Ta cú sin A 2sin .cos ; sin B 2sin cos ; sin C 2sin cos 2 2 2 2 2 2 B C 180 A A A sin sin sin 90 cos 2 2 2 2 C A 180 B B B sin sin sin 90 cos 2 2 2 2 A B 180 C C C sin sin sin 90 cos 2 2 2 2 B C C A A B Ta cú sin A.sin B.sin C sin .sin .sin 2 2 2 A A B B C C A B C 8sin .cos .sin .cos .sin .cos cos .cos .cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C 1 8sin .sin .sin 1 sin .sin .sin 2 2 2 2 2 2 8 Bất đẳng thức cuối đỳng (xem bài 2.8). Do đú bất đẳng thức đó cho là đỳng.