Chuyên đề Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 9: Góc nội tiếp

Nội dung text: Chuyên đề Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 9: Góc nội tiếp

1. CHỦ ĐỀ 9: GÓC NỘI TIẾP. A. LÝ THUYẾT. + Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó ( B· AC là góc nội tiếp chắn cung nhỏ B»C ) + Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn ( B»C gọi là cung bị chắn). 2. Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn. 3. Trong một đường tròn: B * Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. Nếu A·BD = C·BD Þ A¼D = C»D Þ AD = CD O * Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau C A thì bằng nhau. · · 1 ¼ Trên hình vẽ: sđABD = sđACD = sđAD . D 2 ¼ » · · Trên hình vẽ: AD = CD Û sđAD = sđCD Û sđABD = sđCAD * Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. * Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG. * Để chứng minh tích độ dài đoạn thẳng bằng nhau cần chứng minh hai tam giác giác đồng dạng liên quan đến tích đó. * Để chứng minh hai tam giác đồng dạng cần chứng minh + Hai góc tương ứng của hai tam giác đó bằng nhau + Hai cặp cạnh của hai tam giác tương ứng tỉ lệ và góc sen giữa bằng nhau. * Để chứng minh hai góc bằng nhau ta cần chú ý:
2. Xét ΔCFB và ΔDEB có: ∠CFB = ∠BED = 90o ∠CBF = ∠DBE (đối đỉnh) => ∠FCB = ∠EDB Mặt khác: ∠FAB = ∠FCB (góc nội tiếp (O) cùng chắn cung FB ) ∠EAB = ∠EDB (góc nội tiếp (O’) cùng chắn cung EB ) => ∠FAB = ∠EAB hay AB là phân giác của góc ∠EAF . c) Chứng minh CA.CD = CB.CE Xét ΔCAE và ΔCBD có: ∠C chung ∠CEA = ∠BDA (góc nội tiếp (O’) cùng chắn cung AB) => ΔCAE ∼ ΔCBD (g.g) => CA/CB = CE/CD hay CA.CD = CB.CE (1) d) Chứng minh CD2 = CB.CE + BD.CF Chứng minh tương tự câu c) ta có: DA.DC = DB.DF (2) Từ (1) và (2) suy ra: CA.CD + DA.DC = CB.CE + DB.DF ⇔ (CA + DA)CD = CB.CE + DB.DF ⇔ CD2 = CB.CE + DB.DF Bài 2: Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bên trong đường tròn đó. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau (C thuộc cung nhỏ AB). Vẽ đường kính DE. Chứng minh rằng: a) MA.MB = MC.MD. b) Tứ giác ABEC là hình thang cân. c) Tổng có giá trị không đổi khi M thay đổi vị trí trong đường tròn (O). Hướng dẫn a) Chứng minh MA.MB = MC.MD. Xét ΔAMC và ΔDMB có: ∠ACD = ∠ABD (góc nội tiếp cùng chắn cung AD) ∠AMC = ∠BMD = 90o (gt) => ΔAMC ∼ ΔDMB (g.g) => MA/MD = MC/MB => MA.MB = MC.MD
3. Ta có: ∠DAM = ∠CMN = ∠CNM = 45o => AD // CN. Vậy tứ giác ADCN là hình bình hành. Bài 5: Cho ΔABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm bất kỳ thuộc cung nhỏ AC. Tia AM cắt BC tại N. Chứng minh rằng: a) AB2 = AM.AN b) ∠ACM = ∠ANC Hướng dẫn a) Chứng minh AB2 = AM.AN Vì ΔABC cân tại A =>∠ABC = ∠ACB Lại có ∠ACB = ∠AMB (góc nội tiếp cùng chắn cung AB ) => ∠ABN = ∠AMB Do đó: ΔABM ∼ ΔANB (g.g) => AB/AN = AM/MB => AB2 = AN. AM b) Chứng minh ∠ACM = ∠ANC Vì ΔABM ∼ ΔANB => ∠ABM = ∠ANB Mà ∠ABM = ∠ACM (góc nội tiếp cùng chắn cung AM) Do đó: ∠ACM = ∠ANC Bài 6: Cho ΔABC có AD là tia phân giác trong của góc A. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở E và đường thẳng song song với AC cắt AB ở F. a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao? b) Đường tròn đường kính AD cắt AB và AC lần lượt tại các điểm M và N. Chứng minh: MN // EF. Hướng dẫn a) Chứng minh được Tứ giác AEDF là hình thoi. b) Chứng minh: MN // EF. ΔABC có AD là tia phân giác trong của góc A => ∠BAD = ∠CAD => M¼ D N»D => ∠DAC = ∠MND (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) Lại có: ∠AND = 90o (nội tiếp chắn nửa đường tròn) => ∠DAN + ∠ADN = 90o => ∠MND + ∠ADN = 90o => MN // AD
4. Lại có ∠CMD = ∠CBD (góc nội tiếp cùng chắn cung CD) Suy ra ∠MCB = ∠CBD, mà hai góc này ở vị trí so le trong => MC // BD. Bài 9: Qua điểm M nằm trong đường tròn (O) kẻ hai dây AB và CD vuông góc với nhau. Chứng minh rằng: a) Đường cao MH của tam giác AMD đi qua trung điểm I của BC. b) Đường trung tuyến MI của ΔBMC vuông góc với AD. Hướng dẫn a) Chứng minh Đường cao MH của tam giác AMD đi qua trung điểm I của BC Ta có ∠ADC = ∠ABC (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) (1) Lại có ∠AMH = ∠ADM (cùng phụ với góc ∠MAD) Mà ∠AMH = ∠IMB (đối đỉnh) => ∠ADM = ∠IMB (2) Do đó IM = IB. Chứng minh tương tự ta có: IM = IC Suy ra IB = IC = IM => I là trung điểm của BC. b) Học sinh tự chứng minh. Bài 10: Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc với nhau của đường tròn (O; R). Qua điểm M thuộc cung nhỏ AC (M ≠ A, M ≠ E)kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt AB, CD lần lượt tại E, F. a) Chứng minh: ∠MFO = 2.∠MBO b) Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ AC sao cho ∠FEO = 30o. Khi đó tính độ dài đoạn thẳng OE, ME, EF theo R. Hướng dẫn a) Chứng minh: ∠MFO = 2.∠MBO Ta có: ∠MOA = 2∠MBO (cùng chắn cung MA) Vì EF là tiếp tuyến với (O) tại M nên OM ⊥ EF Ta có ∠MOA = ∠EFO (cùng phụ với góc ∠FEO ) Suy ra ∠EFO = 2∠MBO b) Tính độ dài đoạn thẳng OE, ME, EF theo R. Ta có: ∠FEO = 30o ⇔ ∠MOA = 60o ⇔ ΔAOM đều nên AM = OA = R. Vậy nếu M ∈ (O) và AM = R thì ∠FEO = 30o Khi đó ΔOME vuông tại M nên ME = MO. tan∠MOA = 3 R ; OE = 2MO = 2R
5. Bài 6 : Trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý . Gọi Q là giao điểm của AP và BC a) Chứng minh BC2= AP . AQ . b) Trên AP lấy điểm M sao cho PM = PB . Chứng minh BP+PC= AP. 1 1 1 c) Chứng minh . PQ PB PC Bài 7: Cho (O), đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D. a) Tam giác ABE là tam giác gì ? b) Gọi K là giao điểm của EB với (O). Chứng minh rằng OD  AK. Bài 8: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A, B, O nằm trên (O’). Dây AC của (O) cắt (O’) ở D, dây OE của (O’) cắt (O) ở F. Chứng minh : a) OD  BC. b) Điểm F cách đều ba cạnh của tam giác ABE. Bài 9: Cho hai đường thẳng song song. Một đường tròn tiếp xúc với một đường thẳng tại A và cắt đường thẳng kia tại B, C. Trên đường tròn lấy một điểm D ( không trùng A, B, C ). Chứng minh rằng A cách đều hai đường thẳng BD và CD. Bài 10: MA và MB là hai tiếp tuyến của (O). Vẽ (M;MA), C là một điểm nằm trên cung AB của (M) ( cung AB nằm trong đường tròn (O) ). Tia AC, BC cắt (O) ở P, Q. Chứng minh rằng : P và Q đối xứng với nhau qua O. Bài 11: Trên cạnh CD của hình vuông ABCD ta lấy một điểm M khác C, D. Các đường tròn đường kính CD và AM cắt nhau tại điểm thứ hai N ( khác D ). Tia DN cắt BC tại P. Chứng minh rằng: AC  PM.