Giáo án dạy thêm Hình học Lớp 8 - Chủ đề 10: Diện tích đa giác

Nội dung text: Giáo án dạy thêm Hình học Lớp 8 - Chủ đề 10: Diện tích đa giác

1. CHỦ ĐỀ 10. DIỆN TÍCH ĐA GIÁC A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Mỗi đa giác có một diện tích xác định. Diện tích đa giác là một số dương có các tính chất sau: + Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau. + Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó. + Hình vuông cạnh có độ dài bằng 1 thì có diện tích là 1. 2. Các công thức tính diện tích đa giác + Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó S = a.b . (a, b là kích thước hình chữ nhật) 2 + Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó S = a . (a là độ dài cạnh hình vuông) b a a a 1 Chú ý: Diện tích hình vuông có đường chéo dài bằng d là d2 . 2 1 + Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông S a.b . 2 (a , b là độ dài hai cạnh góc vuông) 1 + Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó S a.h . 2 (a, h là độ dài cạnh và đường cao tương ứng) b a h h a c 1 + Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao: S = a b .h 2 ( a, b là độ dài hai đáy, h là độ dài đường cao). + Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: S = a.h (a, h là độ dài một cạnh và đường cao tương ứng).
2. Tìm cách giải. Dễ dàng tính được diện tích hình chữ nhật ABCD. Mặt khác, đề bài xuất hiện nhiều yếu tố trung điểm nên chúng ta có thể vận dụng tính chất : hai tam giác có chung đường cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai cạnh đáy ứng với đường cao đó. Từ đó rút ra nhận xét: đường trung tuyến của tam giác chia tam giác ấy thành hai phần có diện tích bằng nhau. Từ nhận xét quan trọng đó, chúng ta lần lượt tính được diện tích các tam giác BCD, BCE, DBE, BEH, ECH, HKC, CKI, Trình bày lời giải A B a) ABCD là hình chữ nhật nên 1 1 1 2 S .S = .AB.AD= .12.6,8 40,8cm . H BCD 2 ABCD 2 2 E là trung điểm của CD, suy ra: I 1 C S S .S 20,4cm2. D E K BDE BCE 2 BCD 1 1 b) H là trung điểm BC S .S .20,4 10,2cm2. CHE 2 BCE 2 1 K là trung điểm CE S .S 5,1cm2. HKC 2 CHE 1 I là trung điểm CH S .S 2,55cm2. CKI 2 HKC 2 Vậy SEHIK SCHE SCIK 10,2 2,55 7,65cm . Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân ở A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm. Gọi O là trung điểm của đường cao AH. Các tia BO và CO cắt cạnh AC và AB lần lượt ở D và E. Tính SADOE ? Tìm cách giải. Để tính diện tích đối với bài tập này học sinh phải . nhận thấy S ABC đã biết nên ta cần tìm mối quan hệ về SADOE với SABC. Lại có H và O là những điểm đặc biệt trên các đoạn AC, AH nên ta dễ dàng tìm được mối quan hệ đó bằng cách lấy thêm điểm N là trung điểm của DC. Trình bày lời giải Gọi N là trung điểm của CD. 1 => AD = DN = NC = AC. 3
3. 1 1 => S = S ; S = S BMQ 2 BCQ QBC 3 BCD. 1 => S = S BMQ 6 BCD 5 5 5 => S = S = S = MQDC 6 BCD 12 ABCD 12 1 Ví dụ 4. Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh BC lấy M: BM = BC. Trên cạnh CD lấy N sao cho CN 5 1 = CD. 3 a) Tính SAMN theo SABCD. b) BD cắt AM ở P, BD cắt AN ở Q. Tính SMNQP theo SABCD. Tìm cách giải. (a) hs dễ dàng nhận ra phải sử dung tính chất 1: Nếu một đa giác được chia thành các đa giác không có điểm chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của các đa giác đó ( tính cộng). Nên để tính diện tích của AMN ta có: SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN (b) Tính SMNQP theo SABCD cần phải tìm mối liên hệ SMNPQ với SAMN vì các đỉnh của tứ giác nằm trên cạnh của AMN. Muốn tìm mối liên hệ đó rõ ràng phải thông qua APQ. Ta nhận thấy APQ và AMN có hai đáy cùng thuộc một đường thẳng nên ta phải kẻ thêm đường vuông góc PK và MH. Từ đó suy ra lời giải của bài toán. Trình bày lời giải a) SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN 1 2 1 S = S ; S = S S = S . ABM 10 ABCD CMN 15 ABCD; ADN 3 ABCD 13 Do đó ta tính được : S = S AMN 60 ABCD 13 Vậy S = S MNPQ 60 ABCD
4. Hạ FH  BC ; EK  BC. => FH = FA ; EK = AE ( Tính chất tia pg của một góc) 15 Cmtt như trên ta tính được DB = ( Dựa vào định lí đường phân giác trong tam giác) 7 20 => DC = 7 FH.BD 1 4 15 10 (*) S = . . BFD 2 2 3 7 7 EK.DC 1 3 20 15 (*) S = . . DFC 2 2 2 7 7 AB.AC 3.4 (*) S = 6 ABC 2 2 => SDEF = SABC - ( SAEF + SBFD + SDFC) 10 Vậy S = . DEF 7 Ví dụ 6. Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O. Đường trung trực của AB cắt BD, AC tại M, N. Biết MB = a, NA = b. Tính diện tích hình thoi theo a và b. Bài giải Gọi H là trung điểm của AB. Dễ dàng nhận thấy: AN HN b *) AHN ∽ MHN ( g.g) => MB HB a b b => HN = . HB = . HA a a AH HN *) AHN ∽ AOB (g.g) => AO OB OB HN HN b b => => OB = . OA OA AH HB a a *) AHN vuông tại H => HN2 + HA2 = AN2 ( Theo định lí Pitago) b2 => HA2(1 + ) = b2 . a 2
5. FC.CG DH.DG S = = 126cm2; S = = 128 cm2. FCG 2 HGD 2 2 => SEFGH = 900 - ( 70 + 120 + 126 + 128) = 456 cm 2 2 2 3 b) Vì EM = MF (gt) => EM = EF => SHEM = S => SHMF = SHFE 3 5 5 HEF 5 2 3 3 GP = HG (gt) => PH = HG => S = S 5 5 HFP 5 HFG 3 3 => S + S = ( S + S ) = S . HMF HFP 5 HEF HFG 5 EFGH 1 1 1 1 Dd chứng tỏ PQ = HP , MN = MF => S = S ; S = S 3 3 MQP 3 MHP PMN 3 MPF. 1 1 3 1 => S + S = ( S + S ) = . S = S MQP PMN 3 MHP MPF. 3 5 EFGH 5 EFGH 1 1 => S = S = .456 = 91,2 (cm2) MNPQ 5 EFGH 5 II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho hình thoi ABCD có µA 600 . Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh đa giác EBFGDH là lục giác đều. Bài 2. Cho tam giác ABC, O là trọng tâm của tam giác. Gọi E, F, G lần lượt là các điểm đối xứng với điểm O qua trung điểm của AB, BC, AC. Chứng minh lục giác AEBFCG là lục giác đều. Bài 3. Cho ngũ giác ABCDE có các cạnh bằng nhau và µA µB µC . a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân. b) Chứng minh ngũ giác ABCDEF là ngũ giác đều. Bài 4. Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi K là giao điểm của hai đường chéo AC và BE. a) Tính số đo mỗi góc của ngũ giác. b) Chứng minh CKED là hình thoi. Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD. E là điểm bất kì nằm trên đường chéo AC. Đường thẳng qua E, song song với AD cắt AB, DC lần lượt tại F, G. Đường thẳng qua E, song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại H, K. Chứng minh hai hình chữ nhật EFBK và EGDH có cùng diện tích. Bài 6. Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Vẽ BP  MN, CQ  MN (P, Q MN). a) Chứng minh tứ giác BPQC là hình chữ nhật. b) Chứng minh SBPQC SABC . Bài 7. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh các tứ giác ADCM và ABCN có diện tích bằng nhau. Cho hình thang vuông ABCD (µA µD 900 ), AB = 3cm, AD = 4cm và ·ABC 1350 . Tính diện tích của hình thang đó