Giáo án dạy thêm Đại số Lớp 8 - Chủ đề 2: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Nội dung text: Giáo án dạy thêm Đại số Lớp 8 - Chủ đề 2: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

1. CHỦ ĐỀ 2: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Cho A và B là các biểu thức. Ta có một số hằng đẳng thức đáng nhớ sau: HẰNG ĐẲNG THỨC VIẾT DẠNG TỔNG HẰNG ĐẲNG THỨC VIẾT DẠNG TÍCH * Bình phương của tổng * Hiệu hai bình phương (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 A2 – B2 = (A + B)(A – B) * Bình phương của hiệu * Tổng hai lập phương (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) * Lập phương của tổng * Hiệu hai lập phương (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) * Lập phương của hiệu (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 *Chú ý: Các hằng đẳng thức mở rộng (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC (A – B + C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC (A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB + 2BC – 2AC (A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB - AC – BC) (A + B + C)³ = A³ + B³ + C³ + 3(A + B)(A + C)(B + C) A4 + B4 = (A + B)(A3 - A2B + AB2 - B3) A4 - B4 = (A - B)(A3 + A2B + AB2 + B3) A n + Bn = (A + B) (An-1 – An-2 B + An-3 B2 – An-4 B3 + +(-1)n-1 B n-1) An - Bn = (A + B) (An-1 + An-2 B + An-3 B2 + An-4 B3 + + B n-1)
2. a) x4 4x2 4;9a4 24a2b2 16b4 b) 4a2b2 c2d 2;a3 27; x16 y16 1 c) x3 125; 64 x3 d) 8x3 60x2 y 150xy2 125y3 8 Bài 8: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích 4 12 4 a) 9x2 30x 25; x4 16x2 b) x2 y2 9x4 y4 9 5 25 c) a2 y2 b2 x2 2axby d) 64x2 8a b 2 e) 100 3x y 2 g) 27x3 a3b3 Bài 9 : Viết biểu thức sau dưới dạng tích a) 27x3 27x2 3x 1 b) x3 3x2 3x 1 1 c) x3 27 d) 0,001 1000x3 DẠNG 2: Rút gọn biểu thức I/ Phương pháp. - Khai triển các hằng đẳng thức có trong biểu thức. - Rút gọn các đơn thức đồng dạng. II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Rút gọn biểu thức: a) A = (x + y)2 – (x – y)2 b) B = (x + y)2 – 2(x + y)(x – y) + (x – y)2 c) C = (x + y)3 - (x – y)3 – 2y3 Bài 2: Rút gọn biểu thức a) E = (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2 b) F = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x2 – 1) c) G = (a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2 d) H = (a + b + c)2 + (a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2 Bài 3: Rút gọn biểu thức. a) A = (x + y)2 - (x - y)2 b) B = (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3 c) C = 98.28 - (184 - 1)(184 + 1)
3. I/ Phương pháp. - Đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức, khi đó nếu : + Biểu thức A có dạng (a ± b)2 thì A ≥ 0 + Biểu thức A có dạng (a ± b)2 + c (c là hằng số dương) thì A > 0 + Biểu thức A có dạng - (a ± b)2 thì A ≤ 0 + Biểu thức A có dạng - (a ± b)2 - c (c là hằng số dương) thì A 0 với mọi x c) (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + 3 > 0 với mọi x Bài 2: Chứng minh các biểu thức sau nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến: a) A = x2 – x + 1 b) B = (x – 2)(x – 4) + 3 c) C = 2x2 – 4xy + 4y2 + 2x + 5 DẠNG 6: Chứng minh đẳng thức. I/ Phương pháp. - Dùng hằng đẳng thức biến đổi một vế của đẳng thức sao cho bằng vế còn lại II/ Bài tập vận dụng Bài 1: Chứng minh: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Bài 2: Chứng minh: a) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) b) a3 – b3 = (a - b)3 + 3ab(a – b) Bài 3: Chứng minh các đẳng thức sau: a) (a2 + b2)2 – 4a2b2 = (a + b)2(a – b)2 b) (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (bx + ay)2 c) a3 – b3 + ab(a – b) = (a – b)(a + b)2 d)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a) DẠNG 7: Tìm x trong phương trình f(x) = 0. I/ Phương pháp
4.  (x + 3 – 2)[(x + 3)2 + 2(x + 3) + 4] = 0  (x + 1)(x2 + 6x + 9 + 2x + 6 + 4) =0  (x + 1)(x2 + 8x + 19) = 0  (x + 1)[x2 + 2.4x + 16 + 3] = 0  (x + 1)[(x + 4)2 + 3] = 0  x + 1 = 0 Vì (x + 4)2 + 3 > 0 , với mọi giá trị của biến x.  x = -1 c) x(x + 5)(x – 5) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 3  x(x2 – 25) – (x3 + 8) – 3 = 0  x3 – 25x – x3 – 8 – 3 = 0 (Thu gọn đồng dạng)  - 25x = 11  x = - 11 25 Bài 2: Tìm x, y, z biết rằng: x2 + 2x + y2 – 6y + 4z2 – 4z + 11 = 0 Hướng dẫn x2 + 2x + y2 – 6y + 4z2 – 4z + 11 = 0  (x2 + 2x + 1) + (y2 – 6y + 9) + (4z2 – 4z + 1) = 0  (x + 1)2 + (y – 3)2 + (2z – 1)2 = 0 (Tổng các bình phương) x 1 0 x 1 y 3 0 y 3 2z 1 0 1 z 2 Bài 3: Giải các phương trình sau: a) x2 – 4x + 4 = 25 b) (5 – 2x)2 – 16 = 0 c) (x – 3)3 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 9(x + 1)2 = 15 Bài 4. Tìm x, biết: a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9 b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1 c) 3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36 d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1 e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19.
5. = (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1) (21008 + 1) = (24 – 1) (24 + 1) (21008 + 1) = (28 – 1) (21008 + 1) = 22016 – 1 Suy ra : N = 22016 – 1 1 .(3128 – 1) A đạt GTLN = m khi x = xo * Nếu biểu thức A ≥ m với ∀x ∈ thuộc điều kiện và có giá trị x = xo thỏa mãn điều kiện (Nếu có) để A = m => A đạt GTNN = m khi x = xo * Dùng hằng đẳng thức biến đổi A về dạng: 2 - Nếu A = (kx + c) + d ≥ d => Amin = d  kx + c = 0 2 - Nếu A = - (kx + c) + d ≤ d => Amax = d  kx + c = 0 II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Tìm GTNN hoặc GTLN của các biểu thức sau: a/ A = x2 – 4x + 7 b/ B = x2 + 8x c/ C = - 2x2 + 8x – 15
6. Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức A = (x2 + 1)2 + 4 nếu có. Bài 4: Cho x và y là các số hữu tỉ và x ≠ y .Tìm GTNN của biểu thức B = 1 (x – y)2 + 2 nếu 2 có. Bài 5: Tìm GTNN của các biểu thức sau: a) A = x2 – 4x + 9 b) B = x2 – x + 1 c) C = 2x2 – 6x Hướng dẫn a) A = x2 – 4x + 9 Ta có : A = x2 – 4x + 4 + 5 = (x – 2)2 + 5 Ta thấy (x – 2)2 ≥ 0, nên (x – 2)2 + 5 ≥ 5 Hay GTNN của A bằng 5 , giá trị này đạt được khi (x – 2)2 = 0 x – 2 = 0 x = 2 b) B = x2 – x + 1 1 1 3 1 3 Ta có: B = x2 – 2. x + = (x - )2 + 2 4 4 2 4 Vậy GTNN của B bằng 3 , giá trị này đạt được khi x = 1 4 2 3 9 9 3 9 c) C = 2x2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2[(x2 – 2. x + ) ] = 2(x - )2 - 2 4 4 2 2 Vậy GTNN của C bằng - 9 , giá trị này đạt được khi x = 3 2 2 Bài 4: Tìm GTLN của các đa thức: 2 a) M = 4x – x + 3 b) N = x – x2 c) P = 2x – 2x2 – 5 Hướng dẫn 2 2 2 2 a) M = 4x – x + 3 = - x + 4x – 4 + 7 = 7 – (x – 4x + 4) = 7 – (x – 2) Ta thấy: (x – 2)2 ≥ 0 ; nên - (x – 2)2 ≤ 0 . Do đó: M = 7 – (x – 2)2 ≤ 7 Vậy GTLN của biểu thức M bằng 7, giá trị này đạt được khi x = 2 1 1 1 1 1 b) N = x – x2 = - x2 + 2. x - = (x ) 2 2 4 4 4 2
7. ĐS: a) 29 b) 8 c) –1 d) 8 e) 2 f) 29 Bài 5.Giải các phương trình sau: a) (x 1)3 (2 x)(4 2x x2) 3x(x 2) 17 b) (x 2)(x2 2x 4) x(x2 2) 15 c) (x 3)3 (x 3)(x2 3x 9) 9(x 1)2 15 d) x(x 5)(x 5) (x 2)(x2 2x 4) 3 10 7 2 11 ĐS: a) x b) x c) x d) x 9 2 15 25 Bài 6.So sánh hai số bằng cách vận dụng hằng đẳng thức: a) A 1999.2001 và B 20002 b) A 216 và B (2 1)(22 1)(24 1)(28 1) c) A 2011.2013 và B 20122 d) A 4(32 1)(34 1) (364 1) và B 3128 1 Bài 7.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A 5x – x2 b) B x – x2 c) C 4x – x2 3 d) D –x2 6x 11 e) E 5 8x x2 f) F 4x x2 1 Bài 8.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x2 –6x 11 b) B x2 –20x 101 c) C x2 6x 11 d) D (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) e) E x2 2x y2 4y 8 f) x2 4x y2 8y 6 g) G x2 – 4xy 5y2 10x –22y 28 HD: g) G (x 2y 5)2 (y 1)2 2 2 Bài 9.Cho a b S và ab P . Hãy biểu diễn theo S và P, các biểu thức sau đây: a) A a2 b2 b) B a3 b3 c) C a4 b4