Đề minh họa kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2021-2022 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa (Có lời giải)

Nội dung text: Đề minh họa kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2021-2022 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa (Có lời giải)

1. Câu 20. Một người thợ thủ công làm mô hình đèn lồng bát diện đều, mỗi cạnh của bát diện đó được làm từ các que tre có độ dài 8 cm . Hỏi người đó cần bao nhiêu mét que tre để làm 100 cái đèn (giả sử mối nối giữa các que tre có độ dài không đáng kể và các que tre được chuẩn bị sẵn)? A. 96 m . B. 960 m . C. 192 m . D. 128 m . Câu 21. Gọi V là thể tích của khối hộp ABCD.A B C D và V là thể tích của khối đa diện A .ABC D . V Tính tỉ số . V V 2 V 2 V 1 V 1 A. . B. . C. . D. . V 5 V 7 V 3 V 4 Câu 22. Cho tứ diện SABC có thể tích V . Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của SA , SB và SC . Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng ABC bằng V V V V A. . B. . C. . D. . 2 3 4 8 Câu 23. Cho mặt cầu S và mặt phẳng , biết khoảng cách từ tâm của mặt cầu S đến mặt phẳng bằng a . Mặt phẳng cắt mặt cầu S theo giao tuyến là đường tròn có chu vi 2 3 a . Diện tích mặt cầu S bằng bao nhiêu? A. 12 a2 . B. 16 a2 . C. 4 a2 . D. 8 a2 . 1 dx e 1 Câu 24. Cho a bln , với a,b là các số nguyên. Tính S a3 b3 . x 0 e 1 2 A. S 0 . B. S 2 . C. S 1. D. S 2 . Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số f x ln x trên khoảng 0; là ln 2 x 1 A. x ln x x C . B. C . C. C . D. x ln x x C . 2 x Câu 26. Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng 0;2018 của phương trình 3 1 cos2x sin 2x 4cos x 8 4 3 1 sin x . Tính tổng tất cả các phần tử của S . 310408 312341 A. 103255 . B. . C. . D. 102827 . 3 3 Câu 27. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AB 3, AD 4, B· AD 120o. Cạnh bên SA 2 3 vuông góc với đáy. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, AD và BC. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (MNP). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây 3 1 1 2 sin 0; A. sin ;1 . B. . C. sin ; . D. 2 2 2 2 2 3 sin ; . 2 2 Câu 28. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB 4 km . Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng BC 7 km . Người canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 6 km / h rồi đi xe đạp từ M đến C với vận tốc 10 km / h (hình vẽ bên). Xác định khoảng cách từ M đến C để người đó đi từ A đến C là nhanh nhất.
2. Câu 36. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , cạnh BC 2a , · · ABC 60 và tứ giác BCC B là hình thoi có B BC nhọn. Biết BCC B vuông góc với 45 ABC.A B C ABC và ABB A tạo với ABC góc . Thể tích của khối lăng trụ bằng a3 3a3 6a3 a3 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 3 7 Câu 37. Cho hình nón tròn xoay có chiều cao h 20( cm) , bán kính đáy r 25( cm) . Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là1 2( cm) . Tính diện tích của thiết diện đó A. S 500 cm2 . B. S 400 cm2 . C. S 300 cm2 . D. S 406 cm2 . Câu 38. Lon nước ngọt có dạng hình trụ và cốc uống nước có dạng hình nón cụt. Lon nước có chiều cao 15 cm , đường kính đáy 6 cm , cốc có chiều cao 15 cm , đường kính đáy và đường kính miệng cốc lần lượt là 4 cm và 8 cm (như hình vẽ minh họa dưới đây). Khi rót nước ngọt từ lon ra cốc thì chiều cao h của phần nước ngọt còn lại trong lon và chiều cao của phần nước ngọt có trong cốc là như nhau. Hỏi khi đó chiều cao h trong lon nước gần nhất số nào sau đây?. Bỏ qua bề dày của lon nước, cốc nước và giả sử lon đựng đầy nước ngọt, cốc không chứa nước trước khi rót A. 9,18 cm . B. 14,2 cm . C. 8,58 cm . D. 7,5 cm . 1 4 f 3x 1 dx 2 2 f x dx log x Câu 39. Nếu 0 và f log2 x 2 dx ln 2 thì 0 bằng 2 1 x A. 4 . B. 7 . C. 8 . D. 4 . 5 a ln 3 bln 2 c Câu 40. Giả sử x2 ln x 1 dx với a,b,c N * . Giá trị của biểu thức b c a bằng 3 3 9 A. 2 . B. 24 . C. 4 . D. 4 . Câu 41. Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Gọi p là xác suất để số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau. Khi đó p thuộc khoảng nào sau đây ? A. 0;0,2 . B. 0,2;0,4 . C. 0,4;0,6 . D. 0,6;0,8 . · Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC 60, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, SA, SD và G là trọng tâm tam giác SBC. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng (HMN) bằng
3. 1 1 sao cho mặt phẳng SMC vuông góc với mặt phẳng SNC . Tính tổng T AN 2 AM 2 khi thể tích khối chóp S.AMCN đạt giá trị lớn nhất. 5 2 3 13 A. T 2 . B. T . C. T . D. T . 4 4 9 Câu 50. Cho hình hộp ABCD.A B C D có cạnh AB a và diện tích tứ giác A B CD là 2a2 . Mặt phẳng A B CD tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 , khoảng cách giữa hai đường thẳng AA 3a 21 và CD bằng . Tính thể tích V của khối hộp ABCD.A B C D , biết hình chiếu của 7 đỉnh A lên mặt phẳng ABCD thuộc miền giữa hai đường thẳng AB và CD , đồng thời khoảng cách giữa AB và CD nhỏ hơn 4a . 10a3 3 11a3 3 A. V 4a3 3 . B. V 3a3 3 . C. V . D. V . 3 4 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Hàm số y sin x là hàm số chẵn. B. Hàm số y sin x là hàm tuần hoàn với chu kì T . C. Hàm số y sin x là hàm tuần hoàn với chu kì T 2 . D. Đồ thị hàm số y sin x nhận trục Ox là trục đối xứng. Lời giải Chọn C Câu 2. Có bao nhiêu cách lấy ra một quả cầu từ một hộp chứa 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6 và 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5. A. 11. B. 6 . C. 30 . D. 5 . Lời giải Chọn A Có tất cả là 11 quả cầu trong hộp. Số cách lấy ra một quả cầu từ một hộp đó là 11 cách. n Câu 3. Cho dãy số un 2 ,n N *. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Dãy un bị chặn. B. Dãy un không bị chặn. C. Dãy un giảm. D. Dãy un tăng. Lời giải Chọn B Từ giả thiết ta có:
4. f x 2;3 f 2 2 f 3 5 Câu 9. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn   và , . Tính 3 f x dx . 2 A. 3 .B. 10.C. 3 .D. 7 . Lời giải Chọn A 3 3 Ta có: f x dx f x f 3 f 2 5 2 3. 2 2 Câu 10. Một nguyên hàm của hàm số y ex cos x là A. ex sin x 1. B. ex sin x 1. C. ex sin x . D. ex sin x . Lời giải Chọn C ex cos x dx ex sin x C 21 2 Câu 11. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton biểu thức x 2 , x 0 . x 7 7 8 8 8 8 7 7 A. 2 C21 . B. 2 C21 . C. 2 C21 . D. 2 C21 . Lời giải Chọn D 21 2 Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton biểu thức x 2 , x 0 . x k k 21 k 2 k 21 3k k Tk 1 C21x . 2 C21x . 2 . x Tk 1 không chứa x 21 3k 0 k 7 . 21 2 Vậy số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton biểu thức x 2 , x 0 là x 7 7 7 7 C21 2 2 C21 . 2x2 6 Câu 12. Biết lim a b với b là số nguyên tố. Tính giá trị của P a b . x 3 x 3 A. 7 . B. 10. C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn A 2x2 6 2 x 3 x 3 lim lim lim 2 x 3 4 3 . x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 a 4 a b 7 b 3 Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Hỏi trong các mặt bên của hình chóp S.ABCD có mấy mặt bên là tam giác vuông?
5. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị. Câu 16. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x bằng A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn B lim f x 0 và lim f x 1 nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang y 0; y 1 x x lim f x đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x 1 x 1 2y 15 Câu 17. Cho x , y là hai số thực dương, x 1 và thỏa mãn log y , log x . Tính giá trị x 5 3 5 y của P y2 x2 . A. P 17 . B. P 50. C. P 51. D. P 40 . Lời giải Chọn B Với x, y là hai số thực dương, x 1 ta có: 2y 2y y log y 2log y log y 1 x 5 x 5 x 5 15 15 5 log x 3log x log x 2 3 5 5 5 y y y 1 Hay: log x y log x y log x 5 y 5. log5 x Thay y 5 vào 2 ta có log5 x 1 x 5 . Vậy P 50 2 Câu 18. Gọi T là tổng các nghiệm của phương trình log1 x 5log3 x 6 0 .Tính T . 3 1 A. T 5 . B. T 3. C. T 36 . D. T . 243 Lời giải Chọn C Đk: x 0
6. Câu 21. Gọi V là thể tích của khối hộp ABCD.A B C D và V là thể tích của khối đa diện A .ABC D . V Tính tỉ số . V V 2 V 2 V 1 V 1 A. . B. . C. . D. . V 5 V 7 V 3 V 4 Lời giải Chọn C. V 2 2 2 V V Ta có V , mà V V nên V V . AA D .BB C 2 A ABC D 3 AA D BB C A ABC D 3 AA D BB C 3 3 3 V 1 Vậy . V 3 Câu 22. Cho tứ diện SABC có thể tích V . Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của SA , SB và SC . Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng ABC bằng V V V V A. . B. . C. . D. . 2 3 4 8 Lời giải Chọn D S M P N A C K B Gọi K là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng ABC .
7. e e dt 1 1 e I dt ln t ln t 1 1 1 t t 1 1 t t 1 2 e 1 1 ln e 1 ln 2 1 ln 1 ln , do đó a 1,b 1. e 1 2 Vậy S a3 b3 0 . Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số f x ln x trên khoảng 0; là ln 2 x 1 A. x ln x x C .B. C .C. C . D. x ln x x C . 2 x Lời giải Chọn D Xét I ln xdx 1 u ln x du dx Đặt x dv dx v x I x ln x dx x ln x x C Câu 26. Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng 0;2018 của phương trình 3 1 cos2x sin 2x 4cos x 8 4 3 1 sin x . Tính tổng tất cả các phần tử của S . 310408 312341 A. 103255 .B. . C. .D. 102827 . 3 3 Lời giải Chọn B Ta có 3 1 cos2x sin 2x 4cos x 8 4 3 1 sin x 2 3sin2 x sin 2x 4cos x 8 4 3 1 sin x 0 2 3sin2 x 4 3sin x 2sin xcos x 4cos x 4sin x 8 0 2 3 sin x sin x 2 2cos x sin x 2 4 sin x 2 0 sin x 2 2 3sin x 2cos x 4 0 3sin x cos x 2 3 1 sin x cos x 1 2 2 sin x 1 x 2k x 2k k ¢ 6 6 2 3 2018 1 Do x 0;2018 nên 0 2k 2018 k 3 321,005 3 6 2 Do k ¢ nên k 0,321 322. 321.322.2 310408 Do đó tổng các nghiệm là T 3 2 3 Câu 27. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AB 3, AD 4, B· AD 120o. Cạnh bên SA 2 3 vuông góc với đáy. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, AD và BC.
8. S M K A N D H I B C P Gọi I MN  AC MNP  SAC MI . Dựng NH  AI, H AI . Ta có NH  AI, NH  SA NH  SAC Trong mặt phẳng SAC , dựng HK  MI, K MI . NH Khi đó N· KH và sin (do tam giác HNK vuông tại H ) NK 1 Ta có AC2 AD2 CD2 2AD.CD.cos ·ADC 16 9 2.4.3. 13 2 13 AC 13 AI 2 1 1 3 3 3 3 +) S AN.NI.sin ·ANI .2. . ANI 2 2 2 2 4 2S 3 3 13 3 3 NH ANI : . AI 2 2 13 9 27 3 13 13 5 +) IH IN 2 NH 2 ; MI MA2 AI 2 3 4 13 26 4 2 HK MA MA.HI 3.3 13 3 3 Ta có HK 5 HI MI MI 26. 5 13 2 27 27 3 6 NK HK 2 NH 2 325 13 5 NH 3 3 5 5 3 Từ đó suy ra sin . ;1 NK 13 3 6 26 2 Câu 28. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB 4 km . Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng BC 7 km . Người canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 6 km / h rồi đi xe đạp từ M đến C với vận tốc 10 km / h (hình vẽ bên). Xác định khoảng cách từ M đến C để người đó đi từ A đến C là nhanh nhất.
9. Câu 30. Gọi S là tập hợp các giá trị m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y (x2 x m)2 trên đoạn  2;2 bằng 4. Tổng các phần tử của tập hợp S bằng 23 23 41 23 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 2 Lời giải ChọnA. Ta xét: f x x2 x m trên đoạn 2;2 Đặt: u(x)= x2 + x- m trên đoạn [- 2;2]. Ta có hàm số u(x) liên tục trên đoạn [- 2;2] 1 có u¢(x)= 0 Û 2x + 1= 0 Þ x = - Î [- 2;2]. 2 Khi đó ïì æ 1öïü ìï 1 üï max u = maxí u(- 2);u(2);uç- ÷ý = maxí 2- m;6- m;- - mý = 6- m [- 2;2] ï èç ø÷ï ï ï îï 2 þï îï 4 þï ïì æ 1öïü ìï 1 üï 1 min u = miní u(- 2);u(2);uç- ÷ý = miní 2- m;6- m;- - mý = - - m [- 2;2] ï èç ø÷ï ï ï îï 2 þï îï 4 þï 4 . éïì 1 êï - - m = 2 êï 4 êíï êï é 9 ïì 1 ïü êï 1 êm = - Theo bài ra Min f (x)= miní 6- m ; - - m ,0ý = 2 Û ï - - m > 0 Û ê 4 . [- 2;2] ï 4 ï êîï 4 ê îï þï ê êm = 8 êì ë êï 6- m < 0 íï êï ëêîï 6- m = 2 9  23 Do đó S ,8 . Vậy tổng các phần tử của tập S bằng . Chọn A 4  4 3 Câu 31. Gọi m0 là số thực sao cho phương trình x 12x m0 có ba nghiệm dương phân biệt x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn x1 x2 x3 1 4 3 . Biết rằng m0 có dạng a 3 b với a ; b là các số hữu tỷ. Tính 4a2 8b : A. 106. B. 115. C. 113. D. 101. Lời giải Chọn A
10. 2 x2 4x 5 Vậy y 0 có nghiệm khi và chỉ khi a f x có nghiệm. x 2 2 x 2 2 2 x2 4x 4 2 x2 4x 5 2 x2 4x 5 x2 4x 5 x2 4x 5 Ta có: f x x 2 2 x 2 2 2 0,x ¡ \ 2 x 2 2 x2 4x 5 x -∞ 2 +∞ f '(x) 2 +∞ f (x) 2 -∞ y 0 có nghiệm khi và chỉ khi a 2 hoặc a 2. Điều kiện đủ: a x 2 x 2 a x2 4x 5 2 a x 4x 5 y 2 3 . x 4x 5 x2 4x 5 Với a 2 thì y 0,x ¡ nên hàm số không có điểm cực đại.Vậy a 2 không thoả mãn điều kiện. Với a 2 thì y 0,x ¡ nên hàm số có điểm cực đại. Vậy a 2 thoả mãn điều kiện. Mà a là số nguyên thuộc đoạn [ 20;20] nên a 20; 19; 18; ; 3 . Vậy có 18 số nguyên a thoả mãn yêu cầu bài toán. x x Câu 33. Gọi a là giá trị để phương trình: 2 3 1 a 2 3 4 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 x x log 3 , x2 thoả mãn: 1 2 2 3 . Giá trị của a thuộc khoảng nào sau đây? A. ; 3 .B. 3; .C. 0; . D. 3; . Lời giải ChọnB. x x x 1 Ta có: 2 3 1 a 2 3 4 0 (1) 2 3 1 a 4 0 ( đặt x 2 3 t (2 3)x ; t 0 ) 1 t 1 a 4 0 t 2 4t 1 a 0 (2) t
11. ChọnB. Sau 1 tháng, anh Ba còn nợ lại số tiền là P1 400(1 r%) 10 Sau 2 tháng, anh Ba còn nợ lại số tiền là P2 (400(1 r%) 10)(1 r%) 10 400(1 r%)2 10(1 (1 r%)) . Sau n tháng, anh Ba còn nợ lại số tiền là n n 1 Pn 400(1 r%) 10(1 (1 r%) (1 r%) ) (1 r%)n 1 400(1 r%)n 10 r% Giả sử sau n tháng anh Ba trả hết nợ ta có Pn 0 Với r 0,8% , thay vào phương trình Pn 0 n 49 (tháng) Câu 36. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , cạnh BC 2a , · · ABC 60 và tứ giác BCC B là hình thoi có B BC nhọn. Biết BCC B vuông góc với 45 ABC.A B C ABC và ABB A tạo với ABC góc . Thể tích của khối lăng trụ bằng a3 3a3 6a3 a3 A. .B. .C. .D. . 7 7 7 3 7 Lời giải ChọnB. Ta có AB BC.cos60o a. 1 3 S BC.BA.sin60o a2 ABC 2 2 Từ B' kẻ B' H  BC B' H  (ABC) .
12. đây?. Bỏ qua bề dày của lon nước, cốc nước và giả sử lon đựng đầy nước ngọt, cốc không chứa nước trước khi rót A. 9,18 cm .B. 14,2 cm . C. 8,58 cm . D. 7,5 cm . Lời giải ChọnC. Thể tích lon nước ngọt lúc đầu là: V 32 15 135 . 2 Gọi V1 là thể tích nước ngọt còn lại trong lon sau khi rót ra cốc. Ta có V1 3 .h 9 h . Gọi V2 là thể tích nước ngọt đã rót ra. h 2 2 Ta có: V2 r r rr trong đó r 2,r là bán kính mặt trên của phằn nước ngọt trong 3 cốc. r 15 2h 30 Ta có: r (do r 2 ). r 15 h 15 Vì V V1 V2 nên ta có:
13. 3 5 3 x 1 5 x 1 1 ln(x 1) dx 3 3 3 3 x 1 126ln3 70ln 2 80 3 9 Vậy a 126,b 70,c 80 b c a 24. Câu 41. Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Gọi p là xác suất để số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau. Khi đó p thuộc khoảng nào sau đây ? A. 0;0,2 .B. 0,2;0,4 . C. 0,4;0,6 . D. 0,6;0,8 . Lời giải Chọn B Xét phép thử : T = ‘Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0". Ta có:  95 59049 . Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, ta có: 3 Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là C9 . Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp rời nhau sau : TH1. Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 3! hoán vị của các 5! vị trí mà a, a, a chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH1 này có cả thảy3  60 3! số tự nhiên. TH2. 1 trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác trong 3 chữ số đó: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà b, b chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH2 này có cả thảy 5! 3 90 số tự nhiên. 2!2! 9! Vậy:  (60 90)C3 150  150  7  4 3 12600 . A 9 3!6!  12600 1400 Kết luận: P A A 0,213382106 .  59049 6561 · Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC 60, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, SA, SD và G là trọng tâm tam giác SBC. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng (HMN) bằng a 15 a 15 a 15 a 15 A. .B. . C. . D. . 15 30 20 10 Lời giải
14. x m , 0 m 1 4 +) Phương trình x 1 f x 0 x 1 . x 3 4 a +) Phương trình x 1 f x a f x , 1 a 0 x 1 4 a a Vẽ đồ thị hàm số y 4 . Suy ra phương trình f x , 1 a 0 có hai x 1 x 1 4 nghiệm b Tương tự phương trình f (x) , 2 a 1 có hai nghiệm x 1 4 c Tương tự phương trình f x , 3 c 2 có hai nghiệm. x 1 4 4 Nhận thấy 9 nghiệm trên phân biệt nên phương trình f x 1 f x 3 0 có tất cả 9 nghiệm. Câu 44. Cho hàm số bậc bốn f x có bảng biên thiên như sau 4 2 Số điểm cực trị của hàm số g x x f x 1 là A. 7 . B. 5 . C. 9 . D. 11. Lời giải Chọn C Ta có : f x 4x4 8x2 3 f x 16x x2 1 3 Ta có g x 2x . f x 1 . 2 f x 1 x. f x 1 x3 0 (1) g x 0 f x 1 0 (2) (3) 2 f x 1 x. f x 1 0 Phương trình (1) có x 0 (nghiệm bội ba). Phương trình (2) có cùng số nghiệm với phương trình f x 0 nên (2) có 4 nghiệm đơn. Phương trình (3) có cùng số nghiệm với phương trình : 2 f x x 1 . f x 0 2 4x4 8x2 3 16x x 1 x2 1 0 24x4 16x3 32x2 16x 6 0 có 4 nghiệm đơn phân biệt.
15. log3 x 1 x 3 1 1 Phương trình log x x . 3 2 3 x log m 5 x log5 m TH1: Nếu m 1 thì x log5 m 0 (loại) nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. TH2: Nếu m 1 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1 1 log m 3 5 3 m 125 . Do m ¢ m 3;4;5; ;124 3 5 Vậy có tất cả 123 giá trị nguyên dương của m thoả mãn yêu cầu bài toán. Câu 47. Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn 2x y.4x y 1 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 y2 4x 2y bằng 33 9 21 41 A. . B. . C. . D. . 8 8 4 8 Lời giải Chọn D Ta có 2x y.4x y 1 3 2x 3 .4 x y.4 y 1 0 2y.22 y 3 2x 23 2x (1) 3 Th1. Xét 3 2x 0 x . 2 3 x 2 2 33 Ta có (1) đúng với mọi giá trị 2 P x y 4x 2y (2) 4 y 0 3 Th2. Xét 3 2x 0 0 x . 2 Xét hàm số f t t.2t với t 0 f t 2t t.2t.ln 2 0 với mọi t 0 3 (1) f 2y f 3 2x 2y 3 2x y x 2 2 2 2 2 3 2 21 P x y 4x 2y x x 4x 3 2x 2x x 2 4 2 1 41 41 P 2 x (3) 4 8 8 41 1 5 So sánh (2) và (3) ta thấy GTNN của P là khi x , y 8 4 4 Câu 48. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 255 số nguyên y thỏa mãn 2 log3 x y log2 x y ? A. 80 . B. 79 . C. 157 . D. 158 Lời giải Chọn D log 3 2 2 log2 x y 2 2 Ta có: log3 x y log2 x y x y 3 x y x y 1
16. Đặt AM x , AN y . Gọi O AC  DB ; E BD CM ; F BD CN . 2 H là hình chiếu vuông góc của O trên SC , khi đó: HO . 3 SC  OH SC  HE Ta có: SC  HBD . SC  BD SC  HF Do đó góc giữa SCM và SCN bằng góc giữa HE và HF . Suy ra HE  HF . 1 2 Mặt khác V SA.S x y . S.AMCN 3 AMCN 3 Tính OE , OF : Ta có: x 0 , y 0 và nếu x 2 , y 2 thì gọi K là trung điểm của AM , khi đó: OE KM x OE EB OB x 2 OE . EB MB 4 2x x 4 2x 4 x 4 x y 2 Tương tự: OF . Mà OE.OF OH 2 x 2 y 2 12 . 4 y Nếu x 2 hoặc y 2 thì ta cũng có OE.OF OH 2 x 2 y 2 12 . Tóm lại: x 2 y 2 12 . 1 2 2 2 12 Suy ra: VS.AMCN SA.SAMCN x y x 2 y 2 4 x 2 4 . 3 3 3 3 x 2 x 1 y 2 1 1 1 1 5 Do đó maxVS.AMCN 2 T . x 2 AM 2 AN 2 x2 y2 4 y 1 Câu 50. Cho hình hộp ABCD.A B C D có cạnh AB a và diện tích tứ giác A B CD là 2a2 . Mặt phẳng A B CD tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 , khoảng cách giữa hai đường thẳng AA 3a 21 và CD bằng . Tính thể tích V của khối hộp ABCD.A B C D , biết hình chiếu của 7 đỉnh A lên mặt phẳng ABCD thuộc miền giữa hai đường thẳng AB và CD , đồng thời khoảng cách giữa AB và CD nhỏ hơn 4a . 10a3 3 11a3 3 A. V 4a3 3 . B. V 3a3 3 . C. V . D. V . 3 4 Lời giải Chọn B