Bài tập Hình học Lớp 8 - Đường trung bình của tam giác (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 8 - Đường trung bình của tam giác (Có lời giải)

1. 3. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. III. BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD AB . Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CE AC. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AD, K là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AE. a) Chứng minh rằng HK song song với DE. b) Tính HK, biết chu vi tam giác ABC bằng 10. Bài 2: Cho ABC có AB AC, AH là đường cao. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. a) Chứng minh MNKH là hình thang cân. b) Trên tia AH và AK lần lượt lấy điểm E và D sao cho H là trung điểm của AE và K là trung điểm của AD. Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân. Bài 3: Cho ABC có trung tuyến AM, I là một điểm thuộc đoạn thẳng AM, BI cắt AC ở D. 1 a) Nếu AD DC. Khi đó hãy chứng minh I là trung điểm của AM. 2 1 1 b) Nếu I là trung điểm của AM. Khi đó hãy chứng minh AD DC, ID BD. 2 4 1 c) Nếu AD DC. Khi đó trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AB 3AE. Chứng minh BD, 2 CE, AM đồng quy. Bài 4: Dùng tính chất đường trung bình của tam giác chứng minh trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Bài 5: Cho tứ giác ABCD có AB = CD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC, DB. Đường thẳng EF lần lượt cắt AB, CD tại H,K. Chứng minh rằng: K· HB H· KC
2. b) HK là đường trung bình của AED HK //ED hay BC//ED nên tứ giác BCDE là hình thang. NK là đường trung bình của ACD NK //CD mà NK / / AB nên AB/ / CD ·ABH B· CD (so le trong) (3) Dễ thấy ABE cân tại B vì BH vừa là đường cao vừa là trung tuyến BH là phân giác của ·ABE ·ABH H· BE (4) Từ (3), (4) H· BE B· CD hay C· BE B· CD Hình thang BCDE có C· BE B· CD tứ giác BCDE là hình thang cân. 1 Bài 3: a) Khi AD DC. 2 Gọi N là trung điểm của DC, khi đó MN là đường trung bình A của DBCD Þ MN / / BD Þ MN / / ID D DAMN có MN / / ID và AD = DN Þ AI = IM I N b) Khi AI = IM . Kẻ MN / / BD . Xét DAMN ta có ID/ / MN C và AI = IM nên AD = DN . B M 1 Xét DBCD có MN / / BD;MB = MC nên ND = NC . Vậy AD DC, và dễ dàng chỉ ra 2 1 ID BD. 4 1 A c) Khi AD DC. AB 3AE. 2 E D Ta có I là giao điểm của BD và AM F I N Gọi F là trung điểm của BE. Ta có MF là đường trung bình của DBEC Þ FM / / CE B M C 1 AD DC thì IA = IM (theo câu a) nên EI là đường trung bình của DAFM Þ EI / / FM 2
3. Bài 7: Kẻ HK // BE ta chứng minh được AE = EK = KC Kết quả: AE = 5cm, EC = 10cm Bài 8: Tam giác AHC có AK KH và HM MC MK là đường trung bình của ΔAHC . A MK PAC . Ta lại có AC  AB nên MK  AB Tam giác ABM có: AH  BM và MK  AB K K là trực tâm, suy ra BK  AM . B C H M Bài 9: Gọi J là trung điểm của KC, ta có IJ là đường trung bình trong tam giác KHC. A Do đó IJ / / HC Þ IJ ^ AH Trong tam giác AHJ có IJ ^ AH,HI ^ AJ . Từ đó, I là trực tâm tam giác AHJ. K AI HJ (1). I J Trong tam giác BKC, HJ là đường trung bình, suy ra B C HJ / / BK (2). H Từ (1) và (2) suy ra AI ^ BK