Kỳ thi Olympic 24/3 tỉnh Quảng Nam môn Toán Lớp 10 - Năm học 2021-2022 - Sở GD&ĐT Quảng Nam (Có đáp án)

Nội dung text: Kỳ thi Olympic 24/3 tỉnh Quảng Nam môn Toán Lớp 10 - Năm học 2021-2022 - Sở GD&ĐT Quảng Nam (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM QUẢNG NAM NĂM 2021 Môn thi : TOÁN 10 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 20/03/2021 Câu 1 (5,0 điểm). a) Giải phương trình 3 x 1 3 3 x 4 x 2 4x 3 2 0. y 2x xy 0 b) Giải hệ phương trình 2 x 2x y 3 2(y 3x 2) 2x 1 0 Câu 2 (4,0 điểm). x 1 3 x khi x 3 a) Cho hàm số y có đồ thị (C). 2 x 6x 12 khi x 3 Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C) có tung độ bằng 4. b) Cho parabol (P) : y x2 bx c . Tìm các hệ số b,c để (P) đi qua A(2;1) và cắt trục hoành tại hai điểm B,C sao cho tam giác IBC đều, với I là đỉnh của (P). Câu 3 (4,0 điểm). 1 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3x trên nửa khoảng 1; . 2x b) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x y xy 3. x x y y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 3y y 3x Câu 4 (3,0 điểm). a) Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của BC, N nằm trên cạnh CD sao cho NC 2ND, K là trung điểm của AB. Hai điểm I, J lần lượt là trọng tâm của hai tam giác AMN, BCN.    Hãy biểu thị vectơ IJ theo hai vectơ AB, AD và chứng minh IJ vuông góc với DK. b) Cho tam giác ABC có AB 2 3, AC 4, B· AC 1500. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho B· AM 1200. Tính độ dài các đoạn thẳng MB, MC. Câu 5 (4,0 điểm). a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(3;1) và đường thẳng (d) có phương trình 2x y 1 0 . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng (d) tại B(1;3). b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại B. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC và I(7;3) là trọng tâm của tam giác ABN. Điểm E thuộc cạnh AC sao cho IE IA ( E khác A ) và đường thẳng IE có phương trình x 2y 13 0 . Điểm M thuộc đường thẳng (d1) : x 3y 12 0 , B thuộc đường thẳng (d2 ) : x y 2 0 và A có hoành độ lớn hơn 5. Tìm tọa độ các điểm A, B, C. –––––––––––– Hết –––––––––––– Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . Số báo danh: .
2. x 1 3 x khi x 3 a) Cho hàm số y có đồ thị (C). 2 x 6x 12 khi x 3 2,0 Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C) có tung độ bằng 4. • y x 1 3 x ( x 3) y 4 x 1 3 x 4 3 x x 3 x 3 0 x 3 3 x (x 3)2 x2 7x 6 0 x 3 x 1 A( 1;4) x 1 x 6 2 • y x 6x 12 ( x 3) 2 x 2(loai) y 4 x 6x 12 4 B(4;4) x 4 Vậy có hai điểm thỏa đề A( 1;4), B(4;4). b) Cho parabol (P) : y x2 bx c . Tìm các hệ số b,c để (P) đi qua A(2;1) và cắt 2,0 trục hoành tại hai điểm B,C sao cho tam giác IBC đều, với I là đỉnh của (P). Câu 2 (4,0 điểm) 2 . Parabol y x bx c đi qua A(2;1) nên 2b c 3 (1) . Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và trục hoành là x2 bx c 0 (*) (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt B, C 2 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b 4c 0 b 4c b2 . Parabol (P) có đỉnh I( ; ) 2 4 . Giả sử : B(x1;0), C(x2 ;0) ; trong đó x1, x2 là hai nghiệm của pt (*) 3 4c b2 3 Tam giác IBC đều khi IH BC. x x . 2 4 1 2 2 (4c b2 )2 3 (4c b2 )2 3 (x x )2 4x x . (b2 4c). 16 1 2 1 2 4 16 4 (b2 4c)2 12(b2 4c) b2 4c 12 (2) 2b c 3 b 0 b 8 Từ (1) và (2) ta có hệ : hoặc . 2 b 4c 12 c 3 c 13 1 Câu 3 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3x trên nửa khoảng 1; . 1,5 2x
3. a) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, M là trung điểm của BC, N nằm trên cạnh CD sao cho NC 2ND, K là trung điểm của AB. Hai điểm I, J lần lượt là    1,5 AB, AD; trọng tâm của hai tam giác AMN, BCN. Hãy biểu thị IJ theo hai vectơ chứng minh IJ vuông góc với DK.    IJ AJ AI 1    1    AB AC AN AA AM AN 3 3 1  1  1  AB AC AM 3 3 3 1  1   1  1  AB AB AD AB AD 3 3 3 2 1  1  AB AD 3 6   1  1  1   IJ.DK ( AB AD)( AB AD) 3 6 2 1 1 AB2 AD2 0 6 6 Suy ra IJ vuông góc với DK. b) Cho tam giác ABC có AB 2 3, AC 4, B· AC 1500. Điểm M nằm trên cạnh 1,5 BC sao cho B· AM 1200. Tính MB, MC. Câu 4 1 · (3,0 .AB.AM.sin BAM MB S AMB 2 3 điểm) MC S 1 2 AMC .AM.AC.sin M· AC 2 BC AB2 AC 2 2.AB.AC.cos B· AC 2 13 3 6 13 MB BC 5 5 2 4 13 MC BC 5 5 Cách khác : S ABC S AMB S AMC 1 1 1 .AB.AC.sin B· AC .AB.AM.sin B· AM .AM.AC.sin M· AC 2 2 2 1 1 1 .2 3.4.sin1500 .2 3.AM.sin1200 .AM.4.sin 300 2 2 2 1 1 1 3 1 1 4 3 .2 3.4. .2 3.AM. .AM.4. AM 2 2 2 2 2 2 5 6 13 MB AB2 AM 2 2.AB.AM.cos B· AM 5 4 13 MC AM 2 AC 2 2.AM.AC.cos M· AC 5
4. . Trong những ý chưa phân rã ra 0,25đ thì nếu cần Ban Giám khảo có thể thống nhất rã ra chi tiết 0,25đ, nhưng lưu ý tổng điểm cả ý đó vẫn không đổi ; . Nếu học sinh có cách giải khác đúng, chính xác và logic thì Ban Giám khảo thảo luận và thống nhất thang điểm cho điểm phù hợp với Hướng dẫn chấm.