Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022 - Trường THCS Gia Trấn (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022 - Trường THCS Gia Trấn (Có hướng dẫn chấm)

1. TRƯỜNG THCS GIA TRẤN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm 2022 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút. (Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1 (4,0 điểm): 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 6x2 – 5x +1 b) x2 3x 2 x2 7x 12 24 x2 2x 2x2 1 2 2. Cho biểu thức: A 2 2 3 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Câu 2 (3,5 điểm): 1. Giải các phương trình: a) 4x – 12.2x + 32 = 0 b) x 2 x 1 3 x 2 4 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy – 2y – 16x + 2026 Câu 3 (4,0 điểm) 1. Cho đa thức bậc hai P(x)=ax2+bx+c.Tìm a; b; c biết P(0)=37; P(1)=14; P(2)=2011 2010x 2680 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . x2 1 3, Tìm số tự nhiên n để n-18 và n +41 là hai số chính phương? Câu 4 (6,0 điểm). Cho ABC cân tại A, hai đường cao AI và BD cắt nhau tại H. a) Chứng minh: Tam giác AIC đồng dạng với tam giác BDC b) Gọi E giao điểm của CH và AB. Chứng minh: BE.BA CH.CE BC2 1 1 2 c) Gọi T là giao điểm của DE và AH. Chứng minh: AT AI AH Câu 5 (2,0 điểm). 1. Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn: 5x2 + 5y2 + 8xy + 2x - 2y + 2 = 0 2. Chứng minh rằng: 8351634 + 8241142 chia hết cho 26 Hết
2. Câu Đáp án Điểm x(x2 4) (x 1)(x 2) x 1 0,25 . 2(x2 4)(2 x) x2 2x b. ( 0,5 điểm)Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. x 1 * Z x +1 2x  2x + 2 2x Mà 2x 2x  0,25 2x 2  2x 1  x x = 1 hoặc x = -1 * Ta thấy x = 1 hoặc x = -1 (TMĐKXĐ) x 1 Vậy A= Z x = 1 hoặc x = -1 0,25 2x 1) ý a 1,0 điểm; ý b 1,5 điểm a) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 0,25 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 0,25 (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 0,25 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 0,25 b) x 2 x 1 3 x 2 4 HS lập bảng để phân ra các trường hợp 0,25 * Với x < 0 phương trình đã cho trở thành: - 2x + 4 = 4 x = 0(loại) 0,25 * Với 0 x 1 phương trình đã cho trở thành: 0x = 0, phương trình có vô số nghiệm với 0 x 1 0,5 * Với 1 < x < 2 phương trình đã cho trở thành : 0,25 2 -4x + 8 = 4 x = 1(loại) (3,5 điểm) 0,25 * Với x 2 phương trình đã cho trở thành : 2x – 4 = 4 x = 4 (t/m) Vậy nghiệm của phương trình là các giá trị x thoả mãn x =4; 0,25 0 x 1 0,25 2 , ( 1điểm) A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2026 2 2 = y + 4xy - 2y + 13x - 16x + 2026 0,25 2 2 2 = y + 2y(2x - 1) + (2x -1) + 9x - 12 x + 4+2022 0,25 2 2 = (y + 2x - 1) + (3x - 2) + 2022 0,25 2 1 Chứng tỏ A 2022, dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi (x = ; y = ) 3 3 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 2022 khi x = ; y = 3 3 0,25 1.( 1.5 điểm) 3 P(x)=ax2 + bx + c (4,0 điểm) P(0)= 37 c = 37 0.25
3. Câu Đáp án Điểm BE.BA BI.BC 0,25 - Chứng minh được: CH.CE CI.CB 0,5 2 BE.BA CH.CE BC.BI BC.IC BC BI IC BC 0,5 Vậy BE.BA CH.CE BC2 0,25 c) (2,5 điểm) 1 1 2 Gọi T là giao điểm của DE và AH. Chứng minh: AT AI AH HT ET - Chứng minh được EH là phân giác trong của ETI 0,5 HI EI - Chứng minh được EA là phân giác trong, ngoài của ETI tại đỉnh AT ET E 0,25 AI EI HT ET AT 0,25 HI EI AI HT HI 0,25 AT AI HT HI 0 0,25 AT AI HT HI 1 1 2 0,25 AT AI HT AT AI HI 2 0,25 AT AI AH AH 2 0,25 AT AI 1 1 2 0,25 AT AI AH 1, ( 1 điểm) 5x2 + 5y2 + 8xy + 2x - 2y + 2 = 0 (4x2 + 8xy + 4y2) + (x2+ 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) = 0 0,25 4 (x + y)2 + (x + 1)2 + (y - 1)2 = 0 0,25 Vì 4 (x + y)2 0 ; (x + 1)2 0 ; (y - 1)2 0 với mọi giá trị x, y Nên 4 (x + y)2 + (x + 1)2 + (y - 1)2 0 với x, y. 0,25 5 4 (x + y)2 + (x + 1)2 + (y - 1)2 = 0 (2,0 điểm) x y 0 x 1 x 1 0 y 1 y 1 0 x 1 0,25 Vậy y 1