Đề thi khảo sát chất lượng đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 10 (Lần 1) - Năm học 2022 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi khảo sát chất lượng đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 10 (Lần 1) - Năm học 2022 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN HSG LẦN 1 Mụn TOÁN 10 Thời gian: 120 phỳt. 2 Cõu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = (m - 2)x - (3m - 1)x + 2m + 1 cú đồ thị (Pm ) với m là tham số. a. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (P1) của hàm số đó cho khi m = 1. b. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để đường thẳng d : y = (1- m)x + m cắt đồ thị (Pm ) tại hai 3 3 2 điểm phõn biệt cú hoành độ x1, x2 thỏa món + = + 4. x1 x2 2x1x2 - x1 - x2 Cõu 2 (1,0 điểm) Xỏc định phương trỡnh của parabol (P) đi qua điểm A(- 1;- 1), nhận đường thẳng x = 2 làm trục đối xứng và cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng - 6. Cõu 3 (3,0 điểm) Giải cỏc phương trỡnh và hệ phương trỡnh sau: a. x 2 - 4x + 3 = 2x - 5. b. x - 1 + 6 - x + - x 2 + 7x - 6 = 5. ỡ 2 ù x - x + x = xy + y + 1 c. ớù . ù 2x 3 + 1 = x 4x 2 + 5y2 - 5 + 9y ợù Cõu 4 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú A(2;- 1), B (- 1;3) và C (5;3). a. Tớnh chu vi của tam giỏc ABC và gúc À. b. Xỏc định tọa độ điểm H là hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm C trờn đường thẳng AB. Cõu 5 (1,0 điểm) ã o Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú AB = 1 và BAC = 120 . Gọi M là điểm thuộc cạnh AC sao cho AM = 2MC. Xỏc định vị trớ của điểm N trờn cạnh BC sao cho AN vuụng gúc BM . Cõu 6 (1,0 điểm) a. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để trờn đồ thị (C ) của hàm y = x 2 + mx + 5 - m cú hai điểm phõn biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. b. Một người nụng dõn cú 6 triệu đồng để làm một hàng rào chữ E dọc theo một con sụng (như hỡnh vẽ bờn) làm một khu đất cú hai phần là hỡnh chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song bờ sụng thỡ chi phớ nguyờn vật liệu là 60000 đồng một một, cũn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thỡ chi phớ nguyờn vật liệu là 40000 đồng một một. Tớnh diện tớch lớn nhất của khu đất rào thu được. HẾT Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. ĐÁP ÁN
2. A(- 1;- 1)ẻ (P) Û a - b + c = - 1 (1) b Đường thẳng x = 2 là trục đối xứng ị - = 2 Û 4a + b = 0 (2) 0,25 2a Do (P) cắt Oy tại điểm cú tung độ - 6 nờn B (0;- 6)ẻ (P) Û c = - 6 (3) 0,25 ỡ ù a = 1 ù Từ (1), (2), (3) suy ra ớ b = - 4 (thỏa món) ù 0,25 ù c = - 6 ợù Vậy phương trỡnh parabol (P) là y = x 2 - 4x - 6. 3 a. (1,0 điểm) x 2 - 4x + 3 = 2x - 5. (3,0 điểm) ỡ ỡ ù 2x - 5 ³ 0 ù 2x - 5 ³ 0 Phương trỡnh Û ớù Û ớù . 0,5 ù x 2 - 4x + 3 = 2x - 5 ù x 2 - 6x + 8 = 0 ợù ợù ùỡ 5 ù x ³ ù 2 Û ớ ộx = 2 Û x = 4. ù ờ 0,25 ù ờx = 4 ợù ởờ (nếu thiếu điều kiện hoặc khụng loại nghiệm trừ 0,25 điểm) Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S = {4}. 0,25 b. (1,0 điểm) x - 1 + 6 - x + - x 2 + 7x - 6 = 5. Điều kiện: 1 Ê x Ê 6. Đặt t = x - 1 + 6 - x (t > 0). 0,25 t 2 - 5 Û t 2 = 5 + 2 (x - 1)(6 - x) Û - x 2 + 7x - 6 = . 2 t 2 - 5 ột = 3 ị Phương trỡnh trở thành: t + = 5 Û t 2 + 2t - 15 = 0 Û ờ . 2 ờt = - 5 ởờ 0,25 Kết hợp với điều kiện t > 0 ị t = 3. ộx = 2 2 2 ờ Với t = 3 ị - x + 7x - 6 = 2 Û x - 7x + 10 = 0 Û (thỏa món) 0,25 ờx = 5 ởờ Vậy tập nghiệm của phương trỡnh đó cho là: S = {2;5}. 0,25 ỡ 2 ù x - x + x = xy + y + 1 (1) c. (1,0 điểm) ớù . ù 2x 3 + 1 = x 4x 2 + 5y2 - 5 + 9y 2 ợù ( ) ỡ ù x ³ 0 ù Điều kiện: ớ y ³ - 1 * ù ( ) ù 4x 2 + 5y2 - 5 ³ 0 0,25 ợù Khi đú, (1) Û x (x - y - 1)+ x - y + 1 = 0. Û x ( x - y + 1)( x + y + 1)+ ( x - y + 1) = 0. ộ ự 0,25 Û x - y + 1 ờx x + y + 1 + 1ỳ= 0. ( )ở ( ) ỷ
3. ùỡ 29 ù x = ổ ử ù H 25 ỗ29 3 ữ Từ (1) và (2) suy ra: ớ . Vậy tọa độ điểm H là H ỗ ; ữ. 0,25 ù 3 ốỗ25 25ứữ ù y = ợù H 25 5 ã o Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú AB = 1, BAC = 120 . Gọi M là điểm thuộc cạnh (1,0 điểm) AC sao cho AM = 2MC. Xỏc định điểm N trờn cạnh BC sao cho AN ^ BM . uuuur uuur Vỡ AM = 2MC và AM , MC cựng hướng nờn uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur 2 uuur AM = 2MC Û AM = 2 AC - AM Û AM = AC ( ) 3 0,25 uuur uuuur uuur 2 uuur uuur Suy ra BM = AM - AB = AC - AB. 3 uuur uuur Giả sử BN = kBC (0 Ê k Ê 1). uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 0,25 Û AN - AB = k (AC - AB) Û AN = kAC + (1- k)AB. uuur uuur ổ uuur uuurử uuur uuur ỗ2 ữộ ự Do AN ^ BM Û AN.BM = 0 Û ỗ AC - ABữờkAC + (1- k)ABỳ= 0. ốỗ3 ữứở ỷ ổ ửuuur uuur 2k 2 2 ỗ2 - 5k ữ Û AC + (k - 1)AC + ỗ ữAB.AC = 0. 3 ốỗ 3 ứữ 0,25 ổ ử 2k ỗ2 - 5k ữ ã Û + (k - 1)+ ỗ ữAB.AC.cosBAC = 0. 3 ốỗ 3 ữứ ổ ử ổ ử 2k ỗ2 - 5k ữ ỗ 1ữ 8 Û + k - 1+ ỗ ữ.ỗ- ữ= 0 Û k = . 3 ốỗ 3 ữứ ốỗ 2ữứ 15 Vậy điểm N thuộc cạnh BC thỏa món 15BN = 8BC. 0,25 5 a. (0,5 điểm) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để (1,0 điểm) Giả sử M (x;y) và gọi N là điểm đối xứng của M qua O ị N (- x;- y). 2 Ta cú M (x;y)ẻ (C ) Û y = x + mx + 5 - m (1) 0,25 2 N ẻ (C ) Û - y = (- x) + m (- x)+ 5 - m Û y = - x 2 + mx - 5 + m (2) (1), (2) ị x 2 + mx + 5 - m = - x 2 + mx - 5 + m Û x 2 + 5 - m = 0 (3) Giả thiết Û (3) cú hai nghiệm phõn biệt Û D ' = m - 5 > 0 Û m > 5. 0,25 Vậy giỏ trị m cần tỡm là: m > 5. b. (0,5 điểm) Tớnh diện tớch lớn nhất của khu đất rào thu được. Giả sử độ dài của một hàng rào vuụng gúc bờ sụng là x (m) và độ dài của hàng rào song song với bờ sụng là y m x,y > 0 . ( ) ( ) 0,25 Khi đú, tổng số tiền để mua hàng rào là 3x.40000 + y.60000 = 6.1000000. Û y = 100 - 2x 2 Diện tớch khu đất là S = x.y = x (100 - 2x) = - 2(x - 25) + 1250 Ê 1250. 0,25 Vậy diện tớch khu đất lớn nhất là 1250(m2) khi x = 25(m) và y = 50(m). }} Chỳ ý: Cỏc cỏch giải khỏc đỏp ỏn và đỳng đều cho điểm tối đa.