Kỳ thi Olympic 24/3 tỉnh Quảng Nam môn Toán Lớp 11 - Năm học 2021-2022 - Sở GD&ĐT Quảng Nam (Có đáp án)

Nội dung text: Kỳ thi Olympic 24/3 tỉnh Quảng Nam môn Toán Lớp 11 - Năm học 2021-2022 - Sở GD&ĐT Quảng Nam (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM QUẢNG NAM NĂM 2021 Môn thi : TOÁN LỚP 11 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang) Ngày thi : 20/3/2021 Câu 1 (3,0 điểm). Giải các phương trình sau: a) 4cos2 x 4cos2x.cos2 x 6sin x.cos x 1 0 b) sin3 x cos4 x 1 Câu 2 (4,0 điểm). a) Cho dãy số gồm có ba số hạng u1 , u2 , u3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Nếu ta trừ số hạng thứ ba cho 4 thì dãy thu được là một cấp số cộng. Nếu trừ số hạng thứ hai và thứ ba của cấp số cộng vừa thu được cho 1 thì dãy thu được là một cấp số nhân. Tìm dãy số u1 , u2 , u3 . b) Cho dãy số (un ),biết: u0 1, u1 1 và n(n 1)un 1 n(n 1)un (n 2)un 1, n 1. u0 u1 u2020 Chứng tỏ rằng (n 1).un 1 un 0, n 1 và tính tổng S . u1 u2 u2021 Câu 3 (6,0 điểm). 0 2 1 2 n 2 n a) Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng: (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2n b) Gọi X là tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập X . Tính xác suất để số được chọn có đúng ba chữ số giống nhau. 3x 1 2 khi x 1 x2 1 c) Cho hàm số f (x) . a(x2 2) khi x 1 x 3 Tìm giá trị của tham số a để hàm số f (x) liên tục tại x 1. Câu 4 (3,0 điểm). a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C) và (C') với phương trình (C ') : x2 y2 4x 2y 11 0 . Biết rằng phép vị tự tâm A(0;1) tỉ số k 2 biến đường tròn (C) thành đường tròn (C') . Viết phương trình đường tròn (C) . b) Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC đều. Tìm tập hợp những điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho MA2 MB2 MC 2 . Câu 5 (4,0 điểm). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB a, AC 2a, AA' 2a 5 và góc B· AC 1200 . Gọi M là trung điểm cạnh CC’. a) Chứng minh MB vuông góc với MA’. b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BM) theo a . –––––––––––– Hết –––––––––––– Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM
2. 2 u2 u1 .u3 (1) + Ta có hệ 2u2 u1 u3 4 (2) 2 (u2 1) u1 .(u3 5) (3) 2u 1 Từ (1) và (3) suy ra u 2 (4) 1 5 0.5 8u 21 Từ (2) và (4) suy ra u 2 (5) 3 5 2 7 Thay (4), (5) vào (1) thu được PT: 9u2 34u2 21 0 u2 3,u2 0.5 9 1 7 49 Vậy có 2 dãy số thỏa đề bài là 1; 3; 9 hoặc ; ; 0,25 9 9 9 Dãy số (un ), biết: u0 1, u1 1 và n(n 1)un 1 n(n 1)un (n 2)un 1, n 1. u0 u1 u2020 b Chứng tỏ rằng (n 1).un 1 un 0,n 1 . Tính tổng S 2,0 u1 u2 u2021 Từ công thức xác định của dãy ta có: n[(n 1)un 1 un ] (n 2)(nun un 1), n 1 0.25 Thay n 1 ta được: 2u u 0 (và n 2 suy ra 3u u 0 ) 2 1 3 2 0,25 Giả sử (k 1).uk 1 uk 0,k 1 k 1 0.5 Suy ra (k 2).u u [(k 1).u u ] 0 k 2 k 1 k 1 k 1 k Vậy. (n 1).un 1 un 0,n 1 u u 0.25 Tính 0 1; 1 2 u1 u2 u n 0.25 Từ (n 1).un 1 un 0,n 2 suy ra n 1 un 1 u0 u1 u2020 Suy ra S 1 2 2021 0,25 u1 u2 u2021 2021.2022 S 2021.1011 ( 2043231) 2 0.25 Câu 3 (6,0 điểm) 0 2 1 2 n 2 n Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng: (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2n 2,0 a 2n 0 1 n n 2n 2n 0.5 Xét khai triển: (1 x) C2n C2n x C2n x C2n x (1) (1 x)2n (1 x)n.(x 1)n Mặt khác: (2) 0 1 n n 0 n 1 n 1 n 0.75 (Cn Cn x Cn x )(Cn x Cn x Cn ) n n 0.25 Hệ số của x trong (1) là C2n n 0 2 1 2 n 2 0.25 Hệ số của x trong (2) là (Cn ) (Cn ) (Cn )
3. Câu 5 (4,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB a, AC 2a, AA' 2a 5 và góc BAC 1200 . Gọi M là trung điểm cạnh CC’. a) Chứng minh MB vuông góc với MA’. b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BM) theo a . B C A M B' C' A' (Hình vẽ phục vụ câu a - 0,25 điểm) a Chứng minh MB vuông góc với MA’. 1,75 + Xét tam giác ABC, theo định lí hàm số Cosin ta có: BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cos A 0,5 a2 (2a)2 2.a.(2a).cos1200 7a2 + Xét tam giác vuông BCM có: BM 2 BC 2 CM 2 7a2 5a2 12a2 0,25 + Xét tam giác vuông A’C’M có: A'M2 A'C '2 C 'M 2 4a2 5a2 9a2 0,25 + Xét tam giác vuông A’AB có: A'B2 A' A2 AB2 20a2 a2 21a2 0,25 2 2 2 2 Suy ra A'M MB 21a A'B hay MB  A'M 0,5 b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BM) theo a . 2,0 0,25