Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 6 - Bài toán Max, Min số phức

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 6 - Bài toán Max, Min số phức

1. A. P 232018. B. P 232018. C. P 232018 i. D. P 292018. Hướng dẫn giải Chọn A 2 Ta có: w2 1 sin i cos 1 1 cos 2 i sin 2 w2 1 2 2cos 2 . 2 w sin2 cos2 2 . Từ giả thiết: w2 1 2 w cos 2 0 vì 0 . 4 2 2 2 2 2 2 w i w i w 1 . 2 2 2 2 Vậy P 232018. 2 2 Câu 39: Cho các số phức z1 2 i,z2 2 i và số phức z thay đổi thỏa mãn z z1 z z2 16. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức M 2 m2 bằng A. 15 . B. 7 . C. 11 . D. 8 . Lời giải ChọnD. Gọi M là điểm biểu diễn của z . Gọi A 2;1 , B 2;1 . Gọi I 0;1 là trung điểm AB . 2 2 2 2 z z1 z z2 16 MA MB 16 AB2 MA2 MB2 2MI 2 16 MI 2 2 Suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I 0;1 bán kính R 2 . y M2 I O x M1 Ta lại có : IM IO OM IM IO 1 OM 3 . Do đó : z 3 M  M max 2 z 1 M  M min 1 M 2 m2 8 . Bài tương tự Câu 40: Cho hai số phức z1 ,z2 thỏa mãn z1 1 i 2 và z2 iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức z1 z2 ?
2. 2 z.z 1 z 1 z 1 z1 1 và z2 1 2 Chú ý: a.a a2 2z i (2z i)(2z i) (2z i)(2z i) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 , z2 là đường tròn tâm O bán kính R 1. Gọi M (z ), M (z ) OM OM 1 1 1 2 2 1 2 Ta có: z1 z2 OM1 OM2 M2 M1 1 OM1M2 đều    Mà z1 z2 OM1 OM2 OM OM với M là điểm thỏa mãn OM1MM2 là hình thoi cạnh 1 OM 3 P 3 . Cách 2. Đặt z x yi, x, y ¡ , ta có 2z i 2x (2y 1)i và 2 iz 2 y xi . z1 1 Khi đó: 2z i 2 iz 4x2 (2y 1)2 (y 2)2 x2 x2 y2 1 z 1 z2 1 2 2 2 2 2 Sử dụng công thức z z z z 2 z z z z 3 z z 3 . Chọn D. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2i 4 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 2 i . Tính giá trị của tổng S M 2 m2 . A. S 82 . B. S 34 . C. S 68 . D. S 36 . Lời giải Chọn C. Cách 1: (Phương pháp hình học) Đặt số phức z x iy , x, y ¡ có điểm biểu diễn hình học là P x, y . 2 2 2 2 Ta có z 1 2i x 1 y 2 4 x 1 y 2 16 . Vậy tập hợp điểm P là đường tròn tâm I 1; 2 , bán kính R 4 . 2 2 Ta có z 2 i x 2 y 1 AP , với A 2; 1 . Vậy từ hình vẽ ta nhận thấy: M AP AP IA R 3 2 4 max 2 . m APmin AP1 IA R 3 2 4 2 2 Vậy ta suy ra S M 2 m2 3 2 4 3 2 4 68 . Cách 2: (Phương pháp đại số) Công cụ cơ bản: z1 z2 z1 z2 z1 z2 , với mọi số phức z1 , z2 . Áp dụng, ta có: z 2 i z 1 2i 3 3i z 1 2i 3 3i 4 3 2 M 4 3 2 z 2 i z 1 2i 3 3i z 1 2i 3 3i 3 2 4 m 3 2 4
3. 4 3 A. 3 . B. 3 . C. 2 . D. . 3 Lời giải Chọn B. Gọi điểm biểu diễn của z là M . Khi đó M nằm trên đường tròn tâm I 0; 1 ,R 1. Gọi tọa độ các điểm A 2; 1 ,B 2; 3 do đó: 1 IK IM 1 P z 2 i 2 z 2 3i MA 2MB. Gọi K ; 1 khi đó ta có: . 2 IM IA 2 Vậy IMK và IAM là hai tam giác đồng dạng. Khi đó: MA 2MK . Vậy P 2 MK MB . Theo bất đẳng thức tam giác: P 2 MK MB 2BK. Vậy Min P 2BK 3. Câu 46: Với hai số phức z1 và z2 thoả mãn z1 z2 8 6i và z1 z2 2, tìm giá trị lớn nhất của P z1 z2 . A. P 4 6 . B. P 2 26 . C. P 5 3 5 . D. P 34 3 2 . Lời giải Chọn B. y A I 3 B O 1 4 x
4. 2 2 2 2 2 Ta có z z 2 z z z z z z 16 z z 4 . Dấu bằng xảy ra khi 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z1 z2 MN  OI . Câu 48: Cho hai số phức z ,  thỏa mãn z 1 z 3 2i ;  z m i với m ¡ là tham số. Giá trị của m để ta luôn có  2 5 là: m 7 m 7 A. . B. . C. 3 m 7 . D. 3 m 7 . m 3 m 3 Lời giải Chọn B. Đặt z a ib, a,b ¡ có biểu diễn hình học là điểm M x; y 2 2 2 z 1 z 3 2i x 1 iy x 3 y 2 i x 1 y2 x 3 y 2 2x 1 6x 9 4y 4 2x y 3 0 Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng : 2x y 3 0 . Ta có:  2 5 z m i 2 5 x m y 1 i 2 5 2 2 x m y 1 2 5 MI 2 5 với I m; 1 . Mà ta có MI d I, 2m 4 Nên MI 2 5 d I, 2 5 2 5 2m 4 10 5 2m 4 10 m 3 . 2m 4 10 m 7 Câu 49: [PTNK TP HCM] Cho z là số phức thỏa mãn z 1 i 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 P z 2 i z 2 3i A. 18 .B. 14 2 10 .C. 38 8 10 . D. 16 2 10 . Lời giải Chọn C. Gọi z x yi x; y ¡ , M x; y là điểm biểu diễn số phức z . 2 2 Do z 1 i 2 x 1 y 1 4 suy ra M thuộc đường tròn tâm I 1; 1 , bán kính R 2 . 2 2 Đặt A 2;1 , B 2; 3 , E 0; 2 là trung điểm của AB . Khi đó P z 2 i z 2 3i 2 2 2 2 2 AB x 2 y 1 x 2 y 3 MA2 MB2 2ME2 2ME2 10 . 2
5. 2 2 2 2 Ta có z z1 z z2 16 x y 2x 3 0 . Khi đó tập hợp các điểm biểuM (x ,diễny) số phức z là đường tròn (C) có tâm I( 1,0) và bán kính R 2 . z 1 2 Ta có: z z 1 1 1 z 1 , z z 1 1 3 z 3 . min max Cách 3: Gọi số phức z x yi với x, y ¡ . 2 2 2 2 Ta có z z1 z z2 16 x y 2x 3 0 . Khi đó tập hợp các điểm biểuM (x ,diễny) số phức z là đường tròn (C) có tâm I( 1,0) và bán kính R 2 . Ta có OM OI R , OM OI R z 1 , z 3 min max min max CÂU PHÁT TRIỂN Câu 51: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i 5 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị M 2 m2 nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức bằng 2Mn 1 4 A 1B.2 . C. . D. 8 2 3 Lời giải: Chọn C. Gọi số phức z x yi với x, y ¡ , khi đó | z | x2 y2 . Ta có:z 2 4i 5 x 2 2 (y 4)2 5 x2 y2 15 4(x 2y) . Áp dụng bđt Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:| x 2y | 5(x2 y2 ) 5 | z | . Khi đó ta có bất phương trình | z |2 15 4 5 | z | 5 | z | 3 5 . M 2 m2 4 Do đó . 2Mn 3 Câu 52: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 i | z 3 2i | 5 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 2i . Giá trị biểu thức M 2 m2 bằng 15 A. 25 .B. 35 . C. .D. . 20 2 Lời giải: Chọn B. Gọi z x yi (với x, y ¡ ) có điểm M (x; y) biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ. Ta có z 1 i z 3 2i 5 x 1 2 y 1 2 x 3 2 y 2 2 5 2 2 2 2 x 1 y 2 3 x 3 y 2 4 5 (1). Số phức z 2i x y 2 i có điểm M x; y 2 biểu diễn z 2i trên mặt phẳng tọa độ. Đặt A(1;3), B(3;4) , từ (1) ta có AM BM 5 . Mặt khác AB 5 nên M thuộc đoạn AB . Khi đó M z 2i OB 5 , m z 2i max min OA 10 . Vậy M 2 m2 35 . Nhận xét: - GTLN, GTNN ở câu dạng này chỉ có thể đạt được tại 2 đầu A, B .
6. Câu 54: Biết số phức z x yi , x, y ¡ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z z 4 3i và biểu thức P z 1 i z 2 3i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P x 2y . 61 253 41 18 A. P . B. P . C. P . D. P . 10 50 5 5 Lời giải Chọn A . Theo giả thiết z z 4 3i x yi x 4 y 3 i 2 2 x2 y2 x 4 y 3 x2 y2 x2 8x 16 y2 6y 9 8x 6y 25 0 . 2 2 2 2 Ta có P x 1 y 1 x 2 y 3 Xét điểm E 1;1 ; F 2; 3 và M x; y . Khi đó, P ME MF . Bài toán trở thành tìm điểm M : 8x 6y 25 0 sao cho ME MF đạt giá trị nhỏ nhất. Vì 8xE 8yE 25 . 8xF 8yF 25 0 nên hai điểm E,F nằm cùng phía đối với đường thẳng . Gọi E là điểm đối xứng với E qua Đường thẳng EE đi qua điểm E 1; 1 và có VTPT nEE u 3; 4 nên có phương trình 3 x 1 4 y 1 0 3x 4y 7 0 3x 4y 7 Gọi H là giao điểm của EE và . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 8x 6y 25 71 x 25 71 19 suy ra H ; 19 25 50 y 50 117 xE 25 E đối xứng với E qua H nên . 44 y E 25 Ta có ME + MF = ME + MF E F . Dấu bằng xảy ra M là giao điểm của E F và đường thẳng Đường thẳng E F đi qua điểm F 2; 3 và có VTPT nEE 31;167 có phương trình 31 x 2 167 y 3 0 31x +167y + 439 = 0 67 x 31x 167y 439 50 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 8x 6y 25 119 y 50 61 Vậy P x 2y . 10
7. A. 4 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 3. Lời giải Chọn A. Ta có iz 2 i 1 i z i 2 1 1 z i 2 1 1. Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I 1; 2 , R 1. Gọi M , N là điểm biểu diễn z1 , z2 nên MN 2 là đường kính. Dựng hình bình hành OMNP ta có z1 z2 OP 2 3 . 2 2 2 2 2 Ta có z z 2 z z z z z z 16 z z 4 . Dấu bằng xảy ra khi 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z1 z2 MN  OI . Câu 58: Xét các số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn z 2 3i 2 2 . Tính P 2a b khi z 1 6i z 7 2i đạt giá trị lớn nhất. A. P 1. B. P 3 . C. P 3 . D. P 7 . Lời giải Chọn B Gọi z x yi với x, y ¡ . 2 2 Ta có: z 2 3i 2 2 x 2 y 3 8 . Suy ra, tập hợp điểm M x; y biểu diễn cho số phức z trên hệ tọa độ Oxy là đường tròn C tâm I 2; 3 và bán kính R 8 . Gọi A 1; 6 , B 7; 2 và J 3; 2 là trung điểm của AB . Đặt P z 1 6i z 7 2i suy ra P MA MB 2 MA2 MB2 . (BĐT Bunhiacopxki). x 3 t Phương trình đường trung trực của AB là: . y 2 t AB2 Ta có: MA2 MB2 2MJ 2 với J là trung điểm của AB . 2 Vì M chạy trên đường tròn , J cố định nên MJ IJ R.
8. Chọn C. Cách 1: Từ giả thiết có a2 b2 1 b2 1 a2 0 với a 1;1 và z.z 1 . 1 2 Ta có z3 z 2 z2 . z z z2 z z 2.z 2 2bi 2 a2 b2 2abi 2 2 2 a2 b2 b 2ab i 2 a2 b2 b 2ab 2 2 2 2 2 a2 b2 b2 1 2a 2 2a2 1 1 a2 2a 1 2 4a3 a2 4a 2 Xét f a 4a3 a2 4a 2 , với 1 a 1 . 1 a 1;1 f a 12a2 2a 4 ; f a 0 12a2 2a 4 0 2 2 a 1;1 3 Bảng biến thiên: 1 2 a 1 1 2 3 f a 0 0 13 1 f a 4 1 13 1 2 3 Suy ra max f a f , đạt được khi a , b . a 1;1 2 4 2 4 2 1 Vậy P 2a 4b 2 3 2 . 2 Cách 2: Ta có z cos x i sin x z3 cos 3x i sin 3x . Vì b 0 nên sin x 0 , cos x 1;1 . Khi đó z3 z 2 cos 3x i sin 3x cos x i sin x 2 cos 3x cos x 2 sin 3x sin x i 2 2 cos 3x cos x 2 sin 3x sin x 2 2 2 2sin 2x.sin x 2cos 2x.sin x 4 8sin 2xsin x 4sin2 xsin2 2x 4cos2 2xsin2 x 4 16sin2 xcos x 4sin2 x 4 16 1 t2 t 4 1 t2 16t3 4t2 16t 8 với t cos x 1;1 . Đặt f t 16t3 4t2 16t 8 , t 1;1 .
9. 2 2 2 1 z z 1 z z 1 z z 2 z . z .cos z ,z 1 cos z ,z . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 Vậy P z1 z2 1 z1 z2 2 z1 . z2 .cos z1 ,z2 3 P 3 . Câu 62: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:T z i z 2 i . A. maxT 8 2 . B. maxT 4 . C. maxT 4 2 . D. maxT 8 Lời giải Chọn B. Đặt z x yi x, y R , ta có z 1 2 x 1 yi 2 (x 1)2 y2 2 2 x 1 y2 2 x2 y2 2x 1 (*) Lại có T z i z 2 i x (y 1)i x 2 (y 1)i x2 (y 1)2 (x 2)2 (y 1)2 x2 y2 2y 1 x2 y2 4x 2y 5 Kết hợp với (*), ta được T 2x 2y 2 6 2x 2y 2(x y) 2 6 2(x y) Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có T 2(x y) 2 6 2(x y) 2(2(x y) 2 6 2(x y)) 4 . Câu 63: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 5 z i z 1 3i 3 z 1 i . Tìm giá trị lớn nhất M của biểu thức: z 2 3i ? 10 A. M . B. M 1 13 . C. M 4 5 . D. M 9 3 Lời giải Chọn C. 5 x2 (y 1)2 (x 1)2 (y 3)2 3 (x 1)2 (y 1)2 5 x2 (y 1)2 10. (x 1)2 (y 3)2 (x 1)2 (y 1)2 2 2 2 2 2 2 25 x (y 1) 10 (x 1) (y 3) (x 1) (y 1) 0 x2 (y 1)2 20 z i 2 5 P z 2 3i z i (4i 2) z i 4i 2 2 5 2 5 4 5 Câu 64: Cho hai số phức z, thỏa mãn z 1 z 3 2i ;  z m i với m ¡ là tham số. Giá trị của m để ta luôn có  2 5 là: m 7 m 7 A. . B. . C. 3 m 7 . D. 3 m 7 . m 3 m 3 Lời giải Chọn B. Đặt z a ib, a,b ¡ có biểu diễn hình học là điểm M x; y 2 2 2 z 1 z 3 2i x 1 iy x 3 y 2 i x 1 y2 x 3 y 2
10. 2 2 2 2 25 8b 2 100 b 2 225 15 z a b b 6 36 6 3 Số phức z b 2 a P 3 min 2 Câu 67: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i z 2i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. A. z 1 i . B. z 2 2i . C. z 2 2i . D. 3 2i . Lời giải Chọn C. Gọi số phức z có dạng z a bi . z thỏa mãn z 2 4i z 2i a 2 b 4 i a b 2 i 2 2 2 a 2 b 4 a2 b 2 a2 4a 4 b2 8b 16 a2 b2 4b 4 4a 4b 16 a b 4 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki. 2 2 16 a b 12 12 a2 b2 z a2 b2 8 z 2 2 a b Dấu xảy ra 1 1 a b 2 z 2 2i a b 4 Câu 68: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i z 2i . Số phức z có mô đun bé nhất bằng A. 3 2 B. 2 . C. 2 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C Đặt z x yi x, y ¡ . Khi đó z 2 4i z 2i x yi 2 4i x yi 2i 2 2 2 x 2 y 4 x2 y 2 4x 4y 16 0 x y 4 0 . Số phức có mô đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ O đến đường thẳng : x y 4 0 .
11. 2 2 2 2 2 P z1 z2 OM ON P 1 1 OM ON 40. Vậy max P 2 10 M.     P z1 z2 OM ON OM ON 6 . Vậy min P 6 m . Suy ra M m.i 40 36 76. 5 Câu 71: Cho số phức z thỏa mãn i.z 3 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P 2z 1 4i z 1 5i 2 là: 5 A. 2 5 .B.3.C. 3 5 .D 2 Lời giải Chọn C. Ta gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức.z 5 2 5 5 2 . Suy ra i.z 3 x y 3 M (x; y) C I(0;3); R 2 2 2 Khi đó: 1   P 2z 1 4i z 1 5i 2 z 2i z 1 5i 2 MA MB , 2 1 với A ;2 ; B 1;5 2  1    Ta có: IA ; 1 ; IB 1;2 suy ra IB 2.IA . 2 2 5 2 3 5 2 5 2 2 Theo định lý Stewart ta có: 5MA MB MI . 5 2MA MB 15 2 2 2 (Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ     1   1   2  1  MI MA AB MA AB MA MB MA MA MB 3 3 3 3 Suy ra: 4 1 4   4 1 4 MI 2 MA2 MB2 MA.MB.cos MA, MB MA2 MB2 MA.MB.cos A· MB 9 9 9 9 9 9 2 2 2 4 2 1 2 4 MA MB AB 2 2 1 2 2 2 MA MB MA.MB MA MB AB 9 9 9 2.MA.MB 3 3 9 2 2MA2 MB2 3MI 2 AB2 15 ) 3   2 Vậy P 2 MA MB 2. 2.MA MB 2 12 2MA2 MB2 45 3 5. 1 3i 1 3i Câu 72: Cho hai số phức z ,z . Gọi z là số phức thỏa mãn 3z 3i 3 . Đặt 1 2 2 2 2 2 M,n lần lượt là giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T z z z1 z z2 . Tính modun của số phức w M ni
12. 2 2 2 2 Áp dụng tính chất: z z1 z z1 2 z 2 z1 3 2 2 2 Ta có: z 1 2i z 1 2i 2 z 2i 1 z 2i 1 2 z 2i 1 z 2i 4 2 1 4 z 2i 4 z 2i 3 0 P z 2i 2 Câu 75: [2D4-4] [THPT Chuyên LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Cho hai số phức z1 ,z2 thỏa mãn điều kiện 2 z1 i z1 z1 2i và z2 i 10 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1 z2 ? A. 10 1 . B. 3 5 1 . C. 101 1 . D. 101 1 . Lời giải Chọn B. +) Gọi z1 a bi; a,b ¡ . 2 2 2 a Nên 2 z i z z 2i 2. a2 b 1 2b 2 b . 1 1 1 4 x2 Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z là Parabol y . 1 4 +) Gọi z2 a bi, a,b ¡ . 2 2 Khi đó z2 i 10 1 a 10 b 1 1 2 2 Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 là đường tròn C x 10 y 1 1 tâm I 10;1 bamns kính r 1 . y M I N 1 x z1 z2 nhỏ nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất. Ta có: MN IN IM MN IM IN IM 1. Nên MN nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất. 2 2 2 2 2 x x 5 2 Ta có: IM 2 x 10 1 4 x 4 45 . 4 4 2 IM 45 3 5 .
13. Suy ra điểm M biểu diễn số phức 2iz1 nằm trên đường tròn T1 có tâm I1 6; 10 và có bán kính là R1 4 . Mặt khác, iz2 1 2i 4 3z2 6 3i 12 nên điểm biểu diễn số phức 3z2 là điểm N nằm trên đường tròn T2 có tâm I2 6; 3 và có bán kính là R2 12 . Ta thấy 2iz1 3z2 2iz1 3z2 MN . T lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất, khi đó bốn điểm M , I1 , I2 , N theo thứ tự thẳng hàng. Vậy giá trị lớn nhất của MN I1I2 R1 R2 313 16 . z 3 2i 1 Câu 78: Cho hai số phức z,w thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức w 1 2i w 2 i P z w . 3 2 2 5 2 2 3 2 2 A. P .B. P 2 1.C. P . D. P . min 2 min min 2 min 2 Lời giải Chọn C. Cách 1 : Giả sử z a bi a,b ¡ , w x yi x, y ¡ . 2 2 z 3 2i 1 a 3 b 2 1 (1) 2 2 2 2 w 1 2i w 2 i x 1 y 2 x 2 y 1 . Suy ra x y 0 . 2 2 2 2 P z w a x b y a x b x . Từ (1) ta có I 3; 2 , bán kính r 1 . Gọi H là hình chiếu của I trên d : y x . x 3 t Đường thẳng HI có PTTS . y 2 t M HI M 3 t; 2 t 1 t 2 2 M C 2t 1 1 t 2 1 1 5 2 t 2 M 3 ; 2 , MH 2 2 2
14. Ta có c 5 2 f c 0 f c 25 5 2 4 4c 10 2 2c2 10c 25 5 f c 5 2c 2c 5 c 2 2 2 2c 1 0c 25 2c 10c 25 Bảng biến thiên: 25 Dựa vào bảng biến thiên ta có M 5 2 13,3 . 4 a b 2 Dấu bằng xảy ra khi 5 . c d 2 1 1 Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn z3 2 và M max z . Khẳng định nào sau đây đúng? z3 z 7 A. M 1; 2 .B. M 2; . 2 5 2 C. M 1; . D. M M 5 . 2 Lời giải Chọn C. 3 3 1 3 1 1 3 1 1 1 Ta có z z 3 z z z 3 z z z3 z z3 z z 3 3 3 1 1 1 1 1 z z 3 z z 3 z 2 . z3 z z z z
15. 1 1 Từ giả thiết 3z 3i 3 ta có: x2 (y )2 . 3 3 y 1 1 Nên M thuộc đường tròn tâm I 0; ,R . M 3 3 3 Ta có T MO MA MB . A 2 B Để T thì M trùng O, A,B nên min I 2 2 1 3 T 2OA 2 2 . min 2 2 1 O 1 1 x Để T thì OM và (MA MB) nên OM 2R và M nằm - max max max 2 2 » 2 chính giữa cung nhỏ AB và M 0; . Do vậy 3 2 2 2 1 3 2 4 T OM 2MA 2 . max 3 2 2 3 3 2 2 2 4 2 2 21 Vậy w M m 2 . 3 3 Câu 83: Cho hai số phức z và w thỏa mãn các điều kiện sau: iz 2i 2 z 1 . max w 2 2i , w  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của z w . 9 13 5 1 A. .B. .C. .D. . 2 5 2 5 2 2 5 Lời giải Chọn B. Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của z, w với M x; y . Ta có iz 2i 2 z 1 z 2 2i z 1 2 2 2 x 2 y 2 x 1 y2 2x 4y 7 0 . Do đó, M thuộc nửa mặt phẳng bờ : 2x 4y 7 0 không chứa O , kể cả bờ. Ta có max w 2 2i , w  2 suy ra w 2 2i 2 NI 2 , I 2; 2 . w 2 NO 2 Do đó, N thuộc phần chung của hai hình tròn I; 2 và O; 2 . Dễ thấy hai hình tròn này tiếp xúc ngoài tại điểm E 1; 1 . Do đó, N 1; 1 .
16. Chọn A Giả thiết 2 2 z 3 2i 2 (T) : (a 3) (b 2) 4 B 5 Gọi A( 1; 2),B(2; 5), M(a;b) lần lượt là các điểm biểu diễn của M các số phức z1 1 2i,z2 2 5i,z3 a bi I Bài toán trở thành: Tìm M (T) sao cho biểu thức A J S MA 2MB nhỏ nhất O Ta có MA (a 1)2 (b 2)2 a2 b2 2a 4b 5 -1 2 2 a2 b2 4a 4b 8 2 (a 2)2 (b 2)2 2MC với C(2; 2) Ta có MA 2MB 2(MB MC) 2BC dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi B, M, C theo thứ tự đó thẳng hàng. Phương trình đường thẳng BC : x 2 M là giao của của BC và (T) M(2; 2 3) a b 4 3 . Câu 86: Cho các số phức z1 ,z2 ,z3 thỏa mãn 2 z1 2 z2 z1 z2 6 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z z z1 z z2 . 9 A. P 6 2 2 B. P 3 2 3 . C. P 6 2 3 . D. P 2 3 . 2 Lời giải Chọn C. A ' A 600 M ' 6 2 6 M 600 O 6 B Chọn A,B, M lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 ,z2 ,z , Dựa vào điều kiện 2 z1 2 z2 z1 z2 6 2 OA OB 6 , AB 6 2 . Suy ra ta có tam giác OAB vuông cân tại O . Phép quay tâm B góc quay 600 ta có: Q : A A B, 600 M M Do tam giác BMM đều AM A M , BM MM
17. 2 Mặt khác 4x 8y 8 2 4x 8y 72 5.80 4x 8y 8 2 4x 8y 72 20 Suy ra P 20 .