Chuyên đề Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 5: Tính diện tích tam giác, diện tích tứ giác nhờ sử dụng các tỉ số lượng giác

Nội dung text: Chuyên đề Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 5: Tính diện tích tam giác, diện tích tứ giác nhờ sử dụng các tỉ số lượng giác

1. Chuyên đề 5. TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, DIỆN TÍCH TỨ GIÁC NHỜ SỬ DỤNG CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC A. Đặt vấn đề 1 Ta đã biết cách tính diện tích tam giác theo một công thức rất quen thuộc là S ah, trong đó a là độ dài 2 một cạnh của tam giác, h là chiều cao ứng với cạnh đó. Bây giờ ta vận dụng các tỉ số lượng giác, các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để xây dựng thêm các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh rằng diện tích một tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy. Giải Gọi là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC. Vẽ đường cao CH. Xét ACH vuông tại H có CH AC.sin 1 1 Diện tích ABC là S AB.CH. Do dó S AB.AC.sin . 2 2 1 Lưu ý: Nếu 900 , ta có ngay S AB.AC 2 Như vậy sin 900 1, điều này sẽ học ở các lớp trên. Ví dụ 2. Tứ giác ABCD có AC m, BD n, góc nhọn tạo bởi hai đường chéo bằng . 1 Chứng minh rằng diện tích của tứ giác này được tính theo công thức S mnsin . 2 Giải Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giả sử B· OC . Vẽ AH  BD, CK  BD. Ta có AH OAsin ; CK OC sin và OA OC AC. Diện tích tứ giác ABCD là:
2. 1 1 3 Chứng minh rằng: AB AC AD Giải Ta có 1 1 1 S AB.AD.sin 300 AB.AD. ABD 2 2 2 1 1 1 S AC.AD. sin 30 AC.AD. . ACD 2 2 2 1 1 3 S AB.AC.sin 60 AB.AC. ABC 2 2 2 1 1 1 1 1 3 Mặt khác S S S nên AB.AD. AC.AD. AB.AC. ABD ACD ABC 2 2 2 2 2 2 Do đó AD AB AC AB.AC 3 AB AC 3 1 1 3 Suy ra hay . AB.AC AD AB AC AD Nhận xét: Phưong pháp giải trong ví dụ này dựa trên quan hệ tổng diện tích các tam giác ABD và tam giác ACD bằng diện tích tam giác ABC. Ví dụ 6. Tam giác ABC có mỗi cạnh đều nhỏ hơn 4cm. Chứng minh rằng tam giác này có diện tích nhỏ hơn 7cm2 Giải 3 Giả sử µA Bµ Cµ, khi đó µA 60 và sin A 2 Diện tích tam giác ABC là: 1 1 3 S AB.AC.sin A .4.4. 4 3 6,92 7 cm2 . 2 2 2 Nhận xét: Do vai trò các góc A, B, C của tam giác ABC là như nhau nên ta có thể giả sử µA Bµ Cµ, từ đó suy 3 ra µA 60, dẫn tới sin A 2 C. Bài tập vận dụng • Tính diện tích 5.1. Chứng minh rằng diện tích cùa hình bình hành bằng diện tích của hai cạnh kề nhân với sin của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh ấy. 5.2. Cho hình chữ nhật ABCD, AC a và B· AC 0 45 . Chứng minh rằng diện tích của hình chữ 1 nhật ABCD là S a2 sin 2 2
3. • Tính số đo góc. Tính độ dài 5.14. Tam giác nhọn ABC có AB 4,6cm; BC 5,5cm và có diện tích là 9,69cm2. Tính số đo góc B (làm tròn đến độ). 5.15. Cho hình bình hành ABCD, Bµ 90. Biết AB 4cm, BC 3cm và diện tích của hình bình hành là 6 3cm2. Tính số đo các góc của hình bình hành. 5.16. Cho tam giác ABC có diện tích S 50cm2 , µA 90. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm 1 D và E sao cho ADE nhọn, có diện tích là S S. Chứng minh rằng DE 10 tan cm 1 2 2 5.17. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Biết AB 4,7cm, AC 5,3cm và µA 72. Tính độ dài AD (làm tròn đến hàng phần mười). 5.18. Cho tam giác ABC, AB 6cm, AC 12cm, µA 120. Vẽ đường phân giác AD. Tính độ dài AD. 5.19. Cho tam giác ABC, AB 5cm, BC 7cm, CA 8cm. Vẽ đường phân giác AD. Tính độ dài AD. 1 1 1 5.20. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Biết , tính số đo góc BAC. AB AC AD HƯỚNG DẪN GIẢI-ĐÁP SỐ 5.1. Xét hình bình hành ABCD, Dµ 90. Vẽ đường cao AH. Xét tam giác ADH vuông tại H, ta có: AH AD.sin Diện tích hình bình hành ABCD là: S CD.AH CD.AD.sin . Vậy S AD.DC.sin . 5.2. Xét ABC vuông tại B có AB AC cos a cos ; BC AC sin asin Diện tích hình chữ nhật ABCD là: S AB.BC a cos . asin a2 sin cos 1 1 a2.2sin cos a2 sin 2 2 2
4. 1 1 3 1 1 1 1 S BM.BN sin B . AB. BC.sin B . BA.BC.sin B S 2 2 2 4 3 4 2 4 1 1 2 1 1 1 1 S CN.CPsin C . CB. .CA.sin C . CB.CA.sin C S 3 2 2 3 2 3 2 3 1 1 1 17 17 7 Vậy S1 S2 S3 S S. Do đó SMNP S S S 8 4 3 24 24 24 7 8 1 S S S S. MNP 24 24 3 Cách giải khác: (không dùng tỉ số lượng giác) (h.5.10) 3 Vẽ đoạn thẳng AN. Xét các tam giác NMB và NAB có BM AB và chung chiều cao vẽ từ 4 4 3 đỉnh N nên S S . 1 2 4 NAB 1 1 Xét các tam giác ABN và ABC có BN BC nên S S 2 3 ABN 3 3 1 1 Từ (1) và (2) suy ra S . S S 2 4 3 4 1 1 Chứng minh tương tự ta được S S;S S 3 3 1 8 1 1 1 7 8 1 Do đó SMNP S S S S S 8 4 3 24 24 3 5.7. Ta có ·AOD B· EO (cùng phụ với B· OE). Ta đặt ·AOD thì B· EO OA 2 Xét AOD vuông tại O, ta có: OD cos cos OB 3 Xét BEO vuông tại B, ta có: OE sin sin Diện tích tam giác DOE là: 1 1 2 3 6 S OD.OE . . * 2 2 cos sin 2sin cos Áp dụng bất đẳng thức x2 y2 2xy ta được: sin2 cos2 2sin cos hay 1 2sin cos 6 6 Thay vào (*) ta đươc: S 2sin cos 1 (dấu “=” xảy ra khi sin cos 45) Vậy min S 6cm2 khi 45
5. 1 1 3 b2 3 b2. . (đvdt) 2 2 2 8 Mặt khác SAKCH SABCD SABK SADH 2 2 ab 3 a 3 b 3 3 2 2 Nên SAKCH 4ab a b (đvdt) 2 8 8 8 5.9. Ta có N· Ax N· AB 1800 600 : 2 600 1 S AN.AC.sin 60 ANC 2 1 S AN.AB.sin 60 ANB 2 1 S AB.AC.sin 60 ABC 2 Vì SANC SANB SABC 1 1 1 nên AN.AC.sin 60 AN.AB.sin 60 AB.AC.sin 60 2 2 2 Do đó AN AC AB AB.AC AC AB 1 1 1 1 Suy ra hay AB.AC AN AB AC AN 5.10. a) AM, AN là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên AM  AN. 1 1 2 S AB.AM.sin 450 AB.AM. ; ABM 2 2 2 1 1 2 S AB.AN.sin 450 AB.AN. ; ABN 2 2 2 1 S AM.AN (vì AMN vuông tại A). AMN 2 Mặt khác, SABM SABN SAMN nên: 1 2 1 2 1 AB.AM. AB.AN. AM.AN 2 2 2 2 2 2 Do đó AB AM AN . AM.AN. 2 AM AN 1 1 1 2 hay + ; AM.AN 2 AM AN AB AB. 2 b) Góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AN, AC là 45. 1 1 2 Ta có S AC.AN.sin 45 AC.AN. ; ANC 2 2 2
6. 1 180 180 1 AB.AC.2.sin cos AB.AC.2.sin 90 cos 90 2 2 2 2 2 2 1 AB.AC.2.cos sin 2 2 2 Suy ra AD AB AC AB.AC.2.cos 2 2.cos 2.cos AB AC 1 1 Do đó 2 hay 2 AB.AC AD AB AC AD 1 1 2 Nhận xét: Nếu µA 90 thì ta chứng minh được , vẫn phù hợp với kết luận của bài toán. AB AC AD 5.12. 1 Ta có S OA.OB.sin150 AOB 2 1 S OA.OC.sin150 AOC 2 1 S OB.OC.sin 300 BOC 2 Mặt khác, SAOB SAOC SBOC 1 1 1 nên OA.OB.sin15 OA.OC.sin15 OB.OC.2sin15cos15 2 2 2 Do đó OA OB OC 2OB.OC cos15. OB OC 2cos15 1 1 2 6 2 6 2 Suy ra hay OB.OC OA OB OC a.4 2a 5.13. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Ta đặt OC OA x, OD OB y, AD m, CD n. Giả sử ·AOD ·ADC 90. Xét OCD có ·AOD là góc ngoài nên ¶ µ · D2 C1 AOD ¶ µ · µ ¶ Mặt khác D2 C1 ADC . Suy ra C1 D1 1 1 Ta có S m.y sin D¶ ; S n.xsin Cµ ADO 2 1 DCO 2 1 Mặt khác SADO SDCO nên m.y n.x.
7. 1 1 2cos600 1 1 Do đó AD 4 cm 6 12 AD 4 AD 5.19. Vì cạnh CA là cạnh lớn nhất nên góc B là góc lớn nhất trong ABC. Ta thấy AC 2 AB2 BC 2 (vì 82 52 72 ) nên góc B là góc nhọn, do dó ABC là tam giác nhọn. Theo định lí côsin ta có: BC 2 AB2 AC 2 2bc cos A 72 52 82 2.5.8cos A 1 Do đó cos A µA 600 2 1 A 2cos300 Ta có: AB AC AD 3 2. 1 1 13 3 40 3 2 AD cm 5 8 AD 40 AD 13 2cos 1 1 5.20. Ta đặt B· AC . Ta có 2 AB AC AD 1 1 1 Mặt khác AB AC AD 2cos 1 1 Suy ra 2 . Do đó 2cos 1 cos cos600 AD AD 2 2 2 Do đó cos600 1200 2