Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 12 - Năm học 2022 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 12 - Năm học 2022 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Mụn thi: Toỏn – Lớp 11 Thời gian làm bài: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Cõu I. (4,0 điểm) x 3 Cho hàm số y = - x2 + x + m cú đồ thị là C . Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để tiếp tuyến của đồ 3 thị C tại điểm M cú xM = 3 chắn hai trục tọa độ một tam giỏc cú diện tớch bằng 2 . Cõu II. (6,0 điểm) 1) Giải phương trỡnh ổ ử ỗ p ữ 2 sin ỗ2x - ữ= sin x + cosx - 1 ốỗ 4ứữ 2) Tỡm số nguyờn dương lẻ n sao cho 1 2 2 3 3 4 n- 1 n Cn - 2.2Cn + 3.2 Cn - 4.2 Cn + + n.2 Cn = 2022. 2022(2023- x2) - 2022 3) Tớnh giới hạn I = lim xđ 1 x - 1 Cõu III. (4,0 điểm) 1) Giải phương trỡnh: 2x + 3 + x + 1 = 3x - 16 + 2 2x2 + 5x + 3 ỡ 3 3 2 ù x - y + 3x + 6x - 3y + 4 = 0 2) Giải hệ phương trỡnh: ớù (x,y ẻ R) ù 3 4x + 1 + 23 2x + 4y - 8 = x + 2y + 5 ợù Cõu IV. (4,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hỡnh vuụng ABCD cú đỉnh C thuộc đường thẳng d :x + 2y - 6 = 0, điểm M (1;1) thuộc cạnh BD biết rằng chỡnh chiếu vuụng gúc của điểm M trờn cạnh AB,AD đều nằm trờn đường thẳng D :x + y - 1 = 0 . Tỡm tọa độ đỉnh C . 2) Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a . Gọi O là giao điểm của hai đường chộo. Trờn nửa đưởng thẳng Ox ã 0 vuụng gúc với mặt phẳng chứa hỡnh vuụng, ta lấy điểm S sao cho gúc SCB = 60 . Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BC và SD . Cõu V. (2,0 điểm) Cho a,b,c,d là cỏc số thực thoả món a2 + b2 = 25;c2+ d2 = 16 và ac + bd ³ 20 . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: P = a + d . Hết Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ sinh: . . . .; Số bỏo danh: . HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Mụn: Toỏn – Lớp 11 Cõu Lời giải sơ lược Điểm 1(4,0 điểm) Ta cú y ' x 2 2x 1 Theo giả thiết ta cú M(3;3 m) (C), phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại M là: 2,0 y y '(3)(x 3) 3 m y 4(x 3) 3 m y 4 x 9 m (Δ )
2. ĐKXĐ: x ³ - 1 Đặt t = 2x + 3 + x + 1, đk: t > 0 ị t 2 = 3x + 4 + 2 2x2 + 5x + 3 ị 3x + 2 2x2 + 5x + 3 = t 2 - 4 1,0 ột = - 4 PT trở thành: t = t 2 - 4- 16 Û t 2 - t - 20 = 0 Û ờ ị t = 5 ờt = 5 ởờ Với t = 5 ị 2x + 3 + x + 1 = 5 Û 3x + 4 + 2 2x2 + 5x + 3 = 25 ùỡ 21- 3x ³ 0 2 ù Û 2 2x + 5x + 3 = 21- 3x Û ớù ù 4(2x2 + 5x + 3) = 441- 126x + 9x2 ù ợ 1,0 ỡ ỡ ù x Ê 7 ù x Ê 7 Û ớù Û ớ Û x = 3 ù x2 - 146x + 429 = 0 ù x = 143Úx = 3 ợù ợù Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x = 3 ỡ 3 3 2 ù x - y + 3x + 6x - 3y + 4 = 0 (1) 3.2 (2 điểm) Giải hệ phương trỡnh: ớù (x,y ẻ R) ù 3 4x + 1 + 23 2x + 4y - 8 = x + 2y + 5 (2) ợù ỡ ù x ³ - 1/ 4 Điều kiện ớ 0,5 ù 2x + 4y - 8 ³ 0 ợù Phương trỡnh (1) tương đương với (x 1)3 3(x 1) y3 3y 2 2 (x 1 y) (x 1) (x 1) y y 3 0 (*) 0,5 Vỡ (x 1)2 (x 1) y y2 3 0,x, y nờn (*) x 1 y 0 y x 1 Thay vào phương trỡnh (2) của hệ ta được 3 4x 1 2 3 6x 4 3x 7 3 3 4x 1 2x 5 2 6x 4 (x 2) 0 4(x 2)2 (x 2)2 (x 10) 0 3 4x 1 2x 5 4 3 (6x 4)2 2(x 2) 3 6x 4 (x 2)2 1,0 (x 2)2 0 x 2(tm) y 3(tm) 4 (x 10) 0( ) 3 2 3 2 3 2x 8 x 12 4 (6x 4) 2(x 2) 6x 4 (x 2) Nhận xột: Với x 1/ 4 ,vế trỏi của phương trỡnh ( ) luụn õm , nờn ( ) vụ nghiệm Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm ( 2;3) 4.1 (2 điểm)
3. 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trỡnh bày sơ lược một cỏch giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tớnh toỏn chớnh xỏc mới được tớnh điểm tối đa. 2. Với cỏc cỏch giải đỳng nhưng khỏc đỏp ỏn, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng khụng được vượt quỏ số điểm dành cho bài hoặc phần đú. Mọi vấn đề phỏt sinh trong quỏ trỡnh chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ. 3. Điểm toàn bài là tổng số điểm của cỏc phần đó chấm, khụng làm trũn điểm