Giáo án dạy thêm Hình học Lớp 8 - Chủ đề 9: Đa giác, đa giác đều

Nội dung text: Giáo án dạy thêm Hình học Lớp 8 - Chủ đề 9: Đa giác, đa giác đều

1. CHỦ ĐỀ 9. ĐA GIÁC , ĐA GIÁC ĐỀU A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó. 2/ Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau. VD1: Tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau và ba góc bằng nhau bằng 60o VD2: Tứ giác đều (Hình vuông) có 4 cạnh bằng nhau và bốn góc bằng nhau bằng 90o 3/ Bổ sung + Tổng các góc trong của đa giác n cạnh (n > 2) là (n - 2).180o (n 3).n + Số đường chéo của một đa giác n cạnh (n > 2) là . 2 + Tổng các góc ngoài của đa giác n cạnh (n > 2) là 360o (tại mỗi đỉnh chỉ chọn một góc ngoài). + Trong một đa giác đều, giao điểm O của hai đường phân giác của hai góc kề một cạnh là tâm của đa giác đều. Tâm O cách đều các đỉnh, cách đều các cạnh của đa giác đều. Có một đường tròn tâm O đi qua các đỉnh của đa giác đều gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều. B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD có góc ∠A = 60o. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng đa giác EBFGDH là lục giác đều Giải ABCD là hình thoi có ∠A = 60o => ∠B = ∠D = 120o ∆AEH là tam giác đều (Vì tam giác cân có một góc 60o) => ∠E = ∠H = 120o Tương tự: ∠F = ∠G = 120o Vậy EBFGDH có tất cả các góc bằng nhau, mặt khác EBFGDH cũng có tất cả các cạnh bằng nhau (bằng nửa cạnh hình thoi). Vậy EBFGDH là một lục giác đều. Ví dụ 2. Tìm số cạnh của một đa giác biết số đường chéo hơn số cạnh là 7. Giải Tìm cách giải.
2. Ta có (n - 2). 1800 – Aµ = 5700 Aµ = (n - 2).1800 – 5700. Vì 00 < Aµ < 1800 0 < (n - 2). 1800 – 5700 < 1800. 5700 < (n - 2). 1800 < 7500 19 25 1 1 n 2 5 n 6 . 6 6 6 6 Vì n N nên n = 6. Đa giác đó có 6 cạnh và Aµ = (6 - 2). 1800 – 5700 = 1500. Ví dụ 5. Một lục giác đều và một ngũ giác đều chung cạnh AD (như hình vẽ). Tính các góc của tam giác ABC. Giải Tìm cách giải. Vì AD là cạnh của lục giác đều và ngũ giác đều, nên dễ dàng nhận ra ∆ABD, ∆ACD, ∆BCD là các tam giác cân đỉnh D và tính được số đo các góc ở đỉnh. Do vậy ∆ABC sẽ tính được số đo các góc. Trình bày lời giải Theo công thức tính góc của đa giác đều, ta có: 6 2 .1800 A· DB 1200 D· AB D· BA 300 ; 6 A 5 2 1800 A· DC 1080 D· AC D· CA 360 ; 5 Suy ra B· DC 3600 1200 1080 1320 . D C Ta có ∆BDC (DB = DC) cân tại D. Do đó B 1800 1320 D· BC D· CB 240 . 2 Suy ra B· AC 300 360 660 ; ·ABC 300 240 540 ; ·BCA 240 360 600 . Ví dụ 6. Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi M, L, K lần lượt là trung điểm EF, DE, CD. Gọi giao điểm của AK với BL và CM lần lượt là P, Q. Gọi giao điểm của CM và BL là R. Chứng minh tam giác PQR là tam giác đều.
3. Nhận xét. Dựa vào tính chất số hữu tỷ, số vô tỷ chúng ta đã giải được bài toán trên. Cũng với kỹ thuật đó, chúng ta có thể giải được bài thi hay và khó sau: Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 - giác EFGHIJKM có các góc bằng nhau. Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8 - giác EFGHIJKM là các số hữu tỉ thì EF = IJ. (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, tỉnh Hưng Yên, năm học 2009 - 2010) C. BÀI TẬP VẬN DỤNG 10.1. Số đường chéo của một đa giác lớn hơn 14, nhưng nhỏ hơn 27. Hỏi đa giác đó bao nhiêu cạnh? 10.2. Tổng số đo các góc của một đa giác n - cạnh trừ đi góc A của nó bằng 25700. Tính số cạnh của đa giác đó và Aµ . 10.3. Cho ∆ABC có ba góc nhọn và M là điểm bất kì nằm trong tam giác. Gọi A1;B1;C1 là các điểm đối xứng với M lần lượt qua trung điểm các cạnh BC, CA, AB. a) Chứng minh các đoạn AA1;BB1;CC1 cùng đi qua một điểm. b)Xác định vị trí điểm M để lục giác AB1CA1BC1 có các cạnh bằng nhau. 10.4. Một ngũ giác đều có 5 đường chéo và nhóm 5 đường chéo này chỉ có một loại độ dài (ta gọi một loại độ dài là một nhóm các đường chéo bằng nhau). Một lục giác đều có 9 đường chéo và nhóm 9 đường chéo này có 2 loại độ dài khác nhau (hình vẽ). Xét đa giác đều có 20 cạnh. Hỏi khi đó nhóm các đường chéo có bao nhiêu loại độ dài khác nhau? 10.5. Cho ngũ giác lồi ABCDE có tất cả các cạnh bằng nhau và A· BC = 2D· BE . Hãy tính A· BC . 10.6. Cho ngũ giác ABCDE có các cạnh bằng nhau và µA µB µC . a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân. b) Chứng minh ngũ giác ABCDEF là ngũ giác đều. 10.7. Cho ngũ giác ABCDE, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, EA và I, ED J lần lượt là trung điểm của MP, NQ. Chứng minh rằng IJ song song với ED và I J . 4